Теорема Кебе про чверть

Теорема Кебе про чверть твердження у комплексному аналізі про властивості голоморфних однолистих функцій в одиничному крузі.

Твердження

Образ однолистої функції f : D → C з відкритого одиничного круга D в комплексну площину містить відкритий круг з центром f(0) і радіусом |f′(0)|/4.

Доведення

Нерівність Бібербаха

Нехай

$g(z)=z+a_2{z}^2+a_3{z}^3+\cdots$

є однолистою функцією у |z| < 1. Тоді

$|a_2|⩽2.$

Доведення

Розглянемо функцію $G(z)=\sqrt{g(z^2)}=z+1/2a_2{z}^3+\cdot .$ Вона теж є однолистою на одиничному крузі.

Справді, якщо $G(z_1)=G(z_2),$ то також: $G(z_1{)}^2=G(z_2{)}^2$ тобто $g(z_1^2)=g(z_2^2).$ Оскільки $g(z^2)$ — однолиста функція, то з останньої рівності випливає:$z_1^2=z_2^2$ тобто або $z_1=z_2$ або $z_1=-z_2.$ Остання ж гіпотеза суперечить умові $G(z_1)=G(z_2)$ бо внаслідок непарності функції $G(z)$ мали б при цій гіпотезі$G(z_1)=G(z_2).$ Таким чином $G(z)$ дійсно є однолистою функцією у одиничному крузі.

Тоді функція $F(z)=\frac{1}{G(z^{-1})}$ є однолистою у зовнішній області одиничного круга |z| > 1 і для цю функцію можна записати як суму ряду:

$F(z)=z-\frac{1}{2}{a}_2{z}^{-1}+\cdots .$

З теореми Ґронвала про площу $\frac{|a_2|}{2}⩽1$ і тому $|a_2|⩽2.$

Доведення теореми про чверть

Після застосування афінного відображення можна вважати

$f(0)=0,f^{\prime }(0)=1,$

і розклад функції у ряд Тейлора має вид

$f(z)=z+a_2{z}^2+\cdots .$

Якщо w не належить f(D), то функція

$h(z)=\frac{wf(z)}{w-f(z)}=z+(a_2+w^{-1})z^2+\cdots$

є голоморфною однолистою у |z| < 1.

Застосування нерівності Бібербаха до h дає

$|w{|}^{-1}⩽|a_2|+|a_2+w^{-1}|\le 4,$

і тому

$|w|⩾\frac{1}{4}.$

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation