Точки Вектена

Зовнішня і внутрішня точки Вектена

У планіметрії зовнішня і внутрішня точки Вектена — точки, які будуються на основі даного трикутника аналогічно першій і другій точкам Наполеона. Однак для побудови вибираються центри не рівносторонніх трикутників, а квадратів, побудованих на сторонах даного трикутника (див. рис.).

Зовнішня точка Вектена

Нехай ABC — довільний трикутник. На його сторонах BC, CA, AB назовні побудуємо три квадрати відповідно з центрами $O_a,O_b,O_c$. Тоді лінії $A{O}_a,B{O}_b$, $B{O}_b$ і $C{O}_c$ перетинаються в одній точці, званій зовнішньою точкою Вектена трикутника ABC.

В Енциклопедії центрів трикутника зовнішня точка Вектена позначається як X (485).

Історія

Зовнішню точку Вектена названо так на початку XIX століття на честь французького математика Вектена, який вивчав математику в один час з Шаблон:Нп в Німі й опублікував своє дослідження про фігуру у вигляді трьох квадратів, побудованих на трьох сторонах трикутника 1817 року. За іншими даними, це сталося в 1812/1813 роках. При цьому посилаються на роботу.

Внутрішня точка Вектена

Нехай ABC — довільний трикутник. На його сторонах BC, CA, AB назовні побудуємо три квадрати відповідно з центрами $I_a,I_b,I_c$. Тоді лінії $A{I}_a,B{I}_b$ і $C{I}_c$ перетинаються в одній точці, званій внутрішньою точкою Вектена трикутника ABC.

В Енциклопедії центрів трикутника внутрішня точка Вектена позначається як X(486).

Пряма $X(485)X(486)$ перетинає пряму Ейлера в центрі дев'яти точок трикутника $ABC$. Точки Вектена лежать на гіперболі Кіперта.

Положення на гіперболі Кіперта

Координата зовнішньої і внутрішньої точок Вектена можна отримати з рівняння гіперболи Кіперта за значень кута $\theta$ при основах трикутників відповідно π/4 і -π/4.

Асоціації

Малюнок вище для побудови зовнішньої точки Вектена у разі, якщо вона проводиться для прямокутного трикутника, збігається з малюнком одного з доведень теореми Піфагора (див. на рис. нижче так звані піфагорові штани).

Піфагорові штани. Сума площ квадратів, побудованих на катетах $a$ і $b$, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі $c$

Піфагорові штани. Креслення до доведення Евкліда. Основний напрямок доведення — встановлення конгруентності $\mathrm{△}ACK\cong \mathrm{△}ABD$, площа яких становить половину площі прямокутників $AHJK$ і $ACED$ відповідно.

Див. також

• Точки Наполеона — пара центрів трикутника, побудованих аналогічним способом з використанням замість квадратів рівносторонніх трикутників

Посилання

• Шаблон:MathWorld