Теорема Ґронвала про площу

Теорема Ґронвала про площу — твердження у комплексному аналізі про властивості функцій, що є голоморфними і однолистими на доповненні закритого одиничного круга. Назва теореми пов'язана із геометричною інтерпретацією, яка використовується при доведенні нерівності у твердженні теореми. Теорема є важливою у теорії однолистих функцій. Зокрема за її допомогою доводиться нерівність Бібербаха і теорема Кебе про чверть.

Доведена шведським математиком Томасом Ґронвалом у 1914 році.

Твердження

Нехай голоморфна функція

$g(z)=z+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}+\cdots$

є однолистою на |z| > 1. Тоді

$\sum _{n⩾1}n|a_n{|}^2⩽1.$

Доведення

При доведенні розглядається образ відображення $g(z).$ Доповнення до області значень цієї функції матиме невід'ємну площу, що і використовується при доведенні.

Для кола $|z|=r,r>1$ образом при дії функції g буде аналітична замкнута проста крива рівняння якої буде $w=w(t)=g(r{e}^{it}),$ де $z=r{e}^{it}.$Обчислимо площу А скінченної області, що обмежена цією кривою, вважаючи $w=u+iv:$

$\begin{array}{cc}A=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}u{v}^{\prime }dt=& \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{w(t)+\overline{\omega }(t)}{2}\cdot \frac{w^{\prime }(t)-{\overline{\omega }}^{\prime }(t)}{2}dt=\\ & \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}(\frac{r{e}^{it}+r{e}^{-it}}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n{e}^{-int}+{\overline{a}}_n{e}^{int}}{2r^n})\cdot (\frac{r{e}^{it}+r{e}^{-it}}{2}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n{a}_n{e}^{-int}+n{\overline{a}}_n{e}^{int}}{2r^n})dt\end{array}$

Здійснивши обчислення і помітивши, що в результаті інтегрування пропадуть всі члени, які містять $e^{it}$ в цілій степені, не рівній нулю отримаємо:

$A=\pi r^2-\pi \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n|a_n{|}^2}{r^{2n}}$ і враховуючи додатність цієї площі то також $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n|a_n{|}^2}{r^{2n}}<r^2.$

Ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n|a_n{|}^2$є збіжним. В іншому випадку його сума була б нескінченною і тому для будь-якого M > 1 сума перших N доданків була б більшою за M для деякого N. Тоді обираючи r можна також зробити, що $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n|a_n{|}^2}{r^{2n}}>M,$ що суперечить попереднім нерівностям, якщо також вибрати r для якого r² < M)

Переходячи до границі для $r\to 1$ остаточно $\sum _{n⩾1}n|a_n{|}^2⩽1.$

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation