1 − 2 + 3 − 4 + …

Перші 15 000 часткових сум ряду 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + …

1 − 2 + 3 − 4 + … — знакопереміжний ряд, членами якого є цілі числа.

Часткова сума з номером m цього ряду описується виразом:

$\sum _{n=1}^{m}n(-1{)}^{n-1}.$

Такий нескінченний ряд є розбіжним, тобто часткові суми ряду не прямують ні до якої скінкінченої границі. Однак, у середині 18-го століття Леонард Ейлер запропонував вираз, який він охарактеризував як «парадоксальний»:

$1-2+3-4+\cdots =\frac{1}{4}.$

Цей знакозмінний (а точніше — знакопереміжний) ряд тісно пов'язаний із рядом Гранді (1 − 1 + 1 − 1 + …). Ейлер трактував ці ряди як два окремих випадки ряду Шаблон:Nowrap, який він вивчав для довільного n, працюючи над Базельською проблемою, і отримав функціональні рівняння для функцій, відомих нині як Шаблон:Нп і дзета-функція Рімана.

Розбіжність

Члени послідовності (1, −2, 3, −4, …) не прямують до нуля, тому згідно необхідній умові збіжності ряд розходиться.

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

…

$\sum _{n=1}^m(-1{)}^{n-1}n=\frac{(-1{)}^{m-1}(2m+1)+1}{4}$

Ця послідовність примітна тим, що в ній присутнє кожне ціле число — навіть нуль, якщо враховувати порожню часткову суму — і таким чином множина значень членів цієї послідовності є зліченною. Ця послідовність часткових сум показує, що ряд не сходиться ні до якого конкретного числа (для будь-якого x можна знайти член, після якого всі наступні часткові суми будуть перебувати за межами інтервалу $[x-1,x+1]$), отже, ряд розходиться.

Узагальнена сума

Леонард Ейлер запропонував вираз, який він охарактеризував як «парадоксальний»:

$1-2+3-4+\cdots =\frac{1}{4}.$

Математичний метод, який би дозволив інтерпретувати цей вираз, було розроблено набагато пізніше. Починаючи з 1890 року, Шаблон:Нп, Еміль Борель та інші математики строго сформулювали методи отримання узагальнених сум розбіжних рядів, а також доповнили ідеї Ейлера новими інтерпретаціями. Більшість з цих методів для суми ряду дають результат послідовності 1 − 2 + 3 − 4 + …, що дорівнює Шаблон:Frac. Підсумовування за Чезаро не дає змоги визначити суму ряду 1 − 2 + 3 − 4 + …. Таким чином, щоб отримати якусь узагальнену суму для цього ряду потрібен інший підхід, наприклад, застосування підсумовування методом Абеля.

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite web Originally published as Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book 2nd Ed. published by Chelsea Pub. Co., 1991. Шаблон:ISBN.
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book