Строфоїда

Строфоїда (від Шаблон:Lang-el — поворот) — алгебрична крива 3-го порядку. Будується таким чином (див. Рис. 1):

Рис. 1

Рис. 2

У декартовій системі координат, де вісь абсцис направлена ​​за OB, а вісь ординат за OD, задана фіксована точка A на осі OX. Через точку А проводиться довільна пряма AL, яка перетинає вісь ординат у точці P. Від точки P, на відстані рівній OP, в обидва боки вздовж прямої AL розташовані точки M1 і M2. Геометричне місце точок M1 і M2 утворюють строфоїду.

У прямокутній системі координат будується пряма строфоїда або просто строфоїда, яка зображена на Рис.1. У косокутній системі координат будується коса строфоїда — Рис.2.

Рівняння

Рівняння строфоїди в декартовій системі координат, де O — початок координат, вісь абсцис направлена за променем OB, вісь ординат за променем OD, кут $\alpha =\mathrm{\angle }AOD$(для прямокутної системи координат $\alpha =\frac{\pi }{2}$), записується так:

$y^2(x-a)-2x^{2}y\cos \alpha +x^2(a+x)=0$.

Рівняння прямої строфоїди:

$y=\pm x\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}$.

Рівняння строфоїди в полярній системі координат:

$\rho =-\frac{a\cos 2\varphi }{\cos \varphi }$.

Параметричне рівняння строфоїди:

$x=a\left(\frac{u^2-1}{u^2+1}\right)$

$y=au\left(\frac{u^2-1}{u^2+1}\right)$, де

$u=\mathrm{t}\mathrm{g}\varphi$.

Точка B розміщена від центру координат O на відстані, рівній a = OA. Пряма UV, проведена через точку B паралельно до осі ординат слугує асимптотою для обох гілок прямої строфоїди. Для косої строфоїди, пряма UV слугує асимптотою для нижньої гілки і дотичною в точці S, причому SB = SA.

У точці O існують дві дотичні, які взаємно перпендикулярні, як для прямої, так і для косої строфоїди.

Див. також

• Конхоїда Слюза