Симплектичний простір

Симплектичний простір — векторний простір S з заданою на ньому симплектичною формою $ω$ , тобто білінійною кососиметричною невиродженою 2-формою. А саме формою для якої для будь-яких $𝐚, 𝐛, 𝐜 \in 𝕊$ і скалярів $λ, μ$ виконуються умови:

ω (𝐚, 𝐛) = - ω (𝐛, 𝐚)

ω (𝐚, λ 𝐛 + μ 𝐜) = λ ω (𝐚, 𝐛) + μ ω (𝐚, 𝐜)

\forall 𝐚 \in 𝕊, 𝐚 \neq 0 \exists 𝐛 \in 𝕊 : ω (𝐚, 𝐛) \neq 0

Дане означення має зміст для векторних просторів над полями характеристика яких не є рівною 2. Над полями характеристика яких є рівною 2 в означенні, як правило, вимагають сильнішу (і еквівалентну для полів іншої характеристики) вимогу, що для всіх векторів:

ω (𝐚, 𝐚) = 0 .

Пов'язані означення

Лінійне відображення L симплектичного простору називається симплектичним, якщо воно зберігає симплектична форму:

⟨ 𝐚, 𝐛 ⟩ = ⟨ L (𝐚), L (𝐛) ⟩

Множина всіх симплектичних відображень простору S утворює групу, що називається симплектичною групою і позначається Sp(S).
Матриця симплектичного відображення називається симплектичною матрицею.
Підпростір s симплектичного простору S називається симплектичним, якщо обмеження симплектичної форми на s є невирождени.
Два вектора $𝐚, 𝐛 \in S$ називаються косоортогональними, якщо

⟨ 𝐚, 𝐛 ⟩ = 0

Відзначимо, що будь-який вектор э косоортогональним самому собі.

Косоортогональним доповненням підпростору $s \subset S$ називається множина всіх векторів, косоортогональних будь-якому вектору з $s$ .

Приклади

На просторі $ℝ^{2 n}$ із базисом позначеним як $𝐞_{𝟏}, \dots, 𝐞_{𝐧}, 𝐟_{𝟏}, \dots, 𝐟_{𝐧}$ існує стандартна симплектична форма, яка на базисних векторах задана як

ω (𝐞_{𝐢}, 𝐞_{𝐣}) = 0, \forall i, j \in 1, \dots, n

ω (𝐟_{𝐢}, 𝐟_{𝐣}) = 0, \forall i, j \in 1, \dots, n

ω (𝐞_{𝐢}, 𝐟_{𝐣}) = - ω (𝐟_{𝐢}, 𝐞_{𝐣}) = {\begin{matrix} 1, & i = j \\ 0, & i \neq j \end{matrix} .

Матриця цієї симплектичної форми відповідно має вигляд

Ω_{n} = [\begin{matrix} 0 & I_{n} \\ - I_{n} & 0 \end{matrix}]

, де

I_{n}

— одинична матриця порядку n.

Якщо вектори у цьому базисі записати через координати

𝐚 = (a_{1}, \dots, a_{2 n})^{T}, 𝐛 = (b_{1}, \dots, b_{2 n})^{T}

то симплектична форма через координати записується як:

ω (𝐚, 𝐛) = \sum_{i = 1}^{n} (a_{i} b_{n + i} - a_{n + i} b_{i})

або у векторно-матричній формі:

ω (𝐚, 𝐛) = 𝐚^{T} \cdot Ω_{n} \cdot 𝐛 .

Попередній приклад можна узагальнити для довільного простору $𝔽^{2 n}$ для поля $𝔽$ характеристика якого не є рівною 2 і кососиметричної матриці $M$ (тобто $M^{T} = - M$ ). Тоді для базису $𝐞_{𝟏}, \dots, 𝐞_{𝟐 𝐧}$ симплектичну форму можна задати на базисних векторах як $ω (𝐞_{𝐢}, 𝐞_{𝐣}) = M_{i j} .$ Тоді у векторно-матричній формі через координати у цьому базисі симплектичну форму можна обчислити як:

ω (𝐚, 𝐛) = 𝐚^{T} \cdot M \cdot 𝐛 .

У комплексному просторі $ℂ^{n}$ можна задати білінійну кососиметричну форму за формулою

⟨ u, w ⟩ = Im [u, w]

де

[\cdot, \cdot]

— ермітова форма. Ця форма задає симплектичну структуру на просторі

ℂ^{n}

розглянутому як дійсний простір

ℝ^{2 n}

.

Більш загально, якщо на дійсному векторному просторі $V$ задані комплексна структура $J$ (тобто лінійний ізоморфізм для якого $J^{2} = - I$ або $J (J (𝐯)) = - 𝐯$ для всіх $𝐯 \in V$ ) і узгоджена ермітова структура, тобто скалярний добуток на просторі $V$ для якого додатково $g (𝐯, 𝐰) = g (J (𝐯), J (𝐰))$ для всіх $𝐯, 𝐰 \in V$ , то форма $ω (𝐯, 𝐰) = g (𝐯, J (𝐰))$ є симплектичною. Вона очевидно є білінійною і також кососиметричною оскільки:

ω (𝐯, 𝐰) = g (𝐯, J (𝐰)) = g (J (𝐯), J (J (𝐰))) = g (J (𝐯), - 𝐰) = - g (𝐰, J (𝐯)) = - ω (𝐰, 𝐯) .

Також вона є невиродженою адже для кожного ненульового

𝐯 \in V

для скалярного добутку g значення

g (𝐯, 𝐯) > 0

. Оскільки

J

є ізоморфізмом, то

𝐰 = J^{- 1} (𝐯)

є ненульовим вектором і

ω (𝐯, w) = g (𝐯, J (𝐰)) = g (𝐯, 𝐯) \neq 0 .

Навпаки для скінченновимірного дійсного простору

V

із симплектичною формою

w

існують комплексна структура

J

і ермітова структура

g

для яких

ω (𝐯, 𝐰) = g (𝐯, J (𝐰))

. Для визначення цих структур достатньо розглянути базис Дарбу

(𝐩_{𝟏}, \dots, 𝐩_{𝐧}, 𝐪_{𝟏}, \dots, 𝐪_{𝐧})

, як у розділі нижче і ввести на базисних векторах

J (𝐩_{𝐢}) = - 𝐪_{𝐢}

і

J (𝐪_{𝐢}) = 𝐩_{𝐢}

, а скалярний добуток на базисних векторах ввести як:

g (𝐩_{𝐢}, 𝐪_{𝐣}) = 0, g (𝐪_{𝐢}, 𝐪_{𝐣}) = g (𝐩_{𝐢}, 𝐩_{𝐣}) = δ_{i j}

Для будь-якого простору V існує канонічна симплектична структура на просторі $V \oplus V^{*}$ , де $V^{*}$ — простір спряжений до V. Для двох елементів цього простору $(𝐮, 𝐮^{*})$ і $(𝐯, 𝐯^{*})$ , де $𝐮, 𝐯 \in V$ , а $𝐮^{*}, 𝐯^{*} \in V^{*},$ симплектична форма задається як:

ω ((𝐮, 𝐮^{*}), (𝐯, 𝐯^{*})) = v^{*} (𝐮) - u^{*} (𝐯) .

Канонічна структура

Симплектичну структуру можна ввести на будь-якому векторному просторі розмірність якого є парним числом. Над полем характеристика якого не є рівною 2 на векторному просторі розмірність якого є непарним числом не існує невиродженої кососиметричної білінійної форми.

Справді ввівши деякий базис $𝐞_{𝟏}, \dots 𝐞_{𝟐 𝐧 + 𝟏}$ білінійна форма однозначно задається за допомогою матриці $Ω$ для якої $Ω_{i j} = ω (𝐞_{𝐢}, 𝐞_{𝐣}) .$ Тоді у термінах цієї матриці кососиметричність означає, що $Ω^{T} = - Ω$ , а невиродженість, що $\det Ω \neq 0 .$ Але для простору непарної розмірності випливає, що для кососиметричної форми $\det Ω = \det Ω^{T} = \det (- Ω) = (- 1)^{2 n + 1} \det Ω .$ Тобто для простору непарної розмірності для матриці кососиметричної білінійної форми $\det Ω = 0,$ отже форма є виродженою.

Всі симплектичні простори однакової розмірності є ізоморфними, тобто існує лінійний ізоморфізм який із своїм оберненим є симплектичними відображеннями. Розглянемо деякий вектор $𝐪_{𝟏} \in 𝕊, \dim 𝕊 = 2 n$ . Оскільки $ω$ є невиродженою формою, то існує такий вектор $𝐩_{𝟏} \in 𝕊$ , що

⟨ 𝐩_{𝟏}, 𝐪_{𝟏} ⟩ = 1

Розглянемо косоортогональне доповнення до лінійної оболонки V векторів $𝐩_{𝟏}$ і $𝐪_{𝟏}$ . Це доповнення буде (2n - 2)-вимірним підпростором S, що не перетинається із V і обмеження $ω$ на нього є невиродженою формою. Отже, процес можна продовжити по індукції. Для простору непарної розмірності процес завершиться на одновимірному підпросторі, на якому $ω$ є виродженою формою, так що припущення про існування симплектичної структури було хибним. Для простору парної розмірності ми отримаємо базис

(𝐩_{𝟏}, \dots, 𝐩_{𝐧}, 𝐪_{𝟏}, \dots, 𝐪_{𝐧})

,

для якого

⟨ 𝐩_{𝐢}, 𝐪_{𝐣} ⟩ = δ_{i j}, ⟨ 𝐪_{𝐢}, 𝐪_{𝐣} ⟩ = ⟨ 𝐩_{𝐢}, 𝐩_{𝐣} ⟩ = 0

де $δ_{i j}$ — символ Кронекера. Він називається канонічним базисом або базисом Дарбу. Наприклад у випадку дійсних векторних просторів із базисом Дарбу простір є ізоморфний простору $ℝ^{2 n}$ із симплектичною формою із першого прикладу.

У канонічному базисі матриця симплектичної форми набуде вигляду

Ω_{n} = [\begin{matrix} 0 & I_{n} \\ - I_{n} & 0 \end{matrix}]

де $I_{n}$ — одинична матриця порядку n. $Ω_{n}$ є симплектичною матрицею.

Будова підпросторів

Розглянемо підпростір $W \subset 𝕊$ і його косоортогональне доповнення $W^{⊥}$ . Із невироджені $ω$ випливає, що:

\dim W + \dim W^{⊥} = \dim 𝕊

Крім того,

(W^{⊥})^{⊥} = W

У загальному випадку ці підпростору перетинаються. Виділяють 4 типи підпросторів:

Симплектичні: $W \cap W^{⊥} = 0$ . Це вірно тоді і тільки тоді, коли обмеження $ω$ на W є невирожденим, тож таке означення симплектичних підпросторів збігається з даним вище. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд

(p_{1}, \dots, p_{k}, 0, \dots, 0; q_{1}, \dots, q_{k}, 0, \dots, 0), 2 k = \dim W

Ізотропні: $W \subset W^{⊥}$ . Підпростір є ізотропним тоді і тільки тоді, коли $ω$ тотожно дорівнює нулю на ньому. Будь-який одновимірний підпростір є ізотропним. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд

(p_{1}, \dots, p_{k}, 0, \dots, 0; 0, \dots, 0), k = \dim W

.

Коізотропні: $W^{⊥} \subset W$ . W є коізотропним тоді і тільки тоді, коли $ω$ є невирожденою на фактор-просторі $W / W^{⊥}$ . Будь-який підпростір корозмірності 1 є коізотропним. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд

(p_{1}, \dots, p_{n}; q_{1}, \dots, q_{k}, 0, \dots, 0), n + k = \dim W, 2 n = \dim 𝕊

Лагранжеві: $W^{⊥} = W$ . W є лагранжевим тоді і тільки тоді, коли він одночасно є ізотропним і коізотропним. Будь-який ізотропний підпростір можна вкласти у лагранжів, а будь-який коізотропний підпростір містить лагранжів. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд

(p_{1}, \dots, p_{n}; 0, \dots, 0), n = \dim W, 2 n = \dim 𝕊

Множина всіх лагранжевих підпросторів простору розмірності 2n утворює многовид, що називається лагранжевим грассманіаном $Λ_{n}$ . Він є дифеоморфним многовиду класів суміжності унітарної групи $𝕌_{n}$ по ортогональній підгрупі $𝕆_{n}$ , при цьому

\dim Λ_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}

Узгоджені комплексні структури

Нехай $V$ є скінченновимірним (парної розмірності) векторним простором над полем дійсних чисел із симплектичною формою $ω$ . Комплексна структура $J$ називається узгодженою із симплектичною структурою, якщо:

для всіх $𝐯, 𝐰 \in V$ виконується рівність $ω (𝐯, 𝐰) = ω (J (𝐯), J (𝐰))$
білінійна форма $g_{J} (𝐯, 𝐰) : = ω (𝐯, J (𝐰))$ є скалярним добутком.

Для кожної симплектичної структури існує нескінченна кількість узгоджених комплексних структур. Зокрема можна розглянути довільний скалярний добуток $g$ і ввести лінійні відображення $\bar{ω}, \bar{g} : V \to V^{*}$ задані як $\bar{ω} (𝐯) (𝐰) = ω (𝐯, 𝐰)$ і $\bar{g} (𝐯) (𝐰) = g (𝐯, 𝐰) .$ Оскільки $ω$ і $g$ є невиродженими білінійними формами, то $\bar{ω}, \bar{g}$ є лінійними ізоморфізмами і можна ввести лінійний ізоморфізм $A : V \to V$ заданий як $A = {\bar{g}}^{- 1} \circ \bar{ω} .$ За означенням тоді $g (A 𝐯, 𝐰) = ω (𝐯, 𝐰) .$

Відображення A є кососиметричним адже $g (𝐯, A 𝐰) = g (A 𝐰, 𝐯) = ω (𝐰, 𝐯) = - ω (𝐯, 𝐰) = - g (A 𝐯, 𝐰)$ для всіх $𝐯, 𝐰 \in V .$ Тому в ортонормованому базисі для скалярного добутку $g$ цей оператор задається кососиметричною матрицею, яку теж можна позначити A. Тоді матриця $A^{T} A = - A A$ є симетричною і додатноозначеною оскільки $g (A^{T} A 𝐯, 𝐯) = ω (A 𝐯, A 𝐯) > 0$ для всіх $𝐯 \neq 0 .$

Позначимо $R = \sqrt{A^{T} A}$ і $J = R^{- 1} A$ . Тоді $A = R J$ є полярним розкладом матриці і оскільки матриця A як кососиметрична матриця є нормальною, то також $R J = J R$ і відповідно $A J = R J J = J R J = J A .$ Також $J J = R^{- 1} R J J = R^{- 1} J A = - (A A)^{- 1} A A = - I,$ тобто $J$ визначає комплексну структуру і $J^{T} J = A^{T} (R^{- 1})^{T} R^{- 1} A = - A (- (A A)^{- 1}) A = I,$ тобто $J$ є ортогональною матрицею тобто $g (𝐯, 𝐰) = g (J 𝐯, J 𝐰)$ для всіх $𝐯, 𝐰 \in V .$

Для визначеної комплексної структури виконуються рівності:

ω (J 𝐯, J 𝐰) = g A J (𝐯, J 𝐰) = g J A (𝐯, J 𝐰) = g (A 𝐯, 𝐰) = ω (𝐯, 𝐰) .

Також якщо ввести білінійну форму

g_{J} (𝐯, 𝐰) = ω (𝐯, J 𝐰) = g (A 𝐯), J (𝐰) = - g (J A 𝐯, 𝐰) = g (R 𝐯, 𝐰)

то з додатноозначеності матриці $R$ випливає, що $g_{J}$ є скалярним добутком і відповідно $J$ задає узгоджену комплексну структуру.

Див. також

Література

Симплектичний простір

Зміст

Пов'язані означення

Приклади

Канонічна структура

Будова підпросторів

Узгоджені комплексні структури

Див. також

Література

Навігаційне меню

Симплектичний простір

Пов'язані означення

Приклади

Канонічна структура

Будова підпросторів

Узгоджені комплексні структури

Див. також

Література

Навігаційне меню

Пошук