Формула сумування Абеля

Фо́рмула суму́вання А́беля, яку ввів норвезький математик Нільс Генрік Абель, часто застосовується в теорії чисел для оцінення сум скінченних і нескінченних рядів.

Формула

Нехай $a_n$ — послідовність дійсних або комплексних чисел і $f(x)$ — неперервно диференційовна на промені $[1,x)$ функція. Тоді

$\sum _{1⩽n⩽x}{a}_{n}f(n)=A(x)f(x)-\underset{1}{\overset{x}{\int }}A(u)f^{\prime }(u)\mathrm{d}u$

де

$A(x):=\sum _{0<n⩽x}{a}_n.$

В загальному випадку, якщо $f(x)$ є неперервно диференційовною на $[x,y)$ то

$\sum _{x<n⩽y}{a}_{n}f(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\underset{x}{\overset{y}{\int }}A(u)f^{\prime }(u)\mathrm{d}u.$

Якщо часткові суми ряду $a_n$ обмежені, а $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \mathrm{\infty }}f(x)=0$, то граничним переходом можна отримати таку рівність

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}f(n)=-\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}A(u)f^{\prime }(u)\mathrm{d}u$

Приклади

Стала Ейлера — Маскероні

Шаблон:Докладніше Для $a_n=1$ і $f(x)=\frac{1}{x},$ легко бачити, що $A(x)=\lfloor x\rfloor ,$ тоді

$\sum _{n=1}^x\frac{1}{n}=\frac{\lfloor x\rfloor }{x}+\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{\lfloor u\rfloor }{u^2}\mathrm{d}u=\frac{\lfloor x\rfloor }{x}+\mathrm{l}\mathrm{n}(x)-\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{\{u\}}{u^2}\mathrm{d}u$

переносячи в ліву частину логарифм і переходячи до границі, отримуємо вираз для сталої Ейлера — Маскероні:

$\gamma =1-\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\{u\}}{u^2}du$, де $\left\{t\right\}$ — дробова частина число $t$.

Подання дзета-функції Рімана

Шаблон:Див. також Для $a_n=1$ і $f(x)=\frac{1}{x^s},$ аналогічно $A(x)=\lfloor x\rfloor ,$ тоді

$\sum _1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}\mathrm{d}u=s(\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u}{u^{1+s}}\mathrm{d}u-\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\{u\}}{u^{1+s}}\mathrm{d}u)=1+\frac{1}{s-1}-s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\{u\}}{u^{1+s}}\mathrm{d}u.$

Цю формулу можна використовувати для визначення дзета-функції в області $\mathrm{\Re }(s)>0,$ оскільки в цьому випадку інтеграл збігається абсолютно. Крім того, з неї випливає, що $\zeta (s)$ має простий полюс із лишком 1 у точці s = 1.

Сумування Ейлера — Маклорена

У загальному випадку, якщо $f(x)$ є неперервно диференційовною на $[x,y)$ і всі $a_n=1$ (тоді також $A(x)=\lfloor x\rfloor$) то:

$\begin{array}{cc}\sum _{x<n⩽y}f(n)& =f(y)\lfloor y\rfloor -f(x)\lfloor x\rfloor -\underset{x}{\overset{y}{\int }}\lfloor u\rfloor f^{\prime }(u)\mathrm{d}u=\\ & =f(y)(y-\{y\})-f(x)(x-\{x\})-\underset{x}{\overset{y}{\int }}(u-\{u\})f^{\prime }(u)\mathrm{d}u=\\ & =f(x)\{x\}-f(y)\{y\}+\underset{x}{\overset{y}{\int }}\{u\}{f}^{\prime }(u)\mathrm{d}u+f(y)y-f(x)x-\underset{x}{\overset{y}{\int }}u{f}^{\prime }(u)=\\ & =f(x)\{x\}-f(y)\{y\}+\underset{x}{\overset{y}{\int }}\{u\}{f}^{\prime }(u)\mathrm{d}u+\underset{x}{\overset{y}{\int }}f(u).\end{array}$

Для доведення останньої рівності використано інтегрування частинами.

Рівність

$\sum _{x<n⩽y}f(n)=f(x)\{x\}-f(y)\{y\}+\underset{x}{\overset{y}{\int }}\{u\}{f}^{\prime }(u)\mathrm{d}u+\underset{x}{\overset{y}{\int }}f(u)\mathrm{d}u$

називається формулою сумування Ейлера — Маклорена. Якщо $x,y$ є цілими числами, то вона є найпростішим випадком формул Ейлера — Маклорена. Дана формула часто використовується у аналітичній теорії чисел. Зокрема приклади вище є частковими випадками цієї формули.

Інший важливий приклад застосування можна отримати, якщо взяти $x=1$ і $f(u)=\ln u.$ Тоді

$\sum _{n⩽y}\ln n=\underset{1}{\overset{y}{\int }}\ln u\mathrm{d}u+\underset{1}{\overset{y}{\int }}\frac{\{u\}}{u}\mathrm{d}u-\{y\}\ln y.$

Перший доданок у правій частині є рівним $y\ln y-y,$ а два інші є $O(\ln y).$ Отже остаточно:

$\sum _{n⩽y}\ln n=y\ln y-y+O(\ln y).$

Посилання

• Шаблон:Citation