Функціональний ряд

Функціональний ряд — ряд, кожен член якого є деякою функцією від однієї чи багатьох незалежних змінних.

Сума вигляду

$u_1(x)+u_2(x)+\cdots +u_k(x)+\cdots =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x).$

називається функціональним рядом відносно незалежної змінної $x$, а

послідовність функцій $\{u_k(x)\},k\in \mathbb{N},$ відповідно — функціональною послідовністю.

Важливе значення у математиці мають функціональні ряди спеціального вигляду, такі як степеневі, коли функція $u_k(x)=a_k(x-x_0{)}^k,x_0,a_k\in ℝ,$ (зокрема, ряд Тейлора та ряд Лорана) та тригонометричні ряди, $u_k(x)=a_k\sin (kx)+b_k\cos (kx),a_k,b_k\in ℝ,$ (наприклад, ряд Фур'є).

Функціональна послідовність

Нехай задана послідовність функцій $\{u_k(x)\},k\in \mathbb{N},$ (взагалі кажучи комплекснозначних) на деякій підмножині $D$ евклідового простору ${ℝ}^n$.

$u_k(x):D\mapsto ℂ,D\subseteq {ℝ}^n,k\in \mathbb{N}.$

Поточкова збіжність

Функціональна послідовність $\{u_k(x)\},k\in \mathbb{N},$ збігається в точці $x_0\in {ℝ}^n$, якщо, відповідно збігається числова послідовність $\{u_k(x_0)\},k\in \mathbb{N},$, тобто існує $\lim {\mathrm{\backslash nolimits}}_{k\to \mathrm{\infty }}{u}_k(x_0)=u_0.$ Очевидно, що ця границя залежить від вибору точки $x_0$, тобто є деякою функцією.

Функціональна послідовність $\{u_k(x)\},k\in \mathbb{N},$ збігається поточково на множині $D$ до функції $u(x)$, якщо вона збігається в кожній точці цієї множини. Іншими словами

$\mathrm{\forall }x\in D\mathrm{\exists }\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}_k(x)=u(x).$

Рівномірна збіжність

Функціональна послідовність $\{u_k(x)\},k\in \mathbb{N},$ збігається рівномірно на множині $D$ до функції $u(x)$, якщо

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sup \mid u_k(x)-u(x)\mid ⟶0,x\in D.$

Факт рівномірної збіжності послідовності $\{u_k(x)\},k\in \mathbb{N},$ до функції $u(x)$ записується так: $u_k(x)\rightrightarrows u(x)$.

Критерій Коші рівномірної збіжності функціональної послідовності

Функціональна послідовність $\{u_k(x)\}$ є рівномірно збіжною на множині $D$ тоді і тільки тоді, коли

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }x\in D\mathrm{\forall }m,n:m,n>N|u_n(x)-u_m(x)|<\epsilon .$

Справедливі такі твердження: а) Якщо $u_k(x)\rightrightarrows u(x)$, $v_k(x)\rightrightarrows v(x)$ на $D$, то $(u_k(x)\pm v_k(x))\rightrightarrows (u(x)\pm v(x))$;

б) Якщо $u_k(x)\rightrightarrows u(x)$, а $g(x):D\to ℝ$ — обмежена функція, то $g(x)u_k(x)\rightrightarrows g(x)u(x)$.

Функціональний ряд

Нехай $S_n(x)=\sum _{k=1}^n{u}_k(x)$ — n-на частинна сума ряду $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$, $x\in D\subset ℝ$.

Збіжність функціональних рядів

Ряд збігається поточково до функції $S(x)$, якщо послідовність $\{S_n(x)\},n\in \mathbb{N},$ його частинних сум збігається поточково до $S(x)$.

Ряд збігається рівномірно, якщо послідованість $S_n(x)$ його частинних сум збігається рівномірно, $S_n(x)\rightrightarrows S(x)$.

Функція $S(x)$ називається сумою ряду $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$,

$S(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x).$

Множина тих точок $E\subset D$, для яких ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$ збігається, називається областю збіжності ряду.

Зв'язок між рівномірною та поточковою збіжністю функціонального ряду

Якщо ряд є рівномірно збіжним у деякій області, то він, очевидно, є поточково збіжним у цій області. Навпаки невірно.

Твердження 1. Поточково збіжний функціональний ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$ є рівномірно збіжним на $D$ тоді і тільки тоді, коли

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n:n>N\mathrm{\forall }x\in D|\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)|<\epsilon .$

або, що те саме

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{x\in D}{\sup }|\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)|=0.$

Необхідна умова рівномірної збіжності

Для того, щоб ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$ збігався рівномірно на $D$ необхідно, щоб $u_k(x)\rightrightarrows 0$ на $D$ при $k\to \mathrm{\infty }$.

Критерій Коші рівномірної збіжності функціонального ряду

Ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$ є рівномірно збіжним на $D$ тоді і тільки тоді, коли

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n:n>N\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }x\in D|\sum _{k=n}^{n+p}{u}_k(x)|<\epsilon .$

Абсолютно та умовно збіжні ряди

Ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$ називається абсолютно збіжним на $D$, якщо для будь-якого $x\in D$ ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|u_k(x)|$ збігається.

Довільна перестановка членів абсолютно збіжного ряду не впливає на його суму.

Якщо ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$ збігається, а $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|u_k(x)|$ — розбіжний, то ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$ називається умовно збіжним. Для таких рядів справделива Теорема Рімана про умовно збіжний ряд.

Ознаки рівномірної збіжності функціонального ряду

Ознака порівняння та ознака Вейєрштрасса

Нехай

1) ряди $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$ та $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_k(x)$ такі, що $|u_k(x)|⩽v_k(x)$ для всіх $x\in D$;

2) ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_k(x)$ рівномірно збіжний на $D$.

Тоді ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$ абсолютно та рівномірно збіжний на $D$.

Ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_k(x)$ називається мажоруючим рядом по відношенню до ряду $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$.

Наслідок (мажорантна ознака Вейєрштрасса рівномірної збіжності ряду)

Якщо члени функціонального ряду $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$ задовольняють умову

$\mathrm{\forall }x\in D\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}|u_k(x)|⩽c_k,c_k\in ℝ,$

причому

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k<+\mathrm{\infty },$

то цей ряд є абсолютно та рівномірно збіжним на $D$. Шаблон:Hider

Ознака Діріхле

Нехай функції $u_k(x)$ та $v_k(x),k\in \mathbb{N},$ визначені на множині $D$, причому

1) послідовність частинних сум $S_n(x)=\sum _{k=1}^n{u}_k(x)$ обмежена, тобто

$\mathrm{\exists }M>0\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }x\in D|\sum _{k=1}^n{u}_k(x)|⩽M;$

2) послідовність функцій $\{v_k(x)\},k\in \mathbb{N},$ монотонна, тобто $v_k(x)⩾v_{k+1}(x)$ для всіх $x\in D$ , та $v_k(x)\rightrightarrows 0$.

Тоді ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)v_k(x)$ рівномірно збіжний на множині $D$.

Ознака Абеля

Нехай

1) ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$ рівномірно збігається на $D$;

2) послідовність $\{v_k(x)\},k\in \mathbb{N},$ монотонна та обмежена на $D$, тобто

$\mathrm{\exists }M>0\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }x\in D|v_k(x)|⩽M.$

Тоді ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)v_k(x)$ рівномірно збіжний на множині $D$.

Властивості рівномірно збіжних функціональних послідовностей та рядів

Неперервність

Теорема 1. (про граничний перехід)

Нехай $u_k(x)\rightrightarrows u(x)$ на деякому проміжку $(a,b)\subseteq ℝ$ та існує скінченна границя

$\underset{x\to c}{\lim }{u}_k(x)=c_k,k=1,2,\dots ,$

Тоді послідовність $\{c_k\}$ збіжна і

$\underset{x\to c}{\lim }u(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_k.$

Іншими словами

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\underset{x\to c}{\lim }{u}_k(x))=\underset{x\to c}{\lim }(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}_k(x))=\underset{x\to c}{\lim }u(x).$

Наслідок

Границя рівномірно збіжної послідовності неперервних функцій є неперервною функцією.

Теорема 2. (про неперервність суми функціонального ряду)

Якщо функціональний ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$ рівномірно збігається на множині $D$ до функції $S(x)$, а його члени $u_k(x)$ — неперервні на цій множині функції, то його сума $S(x)$ є неперервною на $D$ функцією, тобто

$\underset{x\to x_0}{\lim }(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x))=\underset{x\to x_0}{\lim }S(x)=S(x_0)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x_0)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\underset{x\to x_0}{\lim }{u}_k(x)).$

Теорема Діні

Нехай $-\mathrm{\infty }<a<b<+\mathrm{\infty }$. Якщо послідовність $\{u_k\}$ неперервних на $[a,b]$ функцій при кожному $x\in [a,b]$ незростаюча (або неспадна) і збігається поточково до $u(x)$, де $u(x)$ неперервна на $[a,b]$, то така збіжність є рівномірною.

Наслідок

Якщо ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$ збігається (поточково) на відрізку $[a,b]$ до неперервної функції $S(x)$, а функції $u_k(x)$ — неперервні, причому $u_k(x)>0$ для всіх $x\in [a,b]$, то ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$ збігається рівномірно на $[a,b]$ до функції $S(x)$.

Інтегрування

Теорема 3. (про граничний перехід під знаком інтеграла)

Нехай $-\mathrm{\infty }<a<b<+\mathrm{\infty }$. Якщо послідовність $\{u_k(x)\}$ інтегровних за Ріманом (Лебегом) на $[a,b]$ функцій рівномірно збігається до функції $u(x)$, то функція $u(x)$ інтегровна за Ріманом (Лебегом) і

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(x)dx=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}_k(x)dx.$

Для інтеграла в сенсі Лебега встановлено загальніший результат, який не має аналогу для інтеграла Рімана, а саме — Теорема Лебега про мажоровану збіжність.

Теорема 4. (про інтегрування функціонального ряду)

Якщо функціональний ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$ рівномірно збігається на відрізку $[a,b]$ до функції $S(x)$, а його члени $u_k(x)$ — неперервні на цьому відрізку функції, то

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x))dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S(x)dx=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}_k(x)dx).$

Диференціювання

Теорема 5. (про диференціювання під знаком границі)

Нехай $-\mathrm{\infty }<a<b<+\mathrm{\infty }$. Якщо послідовність $\{u_k(x)\}$ неперервно диференційовних на відрізку $[a,b]$ функцій є поточково збіжною до функції $u(x)$, а послідовність їх похідних $\{u_k^{\prime }(x)\}$ — рівномірно збіжною на $[a,b]$ до деякої функції $g(x)$, то функція $u(x)$ є неперервно диференційовною на $[a,b]$, а її похідна дорівнює границі послідовності похідних

$\mathrm{\forall }x\in [a,b]u^{\prime }(x)=g(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}_k^{\prime }(x).$

Теорема 6. (про диференціювання функціонального ряду)

Якщо функціональний ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$, у якому функції $u_k(x)$ — неперервно диференційовні на відрізку $[a,b]$, збігається хоча б в одній точці $x_0\in [a,b]$, а ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k^{\prime }(x)$ — рівномірно збігається на $[a,b]$, то ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$ також рівномірно збігається на $[a,b]$ до функції $S(x)$, причому

${(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x))}^{\prime }=S^{\prime }(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k^{\prime }(x).$

Збіжність у середньому функціональних послідовностей

При дослідженні питання про інтегрування функціональних рядів, зокрема ряду Фур'є використовується поняття збіжності у середньому.

Нехай кожна функція $u_k(x)$ функціональної послідовності $\{u_k(x)\}$ і функція $u(x)$ інтегровні за Ріманом на $[a,b]$.

Функціональна послідовність $\{u_k(x)\}$ збігається в середньому на $[a,b]$ до функції $u(x)$, якщо

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}(u_k(x)-u(x){)}^{2}dx=0.$

Функціональний ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$ збігається в середньому на $[a,b]$ до функції $S(x)$, якщо послідовність його частинних сум збігається в середньому на $[a,b]$ до граничної функції $S(x)$.

Зауваження. Якщо функціональна послідовність (ряд) збігається в середньому на $[a,b]$ до $u(x)(S(x))$, то ця послідовність (ряд) збігається в середньому до $u(x)(S(x))$ і на довільному проміжку $[c,d]\subset [a,b]$.

Теорема 7. (про зв'язок між рівномірною збіжністю та збіжністю в середньому)

Якщо послідовність $\{u_k(x)\}$ рівномірно збігається на $[a,b]$ до функції $u(x)$, то ця послідовність збігається в середньому на $[a,b]$ до $u(x)$.

Теорема 8. (про інтегрування)

Якщо послідовність $\{u_k(x)\}$ збіжна в середньому на $[a,b]$ до функції $u(x)$, то

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{x}{\int }}{u}_k(t)dt\rightrightarrows \underset{a}{\overset{x}{\int }}u(t)dt,x\in [a,b],$

тобто послідовність $\{\underset{a}{\overset{x}{\int }}{u}_k(t)dt\}$ рівномірно збігається на $[a,b]$ до функції $\underset{a}{\overset{x}{\int }}u(t)dt$.

Функціональні ряди комплексного аргументу

Розглянемо послідовність функцій $f_k(z):E\to ℂ,k\in \mathbb{N}$, $E\subseteq ℂ$, та відповідний функціональний ряд

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(z)=f_1(z)+f_2(z)+\cdots +f_k(z)+\cdots ,z\in E.$

Означення поточкової та рівномірної збіжності аналогічні відповідним означенням із дійсного випадку, в яких модуль слід розуміти як модуль комплексного числа.

Теорема.

Для того, щоб ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(z)$ був збіжним (рівномірно збіжним) на множині $E$ до функції $f(z)$, необхідно і достатньо, щоб були збіжними (рівномірно збіжними) на множині $E$ ряди складені з дійсних та уявних частин функцій $f_k(z)$, тобто

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x,y)\rightrightarrows u(x,y),z=x+iy\in E,u_k(x,y)=\mathrm{R}\mathrm{e}{f}_k(z),u(x,y)=\mathrm{R}\mathrm{e}f(z),$

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_k(x,y)\rightrightarrows v(x,y),z=x+iy\in E,v_k(x,y)=\mathrm{I}\mathrm{m}{f}_k(z),v(x,y)=\mathrm{I}\mathrm{m}f(z).$

Ця теорема дає змогу перенести на комплексний випадок всі наведені вище теореми з дійсного випадку, зокрема, аналогічно формулюються ознаки рівномірної збіжності, критерій Коші, теореми про неперервність, інтегрування (у якій відрізок інтегрування можна замінити на довільну криву у комплексній площині) та диференціювання функціональних послідовностей та рядів.

Однак деякі результати не мають аналогу у дійсному випадку.

Теорема Вейєрштрасса про рівномірну збіжність рядів аналітичних функцій

Нехай в області $G$ задана послідовність $\{f_k(z)\},k\in \mathbb{N},$ аналітичних функцій, і ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(z)$ рівномірно збіжний на кожному замкненому крузі, що лежить в області $G$ до деякої функції $f(z)$. Тоді:

1) функція $f(z)$ аналітична в $G$;

2) ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(z)$ можна диференціювати довільну кількість разів, тобто

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k^{(n)}(z)=f^{(n)}(z),n\in \mathbb{N};$

3) кожен з рядів у пункті 2 рівномірно збігається на кожному замкненому крузі в області $G$.

Деякі узагальнення

Нехай $(X,d)$ — метричний простір з метрикою $d:=d(x,y),x,y\in X$.

Послідовність $\{x_k\},k\in \mathbb{N}$ елементів простору $(X,d)$ називається збіжною за метрикою цього простору до елемента $x\in (X,d)$, якщо

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n:n>Nd(x_k,x)<\epsilon .$

Послідовність $\{x_k\},k\in \mathbb{N}$ елементів простору $(X,d)$ називається фундаментальною, якщо

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }m,n:m,n>Nd(x_n,x_m)<\epsilon .$

Довільна збіжна послідовність є фундаментальною, але не навпаки (границя фундаментальної послідовності може не належати відповідному простору). Метричний простір у якому кожна фундаментальна послідовність є збіжною називається повним.

Розглянемо множину всіх неперервних на деякій множині $D$ дійсних функцій з метрикою

$d_1(f,g)=\underset{x\in D}{\sup }|f(x)-g(x)|.$

Відповідний метричний простір позначається $C(D)$ (якщо $D=[a,b]$ — відрізок, то $C([a,b])$ або $C[a,b]$), а метрика називається чебишовською або рівномірною.

Збіжність функціональної послідовності за метрикою у цьому просторі еквівалентна рівномірній збіжності. З наслідку теореми 1 (про граничний перехід) випливає, що цей метричний простір є повним, а критерієм фунадментальності послідовності є критерій Коші.

Тепер розглянемо множину всіх неперервних на відрізку $[a,b]$ дійсних функцій з метрикою

$d_2(f,g)=(\underset{a}{\overset{b}{\int }}(u_k(x)-u(x){)}^{2}dx).$

Такий простір позначається $C_2([a,b])$ і називається простором неперервних функцій з квадратичною метрикою. Збіжність за метрикою у такому просторі еквівалентна збіжності в середньому. Цей простір не є повним.

Див. також

• Степеневий ряд
• Ряд Тейлора
• Ряд Лорана
• Ряд Фур'є
• Функція Веєрштраса

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга