Геометричний рід

В алгебраїчній геометрії геометричний рід — це основний біраціональний інваріант Шаблон:Math дляалгебраїчних многовидів і комплексних многовидів.

Визначення

Геометричний рід може бути визначений для неоднорідних комплексних проективних многовидів і, загалом, для Комплексних різновидів як число Ходжа Шаблон:Math (рівне Шаблон:Math за дуальністю Серра), тобто розмірність канонічної лінійної системи плюс один.

Іншими словами, для різновиду Шаблон:Mvar комплексної розмірності Шаблон:Mvar — це число лінійно незалежних голоморфних Шаблон:Mvar — форм, які можна знайти на Шаблон:Mvar Це визначення, як вимір

Шаблон:Math

потім переноситься на будь-яке базове поле, коли Шаблон:Math вважається групою диференціалів Келера, а потужність є (верхньою) зовнішньою силою, канонічним рядом лінії.

Геометричний рід — це перший інваріант Шаблон:Math послідовності інваріантів Шаблон:Math називається plurigenera.

Випадок кривих

У випадку складних різновидів (складні локуси) несингулярні криві є Рімановими поверхнями. Алгебраїчне визначення роду узгоджується з топологічним поняттям. На несинулярній кривій канонічний лінійний пучок має ступінь Шаблон:Math.

Поняття про родоподібний характер є у викладі теореми Рімана-Роха (див. Також теорему Рімана-Роха про алгебраїчні криві) та формули Рімана — Гурвіца. За теоремою Рімана — Роха, непридатна крива площини градуса d має геометричний рід

$g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}-s,$

де s — кількість сингулярностей при правильному підрахунку

Якщо Шаблон:Mvar — невідворотна (і гладка) гіперповерхня в проективній площині, вирізана поліноміальним рівнянням степеня Шаблон:Mvar, то її звичайний лінійний сегмент — це скручувальний сегмент Серра $𝒪(d)$, тому за формулою доповнення канонічне рядок ліній Шаблон:Mvar задається через

${𝒦}_C={[{𝒦}_{{\mathbb{P}}^2}+𝒪(d-3)]}_{|C}=𝒪(d{)}_{|C}$

Рід особливих кривих

Визначення геометричного роду переноситься класично до сингулярних кривих Шаблон:Mvar, декретуючи це

Шаблон:Math

— це геометричний рід нормалізації Шаблон:Math. Тобто, починаючи з перетворення

Шаблон:Math

є біраціональним, визначення яке розширюється біраціональною інваріантністю.

Див. також

• Рід (математика)
• Арифметичний рід
• Інваріанти поверхонь

Література

• Шаблон:Cite book Шаблон:Cite book Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book Шаблон:Cite book Шаблон:Cite book