Астроїда

Побудова астроїди

Астро́їда (Шаблон:Lang-el — зоря і Шаблон:Lang-el2 — вид) — плоска алгебрична крива, що утворена фіксованою точкою М кола, яке котиться без ковзання по внутрішній стороні іншого нерухомого кола вчетверо більшого радіуса.

Рухоме коло (з радіусом $r$) називається твірним, нерухоме коло (з радіусом $R=4r$) — напрямним.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Астроїда є гіпоциклоїдою з параметром $k=\frac{R}{r}=4$, тобто з чотирма каспами; розміри твірного та напрямного кіл: $r;R=4r$.
Також, астроїда є гіпоциклоїдою з розмірaми напрямного та твірного кіл: $R;r=\frac{3}{4}\cdot R$. Шаблон:SfnШаблон:Rp

Початковою точкою астроїди (як і будь-якої гіпоциклоїди) називають таку її точку $P$, що лежить на прямій, яка проходить через центр $C$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться по той же бік від $C$, що і точка опори.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Початкові точки є каспами (простими точками звороту) астроїди. Початкові точки лежать на напрямному колі і збігаються з точками опори твірного кола.

Вершиною астроїди (як і будь-якої гіпоциклоїди) називають таку її точку $V$, що лежить на прямій, яка проходить через центр $C$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться з нею по різні боки від $C$.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp Тобто вершина астроїди знаходиться в середині арки астроїди; астроїда має чотири вершини.

Криву вперше вивчав Йоганн Бернуллі в 1691 році, також про неї згадується в листуванні Лейбніца 1715 року, та в працях Даламбера 1748 року. Назву "Astrois" кривій дав Йозеф Йоганн Літтров в 1838 році..

Рівняння кривої

Нехай радіус напрямного (нерухомого) кола дорівнює $R=a$, а радіус твірного (рухомого) кола дорівнює $r$. Тоді:

• Рівняння астроїди в декартовій системі координат в неявному виді:Шаблон:SfnШаблон:Rp

$$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.$$

Також: $${(x^2+y^2-a^2)}^3+27a^2{x}^2{y}^2=0.$$

При цьому осі координат проходять через початкові точки (каспи) астроїди (рис.), та є її осями симетрії; центр астроїди (центр нерухомого кола) знаходиться в початку координат $O(0,0)$.

• Рівняння астроїди в декартовій системі координат в параметричному виді: Шаблон:SfnШаблон:Rp

$$\{\begin{array}{cc}x=a{\cos }^{3}t& =\frac{a}{4}(3\cos \left(t\right)+\cos \left(3t\right))\\ y=a{\sin }^{3}t& =\frac{a}{4}(3\sin \left(t\right)-\sin \left(3t\right))\end{array};0\le t\le 2\pi$$

При цьому початкова точка астроїди, її касп, з якого починається утворення кривої, лежить на додатній частині осі $Ox$.

Параметр $t$ — це кут нахилу відрізка між центрами твірних кіл до осі $Ox$.

• Ці рівняння можна записати більш компактно у комплексній формі:

$4z=a\cdot (3e^{it}+e^{-3it})$ .

• Рівняння астроїди в полярній системі координат:

$$\rho =\frac{a}{{({\cos }^{\frac{2}{3}}\phi +{\sin }^{\frac{2}{3}}\phi )}^{\frac{3}{2}}}=\frac{|\sec \phi |}{{(1+{\mathrm{tg}}^{\frac{2}{3}}\phi )}^{\frac{3}{2}}};$$

де полярний кут $\phi =\mathrm{arctg}\frac{y}{x}=\mathrm{arctg}\left({\mathrm{tg}}^{3}t\right).$

• Шаблон:Не перекладено для астроїди має вигляд: Шаблон:Sfn Шаблон:Rp Шаблон:SfnШаблон:Rp

${\rho }^2+4{\ell }^2=\frac{9}{4}\cdot a^2$

де
$\rho$ — радіус кривини астроїди в певній точці;
$\ell$ — довжина дуги астроїди від її початку до цієї точки.

Це рівняння виражає наступну властивість астроїди:
Якщо дуга астроїди котиться без ковзання по прямій $AB$, то центр кривини точки дотику рухається по еліпсу; центр останнього лежить в тій точці прямої $AB$, через яку прокочується вершина астроїди; одна з напівосей збігається з прямою $AB$ і по довжині дорівнює половині арки астроїди, а саме: $\left|\frac{4r\cdot (R-r)}{R}\right|=\frac{3}{4}\cdot a$.

Друга напіввісь є радіусом кривини в вершині і дорівнює: $\left|\frac{4r\cdot (R-r)}{R-2r}\right|=\frac{3}{2}\cdot a$.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Метричні характеристики

• Довжина дуги астроїди між точками, що відповідають параметру $t(0\le t\le \frac{\pi }{2})$

$\ell =\frac{3}{2}\cdot {\sin }^{2}t\cdot a.$

Зокрема, довжина дуги однієї повної арки астроїди дорівнює:

$\ell =\frac{3}{2}\cdot a$

а довжина всієї астроїди:

$\ell =6\cdot a$

• Площа сектора, що обмежений однією аркою астроїди та координатними осями, дорівнює

$S=\frac{3}{32}\cdot \pi a^2$

а фігури, що обмежена повною астроїдою:

$S=\frac{3}{8}\cdot \pi a^2\approx 1.178097\cdot a^2$

Шаблон:OEIS.

• Площа поверхні тіла обертання, утвореного при обертанні астроїди навколо будь-якої координатної осі: Шаблон:SfnШаблон:Rp

$S=\frac{12}{5}\pi a^2$

• Об'єм тіла обертання, утвореного при обертанні астроїди навколо будь-якої координатної осі: Шаблон:SfnШаблон:Rp

$V=\pi \underset{-a}{\overset{a}{\int }}{(a^{2/3}-x^{2/3})}^{3}dx=\frac{32}{105}\pi a^3$

• Кривина астроїди в деякій її точці $M$, що відповідає параметру $t$:

$\kappa (t)=-\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{|\sin 2t|}$

а радіус кривини в цій точці: Шаблон:SfnШаблон:Rp

$\rho (t)=\frac{3}{2}\cdot |\sin 2t|\cdot a=3\cdot \sqrt[3]{a\cdot xy}.$

В точках звороту астроїди радіус кривини дорівнює $\rho =0,$
В вершинах астроїди радіус кривини дорівнює $\rho =\frac{3}{2}\cdot a.$

• Центр мас

Координати центра мас частин астроїди
	Інтервал	$x_{\mathrm{S}}$	$y_{\mathrm{S}}$
Периметр кривої	0 ≤ t ≤ $\frac{\pi }{2}$	$\frac{2}{5}a$	$\frac{2}{5}a$
	0 ≤ t ≤ $\pi$	0	$\frac{2}{5}a$
Плоска фігура	0 ≤ t ≤ $\frac{\pi }{2}$	$\frac{256}{315\pi }a$	$\frac{256}{315\pi }a$
	0 ≤ t ≤ $\pi$	0	$\frac{256}{315\pi }a$
Тіло обертання навколо осі Х $(z_S=0)$	0 ≤ t ≤ $\frac{\pi }{2}$	$\frac{21}{128}a$	0

Властивості та особливості форми

• Астроїда є плоскою алгебричною кривою шостого порядку роду 0.
• Крива має 4 осі симетрії, дві з яких проходять через протилежні вершини, а інші дві — через протилежні каспи астроїди. Крива має центр симетрії.
• Астроїда має чотири сингулярні точки на дійсній площині (точки звороту); також астроїда має дві комплексні сингулярні точки звороту на нескінченності, та чотири комплексні сингулярні вузлові (подвійні) точки. Загалом астроїда має 10 сингулярних точок.

• Дотична до астроїди в довільній її точці Р утворює в перетині з осями координат відрізок АВ сталої довжини а.
• Астроїда є обвідною сімейства відрізків однакової довжини, кінці яких закріплені на двох взаємно-перпендикулярних прямих.
• Астроїда є обвідною сімейства коаксіальних (співвісних) еліпсів, для яких сума малої та великої півосей є сталою. Шаблон:SfnШаблон:Rp Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

• 

  Подерою астроїди відносно її центра є чотирипелюсткова троянда. Шаблон:SfnШаблон:Rp

Для астроїди

$\{\begin{array}{c}x(t)=R\cdot {\cos }^3\frac{t}{3}\\ y(t)=R\cdot {\sin }^3\frac{t}{3}\end{array}$,

де $t$ — кут повороту твірного (рухомого) кола;
$R$ — радіус напрямного (нерухомого) кола.
рівняння подери відносно її центру (початку координат) буде:

$\rho =\frac{R}{2}\cdot \sin 2\phi$

або

$(x^2+y^2{)}^3=R^2\cdot x^2{y}^2$

Ця троянда є вписаною в коло, яке вписане в астроїду. Вершини троянди збігаються з вершинами астроїди. Шаблон:SfnШаблон:Rp Шаблон:Clear

Еволюта астроїди

• Астроїда (як і будь-яка гіпоциклоїда) та її еволюта подібні.

Відношення подібності складає Шаблон:Sfn Шаблон:Rp $R:(R-2r)=2,$ тобто еволюта астроїди вдвічі більша за неї.

Еволюта має той же центр, що і початкова астроїда. Каспи початкової кривої збігаються з вершинами її еволюти. Отже, еволюту можна отримати, повернувши дану астроїду на кут $\frac{\pi }{4}$, а потім відповідно маштабувавши її.Шаблон:SfnШаблон:Rp

Для астроїди $\{\begin{array}{c}x=a\cdot {\cos }^{3}t\\ y=a\cdot {\sin }^{3}t\end{array}$ рівняння її еволюти: Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

$\{\begin{array}{c}x=a\cdot \cos t\cdot (1+{\sin }^{2}t)\\ y=a\cdot \sin t\cdot (1+{\cos }^{2}t)\end{array}$

• Еволютою еліпса $\{\begin{array}{c}x=a\cdot \cos t\\ y=b\cdot \sin t\end{array}$ є крива, що є узагальненням астроїди — подовжена астроїда, рівняння якої:Шаблон:SfnШаблон:Rp

$$\{\begin{array}{c}x=\frac{a^2-b^2}{a}\cdot {\cos }^{3}t\\ y=-\frac{a^2-b^2}{b}\cdot {\sin }^{3}t\end{array}$$

Вилучивши параметр $t$, отримаємо рівняння еволюти еліпса в неявному виді:

$${\left(\frac{x}{\frac{a^2-b^2}{a}}\right)}^{\frac{2}{3}}+{\left(\frac{y}{\frac{a^2-b^2}{b}}\right)}^{\frac{2}{3}}=1$$

• Двоїстою кривою астроїди є хрестоподібна крива з рівнянням: $x^2{y}^2=x^2+y^2.$

Література

• Шаблон:УРЕ
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Cite book

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Книга

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Springer
• Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Astroid на сайті MacTutor (англ.)
• Ferréol Robert , ASTROÏDE, на сайті MATHCURVE.COM, 2006
• Xah Lee. Astroid