Серединний трикутник

Серединний трикутникШаблон:Sfn Шаблон:Rp (додатковий трикутник) — трикутник $△ M_{A} M_{B} M_{C}$ , вершинами якого є середини сторін даного базового трикутника $△ A B C$ .

Сторони серединного трикутника є середніми лініями $△ A B C$ .

Є окремим випадком серединного багатокутника при кількости сторін багатокутника $n = 3$ .

Властивості

Шаблон:Mvar: центр описаного кола Шаблон:Math, ортоцентр Шаблон:Math
Шаблон:Mvar: центр вписаного кола Шаблон:Math, точка Нагеля Шаблон:Math
Шаблон:Mvar: центроїд Шаблон:Math та Шаблон:Math

Серединний трикутник $△ M_{A} M_{B} M_{C}$ є образом даного початкового трикутника $△ A B C$ при гомотетії з центром у центроїді та коефіцієнтом $k = - \frac{1}{2}$ .
Таким чином, серединний трикутник подібний до початкового і має той самий центроїд і ті самі медіани, що й початковий трикутник $△ A B C$ . Довжини сторін серединногоо трикутника вдвічі менші за довжини сторін початкового трикутника $△ A B C$ .^[1]
Периметр серединного трикутника $△ M_{A} M_{B} M_{C}$ дорівнює півпериметру трикутника $△ A B C$ , а його площа дорівнює чверті площі трикутника $△ A B C$ . Шаблон:Sfn Шаблон:Rp
Чотири трикутники, на які розділяється початковий трикутник $△ A B C$ сторонами його серединного трикутника $△ M_{A} M_{B} M_{C}$ , рівні за трьома сторонами, тому їхні площі рівні.
Через це іноді «серединними» називають одразу всі чотири, рівні між собою, внутрішні трикутники, одержані з початкового трикутника проведенням у ньому трьох середніх ліній (у термінології серединним називають тільки один з них — центральний).
Ортоцентр серединного трикутника $△ M_{A} M_{B} M_{C}$ збігається з центром описаного кола даного трикутника $△ A B C$ , що доводить належність центра описаного кола, центроїда й ортоцентра одній прямій — прямій Ейлера.
Серединний трикутник є подерним трикутником центра описаного кола трикутника відносно трикутника $△ A B C$ .
Коло дев'яти точок трикутника $△ A B C$ є описаним для його серединного трикутника $△ M_{A} M_{B} M_{C}$ , а тому центр кола дев'яти точок $△ A B C$ є центром кола, описаного навколо серединного трикутника

$△ M_{A} M_{B} M_{C}$ . ^[1]

Точка Нагеля серединного трикутника є центром вписаного кола початкового трикутника $△ A B C$ . ^[2]Шаблон:Rp
Серединний трикутник конгруентний до трикутника, вершинами якого є середини відрізків, що з'єднують ортоцентр і вершини початкового трикутника $△ A B C$ .^[2]Шаблон:Rp
Центр вписаного кола трикутника $△ A B C$ лежить всередині його серединного трикутника $△ M_{A} M_{B} M_{C}$ .^[3]Шаблон:Rp

Точка всередині трикутника є центром вписаного у трикутник еліпса тоді й тільки тоді, коли ця точка лежить усередині серединного трикутника. ^[4]Шаблон:Rp

Серединний трикутник є єдиним вписаним трикутником, для якого жоден із трьох інших трикутників не має площу, меншу за площу цього трикутника. ^[5]Шаблон:Rp
Центр кола, вписаного в серединний трикутник даного трикутника $△ A B C$ , є центром мас периметра трикутника $△ A B C$ (центром Шпікера);Шаблон:Sfn Шаблон:Rp
Тобто цей центр є центром мас однорідної дротяної фігури, що відповідає трикутнику $△ A B C$ .

Координати

Нехай $a = | B C |$ , $b = | C A |$ , $c = | A B |$ - довжини сторін трикутника $△ A B C$ . Тоді трилінійні координати вершин серединного трикутника задаються формулами:

${\begin{matrix} X = (0; \frac{1}{b}; \frac{1}{c}) \\ Y = (\frac{1}{a}; 0; \frac{1}{c}) \\ Z = (\frac{1}{a}; \frac{1}{b}; 0) \end{matrix}$

Антисерединний трикутник

Якщо $△ X Y Z$ — серединний трикутник для $△ A B C$ , то $△ A B C$ є антисерединним трикутником для $△ X Y Z$ .^[6] Антисерединний трикутник для $△ A B C$ утворюється трьома прямими, паралельними сторонам $△ A B C$ — паралельно AB через точку C, паралельно AC через точку B і паралельно BC через точку A.

Трикутні координати вершин антисерединного трикутника $△ X^{'} Y^{'} Z^{'}$ задаються формулами:^[6]

${\begin{matrix} X^{'} = (- \frac{1}{a}; \frac{1}{b}; \frac{1}{c}) \\ Y^{'} = (\frac{1}{a}; - \frac{1}{b}; \frac{1}{c}) \\ Z^{'} = (\frac{1}{a}; \frac{1}{b}; - \frac{1}{c}) \end{matrix}$

Примітки

Шаблон:Reflist

Література

Шаблон:Книга

Шаблон:Книга

Шаблон:Книга

Посилання

↑ ^1,0 ^1,1 Шаблон:Mathworld
↑ ^2,0 ^2,1 Altshiller-Court, Nathan. College Geometry. Dover Publications, 2007.
↑ William N. Franzsen The distance from the incenter to the Euler line. // Forum Geometricorum. — 2011. — Вип. 11.
↑ Chakerian G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979.
↑ Ricardo M. Torrejon, "On an Erdos inscribed triangle inequality", Forum Geometricorum, — 2005, — Вип. 5.
↑ ^6,0 ^6,1 Шаблон:Mathworld

[mathworld-1] 1,0 ^1,1 Шаблон:Mathworld

[ac-2] 2,0 ^2,1 Altshiller-Court, Nathan. College Geometry. Dover Publications, 2007.

[3] William N. Franzsen The distance from the incenter to the Euler line. // Forum Geometricorum. — 2011. — Вип. 11.

[Chakerian-4] Chakerian G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979.

[Torrejon-5] Ricardo M. Torrejon, "On an Erdos inscribed triangle inequality", Forum Geometricorum, — 2005, — Вип. 5.

[mathworld1-6] 6,0 ^6,1 Шаблон:Mathworld

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Серединний трикутник

Зміст

Властивості

Координати

Антисерединний трикутник

Примітки

Література

Посилання

Навігаційне меню

Серединний трикутник

Властивості

Координати

Антисерединний трикутник

Примітки

Література

Посилання

Навігаційне меню

Пошук