Центр кола дев'яти точок

Трикутник, описане навколо нього коло (чорне) та його центр (чорний), висоти трикутника (частина висоти, розташована всередині кола Ейлера, синя, а поза ним — чорна) та коло дев'яти точок (синє) і його центр (синій)

Коло дев'яти точок, або коло Ейлера, проходить через дев'ять важливих точок трикутника — середини сторін, основи трьох висот і середини відрізків, що з'єднують ортоцентр з вершинами трикутника. Центр цього кола вказаний як точка X(5) в енциклопедії центрів трикутника Шаблон:НпШаблон:Sfn.

Властивості

• Центр кола дев'яти точок $O_9$ лежить на прямій Ейлера трикутника посередині між ортоцентром $H$ і центром описаного кола $O$. Центроїд $M$ також лежить на цій лінії на відстані 2/3 від ортоцентра до центра описаного колаШаблон:Sfn, так, що

$O_{9}O=O_{9}H=3O_{9}M.$

Таким чином, якщо пара з цих чотирьох центрів відома, положення двох інших легко знайти.

• Шаблон:Нп 1984 року, досліджуючи задачу, нині відому як задача визначення трикутника Ейлера, показав, що якщо положення цих центрів для невідомого трикутника задано, то інцентр трикутника лежить всередині Шаблон:Не перекладено (кола, діаметром якого є відрізок між центроїдом і ортоцентром). Тільки одна точка всередині цього кола не може бути центром вписаного кола — це центр дев'яти точок. Будь-яка інша точка всередині цього кола визначає єдиний трикутникШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.
• Відстань від центра кола дев'яти точок до інцентра $I$ задовольняє формулам:

$I{O}_9<\frac{1}{2}IO,$

$I{O}_9=\frac{1}{2}(R-2r)<\frac{R}{2},$

$2R\cdot I{O}_9=O{I}^2,$

де $R$ і $r$ — радіуси описаного і вписаного кіл відповідно.

• Центр кола дев'яти точок є центром описаного кола серединного трикутника, ортотрикутника і трикутника ЕйлераШаблон:Sfn. Загалом, ця точка є центром описаного кола трикутника, який має вершинами будь-які три з дев'яти перерахованих точок.
• Центр кола дев'яти точок збігається з центроїдом чотирьох точок — трьох точок трикутника і його ортоцентра.
• З дев'яти точок на колі Ейлера три є серединами відрізків, що з'єднують вершини з ортоцентром (вершини трикутника Ейлера — Феєрбаха). Ці три точки є відображеннями середин сторін трикутника відносно центра кола дев'яти точок.
• Таким чином, центр кола дев'яти точок є центром симетрії, що переводить серединний трикутник у трикутник Ейлера — Феєрбаха (і навпаки)Шаблон:Sfn.
• За теоремою Лестер центр кола дев'яти точок лежить на одному колі з трьома іншими точками — двома точками Ферма і центром описаного колаШаблон:Sfn.

Точка Косніти, ізогонально спряжена центру кола дев'яти точок

• Точка Косніти трикутника, пов'язана з теоремою Косніти, ізогонально спряжена центру кола дев'яти точокШаблон:Sfn. (див. рис.)
• Пряма $X(485)X(486)$, що проходить через дві точки Вектена $X(485)$ і $X(486)$, перетинає пряму Ейлера у центрі дев'яти точок трикутника $ABC$.

Координати

Трилінійні координати центра кола дев'яти точок рівніШаблон:Sfn:

$\cos (B-C):\cos (C-A):\cos (A-B)$

$=\cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B$

$=\cos A-2\sin B\sin C:\cos B-2\sin C\sin A:\cos C-2\sin A\sin B$

$=bc[a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2{)}^2]:ca[b^2(c^2+a^2)-(c^2-a^2{)}^2]:ab[c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2{)}^2].$

Барицентричні координати центра рівні:

$a\cos (B-C):b\cos (C-A):c\cos (A-B)$

$=a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2{)}^2:b^2(c^2+a^2)-(c^2-a^2{)}^2:c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2{)}^2.$

Література

• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття

Посилання

• Шаблон:Mathworld