Троянда (плоска крива)

Деякі приклади троянд , що мають рівняння $\rho =\cos k\phi$ в полярній системі координат при різних значеннях $k=n/d$.

Троянда (також крива Гвідо ГрандіШаблон:SfnШаблон:Rp, або родонія) — плоска крива, яка в полярній системі координат задана рівнянням:

$\rho =a\cdot \sin k\phi$ або $\rho =a\cdot \cos k\phi .$

Тут $a$ та $k$ — сталі, які відповідно визначають розмір та кількість пелюсток троянди.

Назву «rhodonea» кривим дав італійський математик Ґвідо Ґранді за їх схожість з пелюстками квітів; він вивчав їх у 1723—1728 роках і описав в своїй роботі «Flores geometrici» (1728).

Троянди є окремим випадком сімейства синусоїдальних спіралей, а також епі- та гіпотрохоїд.

Рівняння

• В полярній системі координат крива описується рівнянням у вигляді:

$\rho =a\cdot \cos k\phi$

Тут $a$ і $k$ — сталі, що визначають розмір (a) і кількість пелюсток (k) даної троянди; числа $p$ та $q$  — взаємно прості, тобто НСД {p;q} = 1.

При цьому, початок координат $O(0,0)$ — полюс, багатократна вузлова точка, а одна з пелюсток троянди орієнтована вздовж осі $Ox$.

Рівняння троянди в полярній системі координат можна також записати через функцію синуса:

$\rho =a\cdot \sin k\phi .$

Зокрема,

$\sin (k\theta )=\cos (k\theta -\frac{\pi }{2})=\cos \left(k(\theta -\frac{\pi }{2k})\right)$.

Таким чином, троянда, що задана рівнянням Шаблон:Math є ідентичною до кривої, що задана рівнянням Шаблон:Math, але повернутою відносно полюса проти годинникової стрілки на кут Шаблон:Math радіан, що становить чверть періоду синусоїди.
При цьому, одна з пелюсток троянди орієнтована вздовж осі $Oy$.

• Рівняння троянди в декартовій системі координат в параметричному виді має вигляд:

$\{\begin{array}{c}x(t)=a\cdot \cos kt\cdot \cos t\\ y(t)=a\cdot \cos kt\cdot \sin t\end{array}$

• Троянда, що задана полярним рівнянням Шаблон:Math може бути представлена в декартовій системі координат рівнянням в неявному виді:Шаблон:SfnШаблон:Rp

$\begin{array}{cc}{a}^q\cdot & ((\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{1})\cdot x^{p-1}y-(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{3})\cdot x^{p-3}{y}^3+(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{5})\cdot x^{p-5}{y}^5-\cdots )=\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{1})\cdot (x^2+y^2{)}^{\frac{p+1}{2}}\cdot (a^2-(x^2+y^2){)}^{\frac{q-1}{2}}-(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{3})\cdot (x^2+y^2{)}^{\frac{p-1}{2}}\cdot (a^2-(x^2+y^2){)}^{\frac{q-3}{2}}+\cdots \end{array}$

Дане рівняння буде раціональним (а крива алгебричною), якщо числа $p$ та $q$  — обидва непарні. В цьому випадку степінь рівняння, а отже, і порядок кривої дорівнює Шаблон:Math.
Якщо одне з чисел $p$ або $q$ є парним, то рівняння буде раціональним тільки після підведення обох його частин до квадрату. В цьому випадку степінь рівняння, а отже, і порядок кривої дорівнює Шаблон:Math.

Метричні характеристики

Нехай троянда задана в полярній системі координат рівнянням Шаблон:Math або Шаблон:Math, де Шаблон:Mvar — натуральне число. Тоді:

• Довжина дуги однієї пелюстки троянди:

$\ell =\frac{2a}{k}\cdot \mathrm{E}\left(\sqrt{1-k^2}\right)$

де $\mathrm{E}(k)$ — повний еліптичний інтеграл другого роду.

Також:

$\ell =2a\cdot \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{1-(1-\frac{1}{k^2})\cdot {\sin }^{2}t}dt\approx a\sqrt{2}\cdot \sqrt{1+k^2}.$

• Площа области, що обмежена трояндою:

$\begin{array}{cccc}\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}(a\cos (k\phi ){)}^{2}d\phi & =\frac{a^2}{2}(\pi +\frac{\sin (4k\pi )}{4k})=\frac{\pi a^2}{2}& & \text{для парних }k\\ [8px]\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(a\cos (k\phi ){)}^{2}d\phi & =\frac{a^2}{2}(\frac{\pi }{2}+\frac{\sin (2k\pi )}{4k})=\frac{\pi a^2}{4}& & \text{для непарних }k\end{array}$

При парних Шаблон:Mvar троянда має Шаблон:Math пелюсток, а при непарних Шаблон:Mvar кількість пелюсток дорівнює Шаблон:Mvar; отже, площа области, що обмежена однією пелюсткою троянди дорівнює Шаблон:Math.

Властивості та особливості форми

• Вся крива розташовується всередині кола радіуса $a$ і в разі $k>1$ складається з однакових за формою та розміром пелюсток.
• Якщо $k=\frac{p}{q}$ — раціональне число (зокрема і натуральне), то троянда є алгебричною кривою порядку Шаблон:Math, якщо числа $p$ та $q$  — обидва непарні; та порядку Шаблон:Math, якщо одне з них — парне.

Кількість різних троянд одного й того ж порядку $m$, у випадку, коли $m$ кратне чотирьом, дорівнює значенню функції $\pi (m)$, що визначає кількість простих чисел, менших за $m$.Шаблон:SfnШаблон:Rp
Якщо $m$ ділиться лише на 2, то кількість троянд порядку $m$ дорівнює $\pi (m)+\pi \left(\frac{m}{2}\right)$.
Зокрема, кількість троянд 4-го порядку дорівнює $\pi (4)=2(k=3,k=\frac{1}{3})$;
кількість троянд 6-го порядку дорівнює $\pi (6)+\pi (3)=4(k=2,k=\frac{1}{2},k=5,k=\frac{1}{5})$

Пелюстки

Кількість пелюсток троянди залежить від значення модуля $k$:

$k$ — натуральне число

• 

  Приклади троянд $r=\cos (k\phi )$з натуральним модулем $k=n=2,3,4,5$

  Якщо $k=n$ — натуральне число, то троянда має $k$ пелюсток, якщо $k$ непарне і $2k$ пелюсток, — якщо парне.
  Пелюстки не перекривають одна одну; початок координат (полюс) є вузловою точкою, відповідно $k$-го або $2k$-го порядку.

Окремі випадки

• Чотирипелюсткова троянда (квадрифолій)

$\rho =a\cdot \cos 2\phi$ або $\rho =a\cdot \sin 2\phi .$

Троянда з модулем Шаблон:Math; має Шаблон:Math пелюсток, вершини яких є вершинами квадрата. Має центр симетрії.
В декартовій системі координат крива має рівняння (косинус- та синус варіанти відповідно):

${(x^2+y^2)}^3=a^2{(x^2-y^2)}^2$

та

${(x^2+y^2)}^3=4{\left(axy\right)}^2$.

• Трипелюсткова троянда (трифолій)

$\rho =a\cdot \cos 3\phi$ або $\rho =a\cdot \sin 3\phi .$

Троянда з модулем Шаблон:Math; має Шаблон:Math пелюстки, вершини яких є вершинами рівностороннього трикутника.
В декартовій системі координат крива має рівняння (косинус- та синус варіанти відповідно):

${(x^2+y^2)}^2=a(x^3-3x{y}^2)$

та

${(x^2+y^2)}^2=a(3x^{2}y-y^3)$

• 8-пелюсткова троянда (октофолій)

$\rho =a\cdot \cos 4\phi$ або $\rho =a\cdot \sin 4\phi .$

Троянда з модулем Шаблон:Math; має Шаблон:Math пелюсток, вершини яких є вершинами правильного восьмикутника. Має центр симетрії.
В декартовій системі координат крива має рівняння (косинус- та синус варіанти відповідно):

${(x^2+y^2)}^5=a^2{(x^4-6x^2{y}^2+y^4)}^2$

and

${(x^2+y^2)}^5=16a^2{(x{y}^3-y{x}^3)}^2$

• 5-пелюсткова троянда (пентафолій)

$\rho =a\cdot \cos 5\phi$ або $\rho =a\cdot \sin 5\phi .$

Троянда з модулем Шаблон:Math; має Шаблон:Math пелюсток, вершини яких є вершинами правильного п'ятикутника.
В декартовій системі координат крива має рівняння (косинус- та синус варіанти відповідно):

${(x^2+y^2)}^3=a(x^5-10x^3{y}^2+5x{y}^4)$

та

${(x^2+y^2)}^3=a(5x^{4}y-10x^2{y}^3+y^5)$.

• 12-пелюсткова троянда (додекафолій)

$\rho =a\cdot \cos 6\phi$ або $\rho =a\cdot \sin 6\phi .$

Троянда з модулем Шаблон:Math; має Шаблон:Math пелюсток, вершини яких є вершинами правильного 12-кутника. Має центр симетрії.
В декартовій системі координат крива має рівняння (косинус- та синус варіанти відповідно):

${(x^2+y^2)}^7=a^2{(x^6-15x^4{y}^2+15x^2{y}^4-y^6)}^2$

та

${(x^2+y^2)}^7=4a^2{(3x^{5}y-10x^3{y}^3+3x{y}^5)}^2$

$k$ — раціональне число

• 

  Приклади троянд $r=\cos (k\phi )$з раціональним модулем $k=\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{3}{5}$

  Якщо $k=\frac{p}{q}>1$ — нескоротний дріб, де $p$ і $q$ взаємно прості, кількість пелюсток троянди рівне $p$, якщо обидва числа непарні і $2p$, якщо хоча б одне з них парне.
  Пелюстки частково перекривають одна одну.
  

Якщо $p$ непарне, а $q$ парне, то троянди $\rho =a\cdot \cos k\phi$ та $\rho =a\cdot \sin k\phi$ повністю збігаються. Шаблон:Clear

Окремі випадки

• Пелюстка Дюрера

$\rho =a\cdot \cos \left(\frac{\phi }{2}\right)$ або $\rho =a\cdot \sin \left(\frac{\phi }{2}\right)$

Троянда з модулем Шаблон:Math. Названа на честь німецького художника і гравера Альбрехта Дюрера.
Троянди, що задані рівняннями в косинус- або синус варіанті, повністю збігаються, незважаючи на те, що Шаблон:Math.
Рівняння кривої в декартовій системі координат:

$(x^2+y^2){(2(x^2+y^2)-a^2)}^2=a^4{x}^2$

Пелюстка Дюрера є трисектрисою, тобто може бути використана для трисекції кутів.

• 

  Равлик Паскаля (трисектриса)

Троянда

$\rho =2a\cdot \cos \left(\frac{\phi }{3}\right)$

з модулем Шаблон:Math є равликом Паскаля $\rho =a\cdot (1+2\cos \phi )$. Криві, задані цими рівняннями повністю ідентичні, але не збігаються в системі координат.
Крива має одну пелюстку з двома петлями.

Крива є трисектрисою, тобто може використовуватись для трисекції кутів.

$k$ — ірраціональне число

• 

  Приклад троянди $r=\cos (k\phi )$ з ірраціональним модулем $k=\pi ,0\le \phi \le 40\pi$

  При $k$ ірраціональному пелюсток нескінченно багато; крива не є алгебричною, незамкнена і щільно заповнює круг радіусом $a$ і центром в початку координат.

Симетрія

Троянда, що задана полярним рівнянням $\rho =a\cdot \cos k\phi$ при $k=\frac{p}{q}$ — раціональне число, симетрична відносно осі $Ox$. Також:

• Якщо $k$ — парне натуральне число, то крива має $2k$ осей симетрії $y=\mathrm{tg}\left(\frac{\pi \cdot n}{2k}\right)\cdot x(n=0,1,...,2k-1)$;
  Полюс $O(0,0)$ є центром симетрії троянди.
• Якщо $p$ та $q$ непарні (зокрема, $k$ — непарне натуральне число), то крива має $p$ осей симетрії $y=\mathrm{tg}\left(\frac{\pi \cdot n}{k}\right)\cdot x(n=0,1,...,p-1)$, що проходять через вершину кожної пелюстки.
  Центру симетрії не має.
• Якщо $p$ та $q$ різної парности, то троянда має $2p$ осей симетрії:
  — $p$ осей з рівнянням $y=\mathrm{tg}\left(\frac{\pi \cdot n}{k}\right)\cdot x(n=0,1,...,p-1)$, що проходять через протилежні вершини пелюсток;
  — $p$ осей з рівнянням $y=\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi \cdot n}{k}\right)\cdot x(n=0,1,...,p-1)$, які не проходять через вершини пелюсток.
  Полюс $O(0,0)$ є центром симетрії троянди.

Кінематичне та механічне утворення троянд

• При значеннях $k>1$ троянда є гіпотрохоїдою, а при $k<1$ — епітрохоїдою.Шаблон:SfnШаблон:Rp

Троянда $\rho =a\cdot \cos k\phi$ є гіпотрохоїдою, у якої радіус нерухомого кола дорівнює $R=\frac{a\cdot k}{k+1}$, радіус твірного (рухомого) кола дорівнює $r=\frac{a\cdot (k-1)}{2(k+1)}$, а відстань від твірної точки до центра рухомого кола дорівнює $\frac{a}{2}$. Шаблон:Rp

Також троянди є подерами епі- та гіпоциклоїд відносно центра їх нерухомого кола.Шаблон:SfnШаблон:Rp

• Нехай два рівних відрізка $OA$ та $AM$ довжиною $a$ обертаються навколо точок $O$ та $A$ зі швидкостями, відношення яких дорівнює $\frac{{\omega }_{OA}}{{\omega }_{AM}}=p$.
  Тоді траєкторією точки $M$ буде троянда.
• Нехай два радіуси $OA$ та $OB$ деякого кола обертаються навколо точки $O$ зі швидкостями, відношення яких дорівнює $\frac{{\omega }_{OA}}{{\omega }_{OB}}=p$.
  Тоді, геометричним місцем підстав перпендикулярів, проведених з точки $A$ на $OB$ є троянда.Шаблон:SfnШаблон:Rp

• Шаблон:Multiple image Якщо деяка точка здійснює гармонічні коливання вздовж прямої, що обертається зі сталою кутовою швидкістю навколо нерухомої точки — центра коливань, то траекторією цієї точки буде троянда.Шаблон:SfnШаблон:Rp

Див. також

• Трипелюсткова троянда
• Чотирипелюсткова троянда

Література

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Roses (curves) Encyclopedia of Mathematics. , 2014.
• Ferréol Robert , ROSE, на сайті MATHCURVE.COM, 2017
• MacTutor History of Mathematics Archive. «Rhodonea Curves.»
• Xah Lee. Rose
• Jan Wassenaar, Rhodonea, на сайті www.2dcurves.com.
• Аплет для створення троянд з параметром k