1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

Перші чотири часткові суми натурального ряду. Зображена парабола є згладжувальною асимптотою цих сум і перетинає вісь ординат на позначці -1/12

Ряд із натуральних чисел — числовий ряд, члени якого є послідовними натуральними числами: $1+2+3+4+\dots$; при цьому Шаблон:Mvar-а часткова сума ряду є трикутним числом:

$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},$

яке необмежено зростає при прямуванні $n$ до нескінченності. Оскільки послідовність часткових сум ряду не має скінченної границі, ряд розбіжний.

Попри розбіжність у традиційному сенсі, деякі узагальнені операції над натуральним рядом дозволяють отримати висновки, застосовні в комплексному аналізі, квантовій теорії поля і теорії струн.

Сума в узагальненому сенсі

Спеціальні методи підсумовування, що використовуються в деяких розділах математики, дозволяють присвоїти скінченні значення розбіжним числовим рядам. Зокрема, один з таких способів надає метод, заснований на регуляризації аналітичного продовження дзета-функції Рімана і Шаблон:Iw, дозволяють зіставити даному ряду деяке скінченне значення:

$1+2+3+4+\cdots =-\frac{1}{12},$

в узагальненому сенсі суми.

Часткові суми

Перші шість трикутних чисел

Частковими сумами натурального ряду є 1, 3, 6, 10, 15 і т. д. Таким чином, Шаблон:Mvar-а часткова сума виражається формулою

$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.$

Цей вираз був відомим ще Піфагору в VI столітті до н. е. Числа такого виду називають трикутними, оскільки їх можна подати у вигляді трикутника.

Нескінченна послідовність трикутних чисел прямує до $+\mathrm{\infty }$ і, отже, нескінченна сума натурального ряду також прямує до $+\mathrm{\infty }$. Такий результат є наслідком невиконання необхідної умови збіжності числового ряду.

Сумованість

У порівнянні з іншими класичними розбіжними рядами, натуральному ряду складніше приписати деяке скінченне числове значення, яке має сенс. Існує багато методів підсумовування, деякі з яких є стійкішими і потужнішими. Так, наприклад, підсумовування за Чезаро — широко відомий метод, який підсумовує помірно розбіжний ряд Гранді Шаблон:Nobr і приписує йому скінченне значення 1/2. Підсумовування методом Абеля є потужнішим методом, який, крім ряду Гранді, дозволяє також підсумувати складніший знаковий ряд натуральних чисел і присвоїти йому значення 1/4.

На відміну від згаданих вище рядів, як підсумовування за Чезаро, так і метод Абеля незастосовні до натурального ряду. Ці методи працюють тільки зі збіжними і гармонічними рядами і не застосовні для ряду, часткові суми якого прямують до Шаблон:Math. Більшість елементарних визначень суми розбіжного ряду є лінійними і стійкими, а будь-який лінійний і стійкий метод не може присвоїти натуральному ряду скінченного значення. Отже, потрібні розвиненіші методи, такі як регуляризація дзета-функцією або підсумовування Рамануджана.

Евристичні передумови

Уривок з першої замітки Рамануджана, що описує скінченне значення ряду

У розділі 8 першого збірника своїх праць Рамануджан показав, що «1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12», використовуючи два способи. Нижче викладено простіший метод, що складається з двох етапів.

Перше ключове спостереження полягає в тому, що ряд Шаблон:Nobr схожий на знаковий ряд натуральних чисел Шаблон:Nobr. Попри те, що цей ряд також є розбіжним, з ним значно простіше працювати. Існує кілька класичних способів присвоїти скінченне значення цьому ряду, відомих ще з XVIII століття.

Для того, щоб звести ряд Шаблон:Nobr до виду Шаблон:Nobr, ми можемо відняти 4 від другого члена, 8 від четвертого члена, 12 від шостого і т. д. Загальна величина, яку потрібно відняти, виражається рядом Шаблон:Nobr, який виходить множенням початкового ряду Шаблон:Nobr на 4. Ці вирази можна записати в алгебричній формі. Що б себою не являла «сума», введемо для неї позначення Шаблон:Nowrap помножимо отримане рівняння на 4 і віднімемо друге від першого:

$\begin{array}{ccccccc}c& =& 1+2& & +3+4& & +5+6+\cdots ,\\ 4c& =& 4& & +8& & +12+\cdots ,\\ -3c& =& 1-2& & +3-4& & +5-6+\cdots .\end{array}$

Друге ключове спостереження полягає в тому, що ряд Шаблон:Nobr є розкладом у степеневий ряд функції 1/(1 + Шаблон:Mvar)² при Шаблон:Mvar, рівному 1. Відповідно, Рамануджан робить висновок:

$-3c=1-2+3-4+\cdots =\frac{1}{(1+1{)}^2}=\frac{1}{4}.$

Поділивши обидві частини на −3, отримуємо Шаблон:Mvar = −1/12.

Строго кажучи, існує неоднозначність при роботі з нескінченними рядами в разі використання методів, призначених для скінченних сум (на зразок методів, використаних вище), особливо якщо ці нескінченні ряди розбіжні. Неоднозначність полягає в тому, що якщо вставити нуль у будь-яке місце в розбіжному ряді, існує ймовірність отримати суперечливий результат. Наприклад, дія Шаблон:Nobr суперечить властивостям додавання.

Одним із способів обійти цю невизначеність і тим самим обмежити позиції, куди можна вставити нуль, є присвоєння кожному члену ряду значення деякої функції. Для ряду Шаблон:Nobr, кожен член Шаблон:Mvar є натуральним числом, яке можна подати у вигляді функції Шаблон:Math, де Шаблон:Mvar — деяка комплексна змінна. Використовуючи таке подання, можна гарантувати, що всі члени ряду послідовні. Таким чином, присвоївши Шаблон:Mvar значення −1, можна виразити розглянутий ряд у строгому вигляді. Реалізація цього способу має назву регуляризації дзета-функцією.

Регуляризація дзета-функцією

Графік функції ζ(s). Для Шаблон:Nobr, ряд збіжний і Шаблон:Nobr. Аналітичне продовження в околі Шаблон:Nobr приводить до від'ємних значень, зокрема Шаблон:Nobr

У цьому методі, ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n$ замінюють рядом $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-s}$. Останній ряд є окремим випадком ряду Діріхле. Якщо дійсна частина s більша від 1, ряд Діріхле збіжний, і його сума являє собою дзета-функцію Рімана ζ(s). З іншого боку, якщо дійсна частина s менша або дорівнює 1, ряд Діріхле розбіжний. Зокрема, ряд Шаблон:Nobr, який виходить підстановкою s = −1, не є збіжним. Перевагою переходу до дзета-функції Рімана є те, що, використовуючи метод аналітичного продовження, її можна визначити для s ⩽ 1. Отже, ми можемо отримати значення регуляризованої дзета-функції ζ(−1) = −1/12.

Існує кілька способів довести, що Шаблон:Nobr Один із методів використовує зв'язок між дзета-функцією Рімана і Шаблон:Iw η(s). Ета-функція виражається знакозмінним рядом Діріхле, узгоджуючись тим самим із раніше наведеними евристичними передумовами. Тоді як обидва ряди Діріхле збіжні, такі тотожності істинні:

$\begin{array}{cccccccc}\zeta (s)& =& 1^{-s}+2^{-s}& & +3^{-s}+4^{-s}& & +5^{-s}+6^{-s}+\cdots ,& \\ 2\cdot 2^{-s}\zeta (s)& =& 2\cdot 2^{-s}& & +2\cdot 4^{-s}& & +2\cdot 6^{-s}+\cdots ,& \\ (1-2^{1-s})\zeta (s)& =& 1^{-s}-2^{-s}& & +3^{-s}-4^{-s}& & +5^{-s}-6^{-s}+\cdots & =\eta (s).\end{array}$

Тотожність $(1-2^{1-s})\zeta (s)=\eta (s)$ залишається справедливою якщо ми продовжимо обидві функції аналітично в область значень s, де записані вище ряди розбіжні. Підставляючи Шаблон:Nobr, одержимо Шаблон:Nobr Відзначимо, що обчислення η(−1) є простішою задачею, оскільки значення ета-функції виражається значенням суми Абеля відповідного ряду і являє собою односторонню границю:

$-3\zeta (-1)=\eta (-1)=\underset{x\nearrow 1}{\lim }(1-2x+3x^2-4x^3+\cdots )=\underset{x\nearrow 1}{\lim }\frac{1}{(1+x{)}^2}=\frac{1}{4}.$

Поділивши обидві частини виразу на −3, отримуємо Шаблон:Nobr

Підсумовування методом Рамануджана

Підсумовування ряду Шаблон:Nobr методом Рамануджана також дозволяє отримати значення −1/12. У своєму другому листі до Ґ. Г. Гарді, датованому 27 лютого 1913, Рамануджан писав:

Шановний Сер, я з великим задоволенням прочитав вашого листа від 8 лютого 1913 року. Я очікував, що ви відповісте мені в тому ж стилі, що й професор математики з Лондона, який порадив мені уважно вивчити «Нескінченні ряди» Томаса Бромвіча і не потрапляти в пастку, яку приховують розбіжні ряди. … Я відповів йому, що, згідно з моєю теорією, сума нескінченного числа членів ряду Шаблон:Nobr. Дізнавшись це, ви зразу ж вкажете в напрямку психіатричної лікарні. Запевняю, ви не зможете простежити нитку міркувань у моєму доведенні цього факту, якщо я спробую викласти їх у єдиному листі.

Метод підсумовування Рамануджана полягає в ізолюванні сталого члена у формулі Ейлера — Маклорена для часткових сум ряду. Для деякої функції f класична сума Рамануджана для ряду $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}f(k)$ визначена як

$c=-\frac{1}{2}f(0)-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}{f}^{(2k-1)}(0),$

де f^(2k−1) являє собою (2k-1)-шу похідну функції f і B_2k є 2k-м числом Бернуллі: Шаблон:Nobr, Шаблон:Nobr і т. д. Приймаючи Шаблон:Nobr, перша похідна f дорівнює 1, а всі інші члени прямують до нуля, тому:

$c=-\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2!}=-\frac{1}{12}.$

Для уникнення суперечностей сучасна теорія методу підсумовування Рамануджана вимагає, щоб функція f була «регулярною» в тому сенсі, що її похідні вищих порядків спадають досить швидко для того, щоб решта членів у формулі Ейлера — Маклорена прямували до 0. Рамануджан неявно мав на увазі цю властивість. Вимога регулярності допомагає уникнути використання методу підсумовування Рамануджана для рядів типу 0 + 2 + 0 + 4 + … тому, що не існує регулярної функції, яка виражалася б значеннями такого ряду. Такий ряд слід інтерпретувати з використанням регуляризації дзета-функцією.

Неспроможність стійких лінійних методів підсумовування

Лінійний і стійкий метод підсумовування не в змозі присвоїти скінченне значення ряду 1 + 2 + 3 + … («Стійкий» означає, що додавання члена в початок ряду збільшує суму ряду на величину цього члена.) Це твердження можна продемонструвати так. Якщо

1 + 2 + 3 + … = x,

тоді, додаючи 0 до обох частин, отримуємо

0 + 1 + 2 + … = 0 + x = x,

виходячи зі властивості стійкості. Віднімаючи нижній ряд від верхнього, отримуємо

1 + 1 + 1 + … = x − x = 0,

виходячи зі властивості лінійності. Додаючи 0 до обох частин повторно, отримуємо

0 + 1 + 1 + 1 + … = 0

і, віднімаючи два останніх ряди, приходимо до

1 + 0 + 0 + … = 0,

що суперечить властивості стійкості.

Методи, використані вище, для підсумовування 1 + 2 + 3 + … є або тільки стійкими, або тільки лінійними. Наприклад, існує два різних методи, які називають регуляризацією дзета-функцією. Перший є стійким, але нелінійним і визначає суму a + b + c + … множини чисел як значення аналітичного продовження виразу 1/a^s + 1/b^s + 1/c^s + при s = −1. Другий метод лінійний, але нестійкий і визначає суму послідовності чисел як значення аналітичного продовження виразу a/1^s + b/2^s + c/3^s при s = 0. Обидва методи присвоюють ряду 1 + 2 + 3 + … значення суми ζ (−1) = −1/12.

Застосування у фізиці

Значення −1/12 зустрічається в теорії бозонних струн за спроби розрахувати можливі енергетичні рівні струни, а саме нижчий енергетичний рівень.

Регуляризація ряду 1 + 2 + 3 + 4 + … також зустрічається під час розрахунку ефекту Казимира для скалярного поля в одновимірному просторі. Схожі обчислення виникають для тривимірного простору, проте в цьому випадку замість дзета-функції Рімана використовують реальніШаблон:Уточнити аналітичні ряди Ейзенштейна.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Посилання

• This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 124) Шаблон:Webarchive, (Week 126) Шаблон:Webarchive, (Week 147) Шаблон:Webarchive, (Week 213) Шаблон:Webarchive
  • Euler's Proof That 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12 Шаблон:Webarchive — By John Baez
  • Шаблон:Cite web
• The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation Шаблон:Webarchive by Terence Tao
• A recursive evaluation of zeta of negative integers Шаблон:Webarchive by Шаблон:Нп
• ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = −1/12 Шаблон:Webarchive Відео Numberphile з більш ніж 1 млн переглядів
  • Sum of Natural Numbers (second proof and extra footage) Шаблон:Webarchive — включає демонстрацію методу Ейлера.
  • What do we get if we sum all the natural numbers? Шаблон:Webarchive — відповідь Tony Padilla на коментарі до відео
  • Пов'язана стаття в New York Times Шаблон:Webarchive
• Divergent Series: why 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12 Шаблон:Webarchive Brydon Cais з університету Аризони