Квадрат (алгебра)

y=x², при цілих значеннях x на відрізку від 1 до 25

Квадра́том числа називається результат множення числа на себе (піднесення числа до степеня 2). Зворотна операція по відношенню до піднесення до квадрата — отримання квадратного кореня.

Квадрат цілого числа

Початок числової послідовності для квадратів цілих невід'ємних чисел (Шаблон:OEIS) виглядає наступним чином:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849…

Квадрат натурального числа $n$ можна також записати у вигляді суми перших $n$ непарних чисел:

1: $1=1$

2: $4=1+3$

…

7: $49=1+3+5+7+9+11+13$

…

Ще один спосіб запису квадрата натурального числа:

$n^2=1+1+2+2+...+(n-1)+(n-1)+n$

Приклад:

1: $1=1$

2: $4=1+1+2$

…

4: $16=1+1+2+2+3+3+4$

…

Сума квадратів перших $n$ натуральних чисел обчислюється за формулою:

$\sum _{i=1}^n{i}^2=1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Квадрат комплексного числа

Квадрат комплексного числа в алгебраїчній формі можна обчислити за формулою:

${(a+bi)}^2=(a^2-b^2)+2abi.$

Аналогічна формула для комплексного числа у тригонометричній формі:

$r{(\cos \varphi +i\sin \varphi )}^2=r^2(\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi ).$

Геометричний зміст

Квадрат числа дорівнює площі квадрата зі стороною, яка дорівнює цьому числу.

Див. також

• Квадратична функція
• Квадратична форма
• Куб (алгебра)
• Функція суми квадратів

Посилання

• Шаблон:ВРЕ