Трипелюсткова троянда

Шаблон:Multiple image Трипелюсткова троянда (також правильний трилисникШаблон:SfnШаблон:Rp, або трифолій) — плоска алгебрична крива четвертого порядку, троянда з трьома пелюстками.

Крива вивчалася Лоншамом в 1885 р. та А.Брокаром в 1887 р.

Є окремим випадком сімейства синусоїдальних спіралей, а також епі- та гіпотрохоїд.

Рівняння

Рівняння
В полярній системі координат	$\rho =a\cdot \cos 3\phi ,0\le \phi \le \pi$  ; або $\rho =a\cdot \cos \phi \cdot (1-4{\sin }^2\phi ),0\le \phi \le \pi$		$\rho =a\cdot \sin 3\phi ,0\le \phi \le \pi$  ; або $\rho =a\cdot \sin \phi \cdot (4{\cos }^2\phi -1),0\le \phi \le \pi$
В декартовій системі координат в неявному виді	$(x^2+y^2{)}^2=a\cdot (x^3-3x{y}^2)$  ; або $(x^2+y^2)\cdot (x^2-ax+y^2)=-4ax{y}^2$		${(x^2+y^2)}^2=a\cdot (3x^{2}y-y^3)$
В декартовій стстемі координат в параметричному виді	$\{\begin{array}{c}x(t)=a\cdot \cos t\cdot \cos 3t\\ y(t)=a\cdot \sin t\cdot \cos 3t\end{array},0\le t\le \pi$ ; Також: $\{\begin{array}{c}x(t)=\frac{a}{2}\cdot (\sin t-\cos 2t)\\ y(t)=\frac{a}{2}\cdot (\cos t-\sin 2t)\end{array},-\frac{\pi }{2}\le t\le \frac{3\pi }{2}$; Також: $\{\begin{array}{c}x(t)=-\frac{a\cdot (3t^2-1)}{(t^2+1{)}^2}\\ y(t)=\frac{at\cdot (3t^2-1)}{(t^2+1{)}^2}\end{array},-\mathrm{\infty }<t<+\mathrm{\infty }$		$\{\begin{array}{c}x(t)=a\cdot \cos t\cdot \sin 3t\\ y(t)=a\cdot \sin t\cdot \sin 3t\end{array},0\le t\le \pi$ ; Також: $\{\begin{array}{c}x(t)=\frac{a}{2}\cdot (\cos t+\sin 2t)\\ y(t)=\frac{a}{2}\cdot (\sin t+\cos 2t)\end{array},-\frac{\pi }{2}\le t\le \frac{3\pi }{2}$
	Початок координат (полюс) $O(0,0)$ — трикратна вузлова точка; Крива симетрична віносно осі $Ox$ (полярної осі).		Початок координат (полюс) $O(0,0)$ — трикратна вузлова точка; Крива симетрична віносно осі $Oy$ (oсі $\phi =\frac{\pi }{2}$).

Метричні характеристики

Нехай троянда задана в системі координат одним з рівнянь попереднього розділу. Тоді:

• Довжина дуги троянди:

$\ell =2a\cdot \mathrm{E}(2\sqrt{2}\cdot i)=6a\cdot \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{1-\frac{8}{9}\cdot {\sin }^{2}t}dt\approx 6.6824466...\cdot a.$'

де $\mathrm{E}(k)$ — повний еліптичний інтеграл другого роду.
Послідовність Шаблон:Oeis в ОЕIS.

Довжина довільної дуги трипелюсткової троянди, що відповідає параметру t:

$\ell (t)=\frac{1}{3}a\cdot \mathrm{E}(3t,2\sqrt{2}\cdot i)$

де $\mathrm{E}(x,k)$ — неповний еліптичний інтеграл другого роду.

• Площа области, що обмежена трипелюстковою трояндою:

$S=\frac{1}{2}{a}^2\cdot \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\cos }^2(3\phi )d\phi =6\cdot \frac{1}{2}\cdot a^2\cdot \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}{\cos }^2(3\phi )d\phi =\frac{\pi a^2}{4}$

Ця площа дорівнює чверті площі описаного навколо троянди круга.

Площа области, що обмежена однією пелюсткою троянди дорівнює Шаблон:Math.

• Кривина трипелюсткової троянди в довільній точці, що відповідає параметру t:

$\kappa (t)=\frac{14-4\cos (6t)}{a\cdot [5-4\cos (6t){]}^{\frac{3}{2}}}$.

Зокрема, радіус кривини у вершинах пелюсток троянди (параметр $t=0$ в косинус- варіанті кривої) дорівнює:

$\rho (t)=\frac{1}{\kappa (t)}=\frac{a}{10}$.

Властивості та особливості форми

• Вся крива розташовується всередині кола радіуса $a$ і сладається з трьох однакових за формою та розміром пелюсток.

Вершини пелюсток є вершинами правильного трикутника.

• Трипелюсткова троянда є алгебричною раціональною кривою 4-го порядку роду 0.
• Крива має 3 осі симетрії, що проходять через вершину кожної пелюстки. Зокрема рівняння осей симетрії для косинус-варіанта кривої:

$y=0,\text{та}y=\pm \sqrt{3}\cdot x$

Центру симетрії не має.

Прямі $x=0,\text{та}y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot x$ є дотичними у вузловій точці троянди.

• 

  Трипелюсткова троянда $\rho =a\cdot \cos 3\phi$ є гіпотрохоїдою, у якої радіус нерухомого кола дорівнює $R=\frac{3a}{4}$, радіус твірного (рухомого) кола дорівнює $r=\frac{a}{4}$, а відстань від твірної точки до центра рухомого кола дорівнює $h=\frac{a}{2}$. Шаблон:Rp

Трипелюсткова троянда є епітрохоїдою при $R=3r$ та $h=R+r=\frac{4}{3}\cdot R$. Шаблон:SfnШаблон:Rp Шаблон:Clear

• Трипелюсткова троянда є подерою дельтоїди (кривої Штейнера) відносно її центра. Шаблон:SfnШаблон:Rp

Для дельтоїди

$\{\begin{array}{c}x(t)=2r\cos \frac{t}{3}+r\cos \frac{2t}{3}\\ y(t)=2r\sin \frac{t}{3}-r\sin \frac{2t}{3}\end{array}$,

де $t$ — кут повороту твірного (рухомого) кола;
$r$ — радіус твірного (рухомого) кола.
рівняння подери відносно її центру (початку координат) буде:

$\rho =r\cdot \cos 3\phi$

або

$(x^2+y^2{)}^2=r\cdot (x^3-3x{y}^2)$

Ця троянда є вписаною в коло, яке вписане в дельтоїду. Вершини троянди збігаються з вершинами дельтоїди. Шаблон:SfnШаблон:Rp

Кінематичне та механічне утворення трипелюсткової троянди

• Нехай два рівних відрізка $OA$ та $AM$ довжиною $a$ обертаються навколо точок $O$ та $A$ зі швидкостями, відношення яких дорівнює $\frac{{\omega }_{OA}}{{\omega }_{AM}}=3$.
  Тоді траєкторією точки $M$ буде трипелюсткова троянда.
• Нехай два радіуси $OA$ та $OB$ деякого кола обертаються навколо точки $O$ зі швидкостями, відношення яких дорівнює $\frac{{\omega }_{OA}}{{\omega }_{OB}}=3$.
  Тоді, геометричним місцем підстав перпендикулярів, проведених з точки $A$ на $OB$ є трипелюсткова троянда.Шаблон:SfnШаблон:Rp

Деякі узагальнення кривої

• Трилисник

Трипелюсткова троянда є окремим випадком сімейства кривих, що є подерами дельтоїди відносно точок, що знаходяться всередині дельтоїди — трипелюсткові криві, що мають рівняння в декартовій системі координат:

$(x^2+y^2{)}^2=(x^2+y^2)(ax+by)+r\cdot (x^3-3x{y}^2)$

Тут: $A(a,b)$ — центр дельтоїди;
$O(0,0)$ — полюс подери.

Тобто дельтоїда має рівняння

$\{\begin{array}{c}x(t)=a-r\cdot (\cos 2t+2\cos t)\\ y(t)=b+r\cdot (\sin 2t-2\sin t)\end{array}$

Якщо $A$ збігається з $O$, отримаємо трипелюсткову троянду.

Див. також

• Троянда (плоска крива)
• Чотирипелюсткова троянда

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Ferréol Robert , Regular trifolium, на сайті MATHCURVE.COM, 2017
• MacTutor History of Mathematics Archive. «Trifolium»
• Jan Wassenaar, Rhodonea, на сайті www.2dcurves.com.
• Аплет для створення троянд з параметром k