Теорема Косніти

Теорема Косніти — це властивість деяких кіл, пов'язаних з довільним трикутником.

Нехай $A B C$ — довільний трикутник, $O$ — центр його описаного кола, а $O_{a}, O_{b}, O_{c}$ — центри описаних кіл трьох трикутників $O B C$ , $O C A$ і $O A B$ відповідно. Теорема стверджує, що три прямих $A O_{a}$ , $B O_{b}$ і $C O_{c}$ перетинаються в одній точці^[1]. Цей факт встановив румунський математик Цезар Косніта (Cezar Coşniţă, 1910—1962)^[2].

Точка, в якій прямі перетинаються, відома як точка Косніти трикутника (назву дав Шаблон:Нп в 1997). Точка є ізогонально спряженою центру дев'яти точок Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Точка має позначення $X (54)$ поміж чудових точок трикутника в списку Кімберлінга^[3]. Теорема є окремим випадком теореми Дао про 6 центрів описаних кіл для вписаного шестикутникаШаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn^[4].

Властивості

Трикутник T з вершинами A, B і C; O — центр описаного кола (червоне).
A*, B* і C* — точки, симетричні точкам A, B і C відносно протилежної сторони.
M — точка перетину кіл Масельмана.
Зелене коло — коло дев'яти точок, N — його центр.
K — точка Косніти.

Точка Косніти K тісно пов'язана з точкою M Масельмана (з точкою перетину кіл Масельмана). Див. рис. і теорему Масельмана. Точка Масельмана $M$ є точкою інверсії точки Косніти відносно кола, описаного навколо трикутника $T$ .