Чотирипелюсткова троянда

Чотирипелюсткова троянда з полярним рівнянням $r=a\cdot \sin 2\phi$

Чотирипелюсткова троянда (також правильний чотирилисник або квадрифолій, чотирилисник конюшини) — плоска алгебрична крива 6-го порядку, троянда з чотирма пелюстками.

Є окремим випадком сімейства синусоїдальних спіралей, а також епі- та гіпотрохоїд.

Рівняння

Рівняння
В полярній системі координат	$\rho =a\cdot \cos 2\phi ,0\le \phi \le 2\pi$ .		$\rho =a\cdot \sin 2\phi ,0\le \phi \le 2\pi$ .
В декартовій системі координат в неявному виді	$(x^2+y^2{)}^3=a^2\cdot (x^2-y^2{)}^2$ .		$(x^2+y^2{)}^3=4a^2{x}^2{y}^2$ .
В декартовій стстемі координат в параметричному виді	$\{\begin{array}{c}x(t)=a\cdot \cos t\cdot \cos 2t\\ y(t)=a\cdot \sin t\cdot \cos 2t\end{array},0\le t\le 2\pi$ .		$\{\begin{array}{c}x(t)=a\cdot \cos t\cdot \sin 2t\\ y(t)=a\cdot \sin t\cdot \sin 2t\end{array},0\le t\le 2\pi$ ; Також: $\{\begin{array}{c}x(t)=2a\cdot \cos t\cdot {\sin }^{2}t\\ y(t)=2a\cdot \sin t\cdot {\cos }^{2}t\end{array}0\le t\le 2\pi$
	Початок координат (полюс) $O(0,0)$ — чотирикратна вузлова точка; Вершини пелюсток знаходяться на осях координат.		Початок координат (полюс) $O(0,0)$ — чотирикратна вузлова точка; Вершини пелюсток знаходяться на прямих $y=\pm x$ (на прямих $\phi =\frac{\pi }{4}$ та $\phi =\frac{3\pi }{4}$).

У будь-якій формі це плоска алгебрична крива роду нуль.

Метричні характеристики

Нехай троянда задана в системі координат одним з рівнянь попереднього розділу. Тоді:

• Довжина дуги (периметр) троянди:

$\ell =8a\cdot \mathrm{E}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=8a\cdot \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{1-\frac{3}{4}\cdot {\sin }^{2}t}dt\approx 9.68844822...\cdot a.$

де $\mathrm{E}(k)$ — повний еліптичний інтеграл другого роду.
Послідовність Шаблон:Oeis в ОЕIS.

Довжина довільної дуги чотирипелюсткової троянди, що відповідає параметру t:

$\ell (t)=a\cdot \mathrm{E}(2t,\frac{\sqrt{3}}{4})$

де $\mathrm{E}(x,k)$ — неповний еліптичний інтеграл другого роду.

• Площа области, що обмежена чотирипелюстковою трояндою:

$S=\frac{1}{2}{a}^2\cdot \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{\sin }^2(2\phi )d\phi =8\cdot \frac{1}{2}\cdot a^2\cdot \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{\sin }^2(2\phi )d\phi =\frac{\pi a^2}{2}$

Ця площа дорівнює половині площі описаного навколо троянди круга.

Площа области, що обмежена однією пелюсткою троянди дорівнює Шаблон:Math.

• Кривина чотирипелюсткової троянди в довільній точці, що відповідає параметру t :

$\kappa (t)=\frac{\sqrt{2}\cdot (13+3\cos (4t))}{a\cdot (5+3\cos (4t){)}^{\frac{3}{2}}}$.

Властивості та особливості форми

• Вся крива розташовується всередині кола радіуса $a$ і сладається з чотирьох однакових за формою та розміром пелюсток. Вершини пелюсток є вершинами квадрата.
• Чотирипелюсткова троянда є алгебричною раціональною кривою 4-го порядку роду 0.
• Крива має 4 осі симетрії, дві з яких проходять через протилежні вершини пелюсток. Зокрема, рівняння осей симетрії для косинус-варіанта кривої:

$x=0,y=0,\text{та}y=\pm x$

Полюс кривої (початок координат) $O(0,0)$ є центром симетрії кривої.
Прямі $y=\pm x$ є дотичними у вузловій точці троянди (для косинус-варіанта кривої).

• Чотирипелюсткова троянда $\rho =a\cdot \cos 2\phi$ є гіпотрохоїдою, у якої радіус нерухомого кола дорівнює $R=\frac{2a}{3}$, радіус твірного (рухомого) кола дорівнює $r=\frac{a}{6}$, а відстань від твірної точки до центра рухомого кола дорівнює $h=\frac{a}{2}$. Шаблон:Rp

Чотирипелюсткова троянда є епітрохоїдою при $R=4r$ та $h=R+r=\frac{5}{4}\cdot R$. Шаблон:SfnШаблон:Rp Шаблон:Clear

• 

  Чотирипелюсткова троянда є подерою астроїди відносно її центра. Шаблон:SfnШаблон:Rp

Для астроїди

$\{\begin{array}{c}x(t)=R\cdot {\cos }^3\frac{t}{3}\\ y(t)=R\cdot {\sin }^3\frac{t}{3}\end{array}$,

де $t$ — кут повороту твірного (рухомого) кола;
$R$ — радіус напрямного (нерухомого) кола.
рівняння подери відносно її центру (початку координат) буде:

$\rho =\frac{R}{2}\cdot \sin 2\phi$

або

$(x^2+y^2{)}^3=R^2\cdot x^2{y}^2$

Ця троянда є вписаною в коло, яке вписане в астроїду. Вершини троянди збігаються з вершинами астроїди. Шаблон:SfnШаблон:Rp

• Чотирипелюсткова троянда є геометричним місцем підстав перпендикулярів, що проведені від початку координат до відрізку сталої довжини, кінці якогo ковзають по координатним осям.Шаблон:SfnШаблон:Rp
• Чотирипелюсткова троянда є геометричним місцем вершин прямих кутів, сторони яких дотикаються до астроїди. Шаблон:SfnШаблон:Rp
• Чотирипелюсткова троянда є результатом інверсії відносно початку координат хрестоподібної кривої, що має рівняння

$\frac{a^2}{x^2}+\frac{a^2}{y^2}=1$

або

$\rho =\frac{2a}{\sin 2\phi }=1$

• 

  Крива, двоїста до чотирипелюсткової троянди

Дуальною до чотирипелюсткової троянди є крива з рівнянням в декартовій системі координат:

$(x^2-y^2{)}^4+837(x^2+y^2{)}^2+108x^2{y}^2=16(x^2+7y^2)(y^2+7x^2)(x^2+y^2)+729(x^2+y^2).$

Кінематичне та механічне утворення чотирипелюсткової троянди

• Нехай два рівних відрізка $OA$ та $AM$ довжиною $a$ обертаються навколо точок $O$ та $A$ зі швидкостями, відношення яких дорівнює $\frac{{\omega }_{OA}}{{\omega }_{AM}}=2$.
  Тоді траєкторією точки $M$ буде чотирипелюсткова троянда.
• Нехай два радіуси $OA$ та $OB$ деякого кола обертаються навколо точки $O$ зі швидкостями, відношення яких дорівнює $\frac{{\omega }_{OA}}{{\omega }_{OB}}=2$.
  Тоді, геометричним місцем підстав перпендикулярів, проведених з точки $A$ на $OB$ є чотирипелюсткова троянда.Шаблон:SfnШаблон:Rp

Утворення чотирипелюсткової троянди при обертанні зубчастих коліс. Крива замикається при повному оберті веденого зубчастого колеса

Див. також

• Троянда (плоска крива)
• Трипелюсткова троянда

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Ferréol Robert , QUATREFOIL CURVE, на сайті MATHCURVE.COM, 2017
• Jan Wassenaar, Rhodonea, на сайті www.2dcurves.com.
• Quadrifolium на сайті people.math.carleton.ca
• Аплет для створення троянд з параметром k

• Інтерактивний приклад із JSXGraph