Кубика

У математиці, плоска кубічна крива (або плоска крива третього степеня) — це плоска алгебрична крива $K_3$, загальне рівняння якої в декартовій системі координат має вигляд:

$A\cdot x^3+3B\cdot x^{2}y+3C\cdot x{y}^2+D\cdot y^3+3E\cdot x^2+6F\cdot xy+3G\cdot y^2+Hx+Iy+K=0$

де хоча б один з коефіцієнтів A, B, C, D не дорівнює нулю.

Приклади кривих 3-го порядку.

Загальне рівняння кривої 3-го порядку має 10 коефіцієнтів. Оскільки крива не зміниться, якщо рівняння помножити на довільне ненульове число, то належним підбором множника можна будь-який коефіцієнт рівняння зробити рівним 1, і, таким чином, залишити 9 коефіцієнтів.

Отже, простір кубічних кривих можна ототожнити з дійсним проєктивним простором $ℝ{\mathrm{P}}^9$ розмірності 9, відносно будь-якого даного поля C.

Звідси також випливає, що оскільки кубика має 9 ступенів вільності, то згідно з Шаблон:Не перекладено довільні 9 точок площини в загальному положенні однозначно визначають єдину невироджену криву 3-го порядку. Аналогічно до того, як дві точки однозначно визначають пряму, а Шаблон:Нп.

Якщо через задану множину дев'яти точок проходять дві криві, то ці точки фактично визначають сімейство кубічних кривих, та мають додаткові властивості; див. Шаблон:Нп.

Сингулярна кубічна крива Шаблон:Nowrap. Параметризація: Шаблон:Nowrap.

Невироджена плоска крива 3-го порядку може мати такі сингулярні (тобто особливі) точки: одну вузлову (подвійну) точку, або одну точку звороту (касп). В цьому випадку вона має параметризацію в термінах проєктивної прямої.

Вироджена плоска крива 3-го порядку (це або коніка та пряма, або три прямі), може мати дві подвійні вузлові точки чи точку самодотику (у випадку конічного перерізу і прямої), або до трьох подвійних точок чи однієї потрійної точки (конкурентні прямі у випадку трьох прямих).

Дійсні точки кубічних кривих вивчалися Ісааком Ньютоном. Дійсні точки несингулярної проєктивної кривої потрапляють до одного або двох «овалів». Один з цих овалів перетинає кожну дійсну проєктивну пряму, і, таким чином, не обмежений у випадку, коли крива розглядається в евклідової площині. Він існує у вигляді одної або трьох нескінченних гілок, що містять три дійсні точки перегину. Інший овал, якщо він існує, не містить жодної дійсної точки перегину і може бути або у вигляді овалу, або у вигляді двох нескінченних гілок. Як і для конічних перетинів, пряма перетинає цей овал не більше ніж у двох точках.

Несингулярна кубічна крива визначає еліптичну криву, над будь-яким полем C, для якого вона має визначену точку. Еліптичні криві тепер, зазвичай, вивчаються у вигляді еліптичних функцій Вейєрштрасса, які визначають квадратичне розширення поля раціональних функцій, зроблених шляхом добування квадратного кореня з кривої. Це залежить від наявності K-раціональної точки, яка слугує точкою на нескінченності в формі Вейерштрасса. Існує багато кубічних кривих, які не мають таку точку, наприклад, коли K — поле раціональних чисел.

Можна розглядати криві 3-го степеня над іншими полями (або навіть кільцями), наприклад, над комплексними числами. Окрім того, можна розглядати криві в проєктивній площині, що задаються однорідними багаточленами.

Альтернативне означення:

Плоска кубічна крива — це алгебрична крива $K_3$, що задана кубічним рівнянням F(x, y, z) = 0 в однорідних координатах Шаблон:Nowrap проєктивної площини.

У випадку неоднорідних координат афінного простору, у рівнянні приймають Шаблон:Nowrap. Функція F є ненульовою лінійною комбінацією щонайбільше десяти одночленів третього степеня: x³, y³, z³, x²y, x²z, y²x, y²z, z²x, z²y, xyz.

Класифікація кривих третього порядку

Вперше класифікацію кривих 3-го порядку здійснив І. Ньютон в 1704 році, описавши в своїй роботі 72 криві. Однак пізніше Дж. Стірлінг та Ф. Ніколь доповнили його класифікацію ще шістьма кривими, які Ньютон неврахував.

Найбільш зручний принцип, що покладається в основу класифікації кривих 3-го порядку, є розподіл їх на групи в залежності від кількости та характеру їх нескінченних гілок.

Класифікація Ньютона

І.Ньютон , застосовуючи елементарні перетворення, зводить загальне рівняння 3-го степеня (див. попередній розділ) до однієї з чотирьох канонічних форм:Шаблон:SfnШаблон:Rp

$\begin{array}{ccc}& A:x{y}^2+ey& =a{x}^3+b{x}^2+cx+d;\\ & B:xy& =a{x}^3+b{x}^2+cx+d;\\ & C:y^2& =a{x}^3+b{x}^2+cx+d;\\ & D:y& =a{x}^3+b{x}^2+cx+d.\end{array}$

Потім за коефіцієнтами канонічного рівняння він формує допоміжне характеристичне рівняння 4-го (або 3-го) степеня:

$a\cdot x^4+b\cdot x^3+c\cdot x^2+d\cdot x+\frac{e^2}{4}=0$

або

$a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d=0$

В залежности від різних співвідношень між коренями характеристичного рівняння, Ньютон поділяє всі криві 3-го порядку на 7 класів, 14 родів та 72 типи.

• Криві, рівняння яких зводиться до канонічної форми $A$, Ньютон поділяє на 4 класи:

$$Клас 1 Гіперболічні гіперболи $(a>0)$ (розділяються в свою чергу на 4 роди):

1. Адіаметральні $(e\ne 0)$ — без діаметрів; (9 типів кривих);
2. Монодіаметральні $(e=0;b^2\ne 4ac)$ — з одним діаметром; (12 типів кривих);
3. Тридіаметральні $(e=0;b^2=4ac)$ — з трьома діаметрами; (2 типа кривих);
4. Гіперболічні гіперболи з асимптотами, що перетинаються в одній точці $(b=0)$; (9 типів кривих).

$$Клас 2 Дефективні гіперболи $(a<0)$:

1. Адіаметральні $(e\ne 0)$; (6 типів кривих);
2. Монодіаметральні $(e=0)$; (7 типів кривих).

$$Клас 3 Параболічні гіперболи $(a=0;b\ne 0)$:

1. Адіаметральні $(e\ne 0)$; (7 типів кривих);
2. Монодіаметральні $(e=0)$; (4 типа кривих).

$$Клас 4 Гіперболізми конічних перетинів $(a=b=0)$:

1. Гіперболізм гіперболи $(c>0)$; (4 типа кривих);
2. Гіперболізм еліпса $(c<0)$; (3 типа кривих);
3. Гіперболізм параболи $(c=0)$; (2 типа кривих).

• Криві, рівняння яких зводиться до канонічних форм $B$, $C$ та $D$ налічуюють по одному класу:

$$Клас 5 Тризуб або Параболізм гіперболи;
$$Клас 6 Розбіжна парабола (цей клас поділяється на 5 типів);
$$Клас 7 Кубічна парабола.

Класифікація Плюккера

Ю. Плюккер класифікує криві 3-го порядку (1835 р.) в задежности від положення асимптот та прямої $s$, що з'єднує точки перетину кривої з асимптотами.

Плюккер поділяє всі криві 3-го порядка на 6 класів:Шаблон:SfnШаблон:Rp
$$1-й клас містить гіперболічні та дефективні гіперболи. Криві цього класу мають три прямолінійні асимптоти.
$$2-й клас містить параболічні гіперболи, що мають одну прямолінійну та одну параболічну асимптоти.
$$3-й клас містить гіперболізми конічних перетинів. У кривих цього класу дві з трьох прямолінійних асимптот паралельні між собою.
$$4-й клас містить розбіжні параболи, асимптотою яких є також розбіжна парабола.
$$5-й клас містить тризубці, що мають одну прямолінійну та одну параболічну асимптоти.
$$6-й клас містить кубічні параболи, які не мають асимптот.
Криві одного класу Плюкер поділяє на категорії, роди, види, групи та типи. Всього він налічує 219 типів кривих 3-го порядку.

Властивості кривих третього порядку

Формули Плюккера

1. Нехай

$n=k\cdot (k-1)-2t-3\omega$ — порядок кривої ;
$k=n\cdot (n-1)-2d-3r$ — клас кривої (визначається кількістю дотичних до кривої, які можна провести з точки, що лежить поза кривою);
$r=3k\cdot (k-2)-6t-8\omega$ — кількість точок звороту;
$d$ — кількість інших подвійних точок ;
$\omega =3n\cdot (n-2)-6d-8r$ — кількість точок перегину;
$t$ — кількість подвійних дотичних;
$p$ — дефіцієнт кривої (різниця між можливою та наявною кількістю подвійних точок).
Згідно зі своїми Шаблон:Не перекладено, Юліус Плюккер для кривої третього порядку представив ці залежності у вигляді таблиці, виділивши три типи кривих 3-го порядку:Шаблон:SfnШаблон:Rp Шаблон:SfnШаблон:Rp

Тип	n	k	r	d	ω	t	p
(I)	3	6	0	0	9	0	1
(II)	3	4	0	1	3	0	0
(III)	3	3	1	0	1	0	0

Криві типів (II) та (III) є раціональними кубиками, та відомі як нодальні (мають особливу вузлову точку (або точку самоперетину), з двома дотичними в ній) та каспідальні (мають особливу точку звороту  — касп) кубики відповідно. Криві типу (I) є несингулярними кубиками (без особливих точок), тобто еліптичними кривими.

Теореми

1. 1 Теорема Маклорена

Якщо в трьох точках перетину кривої 3-го порядку з деякою прямою провести до цієї кривої дотичні, то точки їх перетину з кривою лежать також на одній прямій.Шаблон:SfnШаблон:Rp

1. 2 Якщо пряма проходить через дві точки перегину кривої 3-го порядку, то вона обов'язково пройде і через третю точку перегину.Шаблон:SfnШаблон:Rp
   

Згідно з цією теоремою, якщо крива має три точки перегину, то вони обов'язково дежать га одній прямій.

1. 3 Якщо через чотири точки кривої 3-го порядку проведена крива 2-го порядку, яка перетинає задану криву ще в двох точках, то пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає криву 3-го порядку в певній точці, що спільна для всіх кривих 2-го порядку, які проходять через чотири задані точки.Шаблон:SfnШаблон:Rp

Точки перегину, кратні точки

Відомо, що точки перегину алгебричної кривої збігаються з точками перетину цієї кривої та її гесіани.Шаблон:SfnШаблон:Rp Шаблон:Рамкап Гесіаною алгебричної кривої $F(x,y)=0$ називається крива, що визначається рівнянням

$\left|\begin{array}{ccc}{F}_{xx}& F_{xy}& F_x\\ F_{xy}& F_{yy}& F_y\\ F_x& F_y& 0\end{array}\right|=0$

Шаблон:/рамка Гесіана кривої 3-го порядку є крива 3-го порядку. Звідки випливає, що максимальна кількість точок перегину у кривої 3-го порядку не перевищує дев'яти. З них дійсними точками можуть бути лише три.

• Як довів Ф.Кляйн Шаблон:Rp для кривої $K_n^k$ (крива n-го порядку та k-го класу) має місце співвідношення:

$n+{\omega }^{\prime }+2t^{″}=k+r^{\prime }+d^{″}$

де
${\omega }^{\prime }$ — кількість дійсних точок перегину;
$r^{\prime }$ — кількість дійсних точок звороту;
$d^{″}$ — кількість дійсних ізольованих точок;
$t^{″}$ — кількість дійсних ізольованих дотичних.
З цих співвідношень випливає, що крива $K_3$ має або три дійсні точки перегину (неособлива $K_3$ та $K_3^4$ з ізольованою точкою), або ж одну дійсну точку перегину ($K_3^4$ з вузловою точкою та $K_3^3$).

• Крива 3-го порядку з вузловою точкою має одну дійсну точку перегину та дві уявні. У кривої 3-го порядку з ізольованою точкою всі три точки перегину дійсні.

Кожна крива 3-го порядку, яка не має подвійної точки, має щонайменше одну дійсну точку перегину (яка може бути і нескінченно віддаленою).Шаблон:SfnШаблон:Rp

• Крива 3-го порядку не може мати бьш ніж одну подвійну точку, а також не може мати потрійних точок.
• Крива $K_3$ не може мати уявних подвійних точок, а також подвійних дотичних, оскільки подвійна дотична має з кривою не менш ніж чотири спільні точки.
• Криві 3-го порядку, які мають подвійну точку, є раціональними кривими.

Помістивши початок координат в подвійну точку, отримаємо рівняння кривої 3-го порядку у вигляді:

$A\cdot x^3+3B\cdot x^{2}y+3C\cdot x{y}^2+D\cdot y^3+3E\cdot x^2+6F\cdot xy+3G\cdot y^2=0$

Установивши, що $y=t\cdot x$ отримаємо параметричні рівняння кривої 3-го порядку: $\{\begin{array}{c}x(t)=-\frac{3(E+2F\cdot t+G\cdot t^2)}{A+3B\cdot t+3C\cdot t^2+D\cdot t^3}\\ y(t)=-\frac{3t\cdot (E+2F\cdot t+G\cdot t^2)}{A+3B\cdot t+3C\cdot t^2+D\cdot t^3}\end{array}$ , які є раціональними.

Раціональна крива 3-го порядку з вузловою (подвійною) точку, або точкою звороту (каспом), має одну дійсну точку перегину, а крива з ізольованою точкою — три дійсні точки перегину.Шаблон:SfnШаблон:Rp

Полюси та поляри

Криву 2-го порядку, на якій лежать точки дотику дотичних, що проведені до кривої 3-го порядку $F(x,y,z)=0$ з точки $P(x_1,y_1,z_1)$ називають першою полярою точки P відносно кривої $F(x,y,z)=0$, а саму точку $P$ — полюсом.
Її рівняння в однорідних координатах Шаблон:Nowrap:

$\begin{array}{cc}& x_1\cdot (A\cdot x^2+2B\cdot xy+C\cdot y^2+2E\cdot xz+2F\cdot yz+H\cdot z^2)+\\ +& y_1\cdot (B\cdot x^2+2C\cdot xy+D\cdot y^2+2F\cdot xz+2G\cdot yz+K\cdot z^2)+\\ +& z_1\cdot (E\cdot x^2+2F\cdot xy+G\cdot y^2+2H\cdot xz+2K\cdot yz+L\cdot z^2)=0\end{array}$

Точка $P$ також має поляру відносно цієї кривої 2-го порядку; її називають другою полярою точки P відносно кривої 3-го порядку. Ця поляра є прямою з рівнянням:

$\begin{array}{cc}& x\cdot (A\cdot x_1^2+2B\cdot x_1{y}_1+C\cdot y_1^2+2E\cdot x_1{z}_1+2F\cdot y_1{z}_1+H\cdot z_1^2)+\\ +& y\cdot (B\cdot x_1^2+2C\cdot x_1{y}_1+D\cdot y_1^2+2F\cdot x_1{z}_1+2G\cdot y_1{z}_1+K\cdot z_1^2)+\\ +& z\cdot (E\cdot x_1^2+2F\cdot x_1{y}_1+G\cdot y_1^2+2H\cdot x_1{z}_1+2K\cdot y_1{z}_1+L\cdot z_1^2)=0\end{array}$

1. Перша поляра є геометричним місцем точок, другі поляри яких проходять через полюс;
2. Друга поляра є геометричним місцем точок, перші поляри яких проходять через полюс.

Якщо полюс знаходиться на самій кривій, то друга поляра збігається з дотичною. Оскільки при цьому полюс знаходиться на першій полярі, то друга торкається першої в полюсі, а отже, крива 3-го порядку та її перша поляра мають в полюсі дві спільні точки, що збігаються одна з одною. А отже, кількість інших їх спільних точок не перевищує 4.

• Друга поляра нескінченно віддаленої точки відносно кривої 3-го порядку є діаметром цієї кривої, та має рівняння:

$\begin{array}{c}(A+2Bm+C{m}^2)\cdot x+(B+2Cm+D{m}^2)\cdot y+(E+2Fm+G{m}^2)=0\end{array}$

де $m$ — кутовий коефіцієнт хорд, до яких цей діаметр є спряженим.

• Кожна хорда кривої 3-го порядку гармонічно ділиться цією кривою та першою полярою однієї з точок перетину цієї хорди з кривою.
• Перша поляра точки перегину є виродженою кривою 2-го порядку, а саме парою прямих, що перетинаються. Одна з цих прямих є дотичною до кривої 3-го порядку, а другу називають гармонійною полярою точки перегину кривої 3-го порядку.

Гармонійна поляра є геометричним місцем четвертих гармонічних точок щодо трьох точок перетину з кривою хорд, що проходять через точку перегину.Шаблон:SfnШаблон:Rp

Приклади кривих 3-го порядку

Нижче наведено низку прикладів кривих 3-го порядку та їх рівняння

• 
  Кубічна парабола
  $y=x^3$
• 
  Кубічна парабола/ графік функції полінома третього степеня
  y = ax³+bx²+cx+d
• 
  Декартів лист
  $x^3+y^3-3axy=0$
• 
  Цисоїда Діокла
  $(x^2+y^2)x=2a{y}^2$
• 
  Конхоїда Слюза
  (x-1)(x²+y²) = ax²
• 
  Кубика з подвійною точкою
  $y^2=x^2(x+1)$
• 
  Строфоїда
  $y^2=x^2\frac{a-x}{a+x}$
• 
  Напівкубічна парабола
  $y^2=x^3$
• 
  Шаблон:Не перекладено
  $y=\frac{abx}{x^2+a^2}$
• 
  Тризуб
  xy+ax³+bx²+cx = d
• 
  Трисектриса Маклорена
  2x(x²+y²) = a(3x²-y²)
• 
  Кубика Чирнгауза
  $3a{y}^2=x(x-a{)}^2$
• 
  Локон Аньєзі
  $y=\frac{a^3}{x^2+a^2}$

Кубічні криві в площині трикутника

Нехай ABC — трикутник з довжинами сторін a = | BC |, b = | CA |, c = | AB |.
Всі кубічні криві, описані в цьому розділі, проходять через чудові точки трикутника.
У прикладах, наведених нижче, використовуються два види однорідних координат: трилінійні та барицентричні. Для переходу від трилінійних координат до барицентричних в кубічному рівнянні слід зробити заміну наступним чином:

$x\to bcx,y\to cay,z\to abz;$

для переходу від барицентричних координат до трилінійних використовується заміна:

$x\to ax,y\to by,z\to cz.$

Більшість рівнянь кривих 3-го порядку мають вигляд:

$f(a,b,c,x,y,z)+f(b,c,a,y,z,x)+f(c,a,b,z,x,y)=0.$

У наведених нижче прикладах, такі рівняння записуються більш коротко в «циклічному запису суми», тобто:

$\sum _{\text{cyclic}}f(x,y,z,a,b,c)=0$

Кубічні криві, що описані нижче, можна означити через ізогональне спряження Шаблон:Mvar точки $X$, яка не лежить на стороні Шаблон:Math. Точка Шаблон:Mvar будується наступним чином. Нехай $L_A$ — лінія, що отримана шляхом відбиття лінії $XA$ відносно бісектриси внутрішнього кута $A$;
$L_B$ і $L_C$ означаються аналогічно. Тоді три лінії $L_A$, $L_B$ та $L_C$ перетинаються в одній точці Шаблон:Mvar.
В трилінійних координатах: якщо $X=x:y:z,$ то $X^{*}=\frac{1}{x}:\frac{1}{y}:\frac{1}{z}.$

Кубика Нойберга

Кубика Нойберга трикутника Шаблон:Math

Рівняння в трилінійних координатах:

$\sum _{\text{cyclic}}(\cos A-2\cos B\cos C)x(y^2-z^2)=0$

Рівняння в барицентричних координатах:

$\sum _{\text{cyclic}}(a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2{)}^2-2a^4)x(c^2{y}^2-b^2{z}^2)=0$

Кубика Нойберга (названа на честь Шаблон:Нп)  — це геометричне місце точок точок $X$ (ГМТ) таких, що ізогонально спряжені до них точки Шаблон:Mvar знаходяться на прямій $EX$, де $E$ є точкою нескінченності Ейлера (X(30) в Енциклопедії центрів трикутника).
Крім того, ця кубика є ГМТ точок $X$, таких, що трикутник Шаблон:Math є перспективним до Шаблон:Math (тобто прямі Шаблон:Mvar перетинаються в одній точці), де точки Шаблон:Math отримані шляхом відбиття точки $X$ відносно прямих $BC,CA,AB$, відповідно.

Кубика Нойберга проходить через наступні чудові точки трикутника: центр вписаного кола, центр описаного кола, ортоцентр, обидві точки Ферма, обидва ізодинамічних центра, точку нескінченності Ейлера, центри зовнівписаних кіл, основи висот Шаблон:Math (вершини ортотрикутника), вершини шести рівносторонніх трикутників, побудованих на сторонах Шаблон:Math та інші центри трикутника.

Графіки і властивості кубик Нойберга див. Кубику K001 Берхарда Гіберта в площині трикутника Шаблон:Webarchive.

Кубика Томсона

Приклад кубики Томсона (чорна крива). Точка $X$ знаходиться на кубиці, таким чином, ізогонально спряжена до неї точка $X^{*}$ лежить на прямій $X(2)-X$.

Рівняння в трилінійних координатах:

$\sum _{\text{cyclic}}bcx(y^2-z^2)=0$

Рівняння в барицентричних координатах:

$\sum _{\text{cyclic}}x(c^2{y}^2-b^2{z}^2)=0$

Кубика Томсона — це ГМТ точок $X$ для яких ізогонально спряжена точка Шаблон:Mvar знаходиться на прямій $GX$, де $G$ є центроїдом трикутника Шаблон:Math.

Кубика Томсона проходить через наступні чудові точки трикутника: центр вписаного кола, центроїд, центр описаного кола, ортоцентр, точка Лемуана, вершини $A,B,C$, центри зовнівписаних кіл, середини сторін $BC,CA,AB$, і середини висот Шаблон:Math, інші центри трикутника.

Для кожної точки $P$ на кубиці, окрім тих, що належать також сторонам трикутника, ізогонально спряжена до $P$ точка також лежить на кубиці.

Графіки і властивості див. Кубику K002 в площині трикутника Шаблон:Webarchive.

Кубика Дарбу

Кубика Дарбу трикутника Шаблон:Math: Геометричне місце точок Шаблон:Mvar таких, що якщо Шаблон:Mvar є підставами перпендикулярів, проведених з Шаблон:Mvar на сторони Шаблон:Mvar, то прямі Шаблон:Mvar перетинаються в одній точці.

Рівняння в трилінійних координатах:

$\sum _{\text{cyclic}}(\cos A-\cos B\cos C)x(y^2-z^2)=0$

Рівняння в барицентричних координатах:

$\sum _{\text{cyclic}}(2a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2{)}^2-3a^4)x(c^2{y}^2-b^2{z}^2)=0$

Кубика Дарбу — це ГМТ точок $X$, для кожної з яких ізогонально спряжена точка Шаблон:Mvar лежить на прямій $LX$, де $L$  — Шаблон:Нп.
Також кубика Дарбу є ГМТ точок $X$ для кожної з яких її подерний трикутник відносно трикутника Шаблон:Math є також чевіанним трикутником деякої точки (яка лежить на кубиці Лукаса).
Також ця кубика є ГМТ точок $X$, для кожної з яких її подерний та античевіанний трикутники є перспективними; центр перспективи лежить на кубиці Томсона.

Кубика Дарбу проходить через наступні чудові точки трикутника: центр вписаного кола, центр описаного кола, ортоцентр, точку Лоншама, вершини $A,B,C$, центри зовнівписаних кіл, точки описаного кола, діаметрально протилежні до вершин $A,B,C$, інші центри трикутника.

Для кожної точки $P$ на кубиці, окрім тих, що належать також сторонам трикутника, ізогонально спряжена до $P$ точка також лежить на кубиці.

Графіки і властивості див. Кубику K004 в площині трикутника Шаблон:Webarchive.

Кубика Наполеона — Феєрбаха

Рівняння в трилінійних координатах:

$\sum _{\text{cyclic}}\cos (B-C)x(y^2-z^2)=0$

Рівняння в барицентричних координатах:

$\sum _{\text{cyclic}}(a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2{)}^2)x(c^2{y}^2-b^2{z}^2)=0$

Кубика Наполеона — Феєрбаха — це ГМТ точок Шаблон:Mvar, для кожної з яких ізогонально спряжена точка Шаблон:Mvar лежить на прямій $NX$, де $N$  — центр кола дев'яти точок (N = X(5) в Енциклопедії центрів трикутника).

Кубика Наполеона — Феєрбаха проходить через центри вписаного і описаного кіл, ортоцентр, першу і другу точки Наполеона, вершини $A,B,C$, центри зовнівписаних кіл, проєкції центроїда на висоти і центри 6-ти рівносторонніх трикутників, побудованих на сторонах Шаблон:Math, інші центри трикутника.

Графіки і властивості див. Кубику K005 в площині трикутника Шаблон:Webarchive.

Кубика Лукаса

Кубика Лукаса трикутника Шаблон:Math: геометричне місце точок Шаблон:Mvar, для кожної з яких її чевіанний трикутник є подерним трикутником деякої точки Шаблон:Mvar, що лежить на кубиці Дарбу.

Рівняння в трилінійних координатах:

$\sum _{\text{cyclic}}\cos (A)x(b^2{y}^2-c^2{z}^2)=0$

Рівняння в барицентричних координатах:

$\sum _{\text{cyclic}}(b^2+c^2-a^2)x(y^2-z^2)=0$

Кубика Лукаса — це ГМТ точок Шаблон:Mvar, для кожної з яких її чевіанний трикутник є подерним трикутником деякої точки Шаблон:Mvar, що лежить на кубиці Дарбу.

Кубика Лукаса проходить через центроїд, ортоцентр, точку Жергона, точку Нагеля, точку Лоншама, інші центри трикутника, вершини антисерединного трикутника і фокуси еліпса Штейнера.

Графіки і властивості див. Кубику K007 в площині трикутника Шаблон:Webarchive.

Див. також

• Еліптична крива
• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп
• Тризуб (плоска крива)
• Кубічне рівняння

Література

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Книга

Посилання

• Шаблон:MathWorld

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation. See Chapter 8 for cubics.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation