Поле Якобі

Поле Якобі — векторне поле вздовж геодезичної лінії $\gamma$ в деякому многовиді, що в певному сенсі описує різницю між цією геодезичною лінією і «нескінченно близькими» їй геодезичними лініями. Іншими словами, поля Якобі вздовж геодезичної лінії утворюють дотичний простір до геодезичної в просторі всіх геодезичних. Особливо часто розглядаються для ріманових многовидів.

Векторне поле вздовж геодезичної лінії є полем Якобі тоді й лише тоді коли воно задовольняє деякому рівнянню, яке називається рівнянням Якобі.

Названі на честь німецького математика Карла Якобі.

Визначення

Рівняння Якобі

Нехай M — гладкий многовид розмірності n, $\mathrm{\nabla }$ — афінна зв'язність на ньому, T і R — тензори кручення і кривини відповідно. Розглянемо деяку геодезичну лінію $\gamma (t)$ і позначимо $\dot{\gamma }(t)$ її дотичне векторне поле. Векторне поле X визначене вздовж геодезичної лінії $\gamma (t)$ називається полем Якобі, якщо воно задовольняє наступному рівнянню (рівнянню Якобі):

$\underset{\dot{\gamma }(t)}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}X+{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}T(X,\dot{\gamma }(t))+R(X,\dot{\gamma }(t))\dot{\gamma }(t)=0.$

У рівності вище використано позначення $\underset{\dot{\gamma }(t)}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}X={\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}X).$

В особливо важливому частковому випадку ріманового многовиду із зв'язністю Леві-Чивіти, тензор кручення є рівним нулю і рівняння Якобі спрощується:

$\underset{\dot{\gamma }(t)}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}X+R(X,\dot{\gamma }(t))\dot{\gamma }(t)=0.$

Однопараметрична сім'я геодезичних ліній

Розглянемо тепер відображення класу $C^{\mathrm{\infty }}$ з множини $[0,1]\times (-\epsilon ,\epsilon )$ в многовид M, $(\tau ,t)\to {\gamma }_{\tau }(t)$ з такими властивостями:

• Для довільного $\tau \in (-\epsilon ,\epsilon )$ крива ${\gamma }_{\tau }(t)$ є геодезичною лінією;
• ${\gamma }_0(t)=\gamma (t).$

таке відображення визначає однопараметричну сім'ю геодезичних ліній. Для фіксованого t ${\gamma }_{\tau }(t)$ визначає криву для $\tau \in (-\epsilon ,\epsilon ).$ Для цієї кривої визначений дотичний вектор в точці $\tau =0.$ Повторюючи цю процедуру для різних значень t отримуємо векторне поле, яке і називається полем Якобі:

$X(t)={\frac{\partial {\gamma }_{\tau }(t)}{\partial \tau }|}_{\tau =0}$

Можна довести, що обидва визначення поля Якобі є насправді еквівалентними.

Приклад

На сфері геодезичними лініями через Північний полюс є великі кола. Розглянемо дві такі геодезичні ${\gamma }_0$ і ${\gamma }_{\tau }$ з природною параметризацією $t\in [0,\pi ]$, розділені кутом $\tau$. Геодезичне відстань $d({\gamma }_0(t),{\gamma }_{\tau }(t))$ рівна

$d({\gamma }_0(t),{\gamma }_{\tau }(t))=\arcsin (\sin t\sin \tau \sqrt{1+{\cos }^{2}t{\mathrm{tg}}^2(\tau /2)}).$

Щоб отримати цей вираз, потрібно знати геодезичні. Найцікавіший результат такий:

$d({\gamma }_0(\pi ),{\gamma }_{\tau }(\pi ))=0$ для будь-якого $\tau$.

Замість цього ми можемо розглянути похідні по $\tau$ при $\tau =0$:

$\frac{\partial }{\partial \tau }{|}_{\tau =0}d({\gamma }_0(t),{\gamma }_{\tau }(t))=|J(t)|=\sin t.$

Ми знову отримуємо перетин геодезичних при $t=\pi$. Зауважимо, однак, що для обчислення цієї похідної не потрібно знати $d({\gamma }_0(t),{\gamma }_{\tau }(t))$; все, що потрібно зробити, це розв'язати рівняння

$y^{″}+y=0$,

для деяких заданих початкових умов.

Поля Якобі дають природне узагальнення цього явища для довільних ріманових многовидів.

Явний вигляд рівняння Якобі

Розглянемо для простоти випадок ріманового многовиду. Нехай $e_1(0)=\dot{\gamma }(0)/|\dot{\gamma }(0)|$; додамо до цього вектора інші, щоб вийшов ортонормований базис $\{e_i(0)\}$ в $T_{\gamma (0)}M$. Перемістимо його паралельним перенесенням, щоб отримати базис $\{e_i(t)\}$ в будь-якій точці $\gamma$. Внаслідок цього отримуємо ортонормальний базис з $e_1(t)=\dot{\gamma }(t)/|\dot{\gamma }(t)|$. Поле Якобі можна записати в координатах, пов'язаних з цим базисом: $X(t)=\sum _{k=1}^n{y}_k(t)e_k(t)$, звідки:

${\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}X=\sum _{k=1}^n\frac{d{y}_k}{dt}{e}_k(t),\underset{\dot{\gamma }(t)}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}X=\sum _{k=1}^n\frac{d^2{y}^k}{d{t}^2}{e}_k(t),$

і рівняння Якобі можна переписати у вигляді системи

$\frac{d^2{y}_k}{d{t}^2}+|\dot{\gamma }{|}^2\sum _j{y}_j(t)⟨R(e_j(t),e_1(t))e_1(t),e_k(t)⟩=0$

для кожного $k$. Таким чином ми отримаємо систему лінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. Така ж система отримується і у випадку звичайних многовидів де тензор кручення не є рівним нулю.

Властивості простору полів Якобі

Зважаючи на поданий вище вид рівняння Якобі і його властивості отримуємо, що оскільки рівняння має гладкі коефіцієнти, розв'язки існують для всіх $t$ і є єдиними, якщо задані $y_k(t_0)$ і $\frac{d{y}_k}{dt}(t_0)$ для всіх $k$ і довільної точки $t_0$.

Зокрема звідси випливає, що розмірність простору полів Якобі рівна 2n, де n — розмірність многовида.

Тангенціальні і нормальні поля Якобі для ріманових многовидів

Всюди тут розглядється ріманів многовид із зв'язністю Леві-Чивіти.

• Векторні поля $\dot{\gamma }(t)$ і $t\dot{\gamma }(t)$ визначені уздовж $\gamma$ є полями Якобі. Справді із кососиметричності тензора кривини випливає, що $R(\dot{\gamma }(t),\dot{\gamma }(t))=0$ і також $R(t\dot{\gamma }(t),\dot{\gamma }(t))=tR(\dot{\gamma }(t),\dot{\gamma }(t))=0.$ За означенням геодезичних ліній ${\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}\dot{\gamma }(t)=0$ і тому також $\underset{\dot{\gamma }(t)}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}\dot{\gamma }(t)=0,$ і тому $\dot{\gamma }(t)$ задовольняє рівнянню Якобі. Для поля $t\dot{\gamma }(t)$ натомість ${\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}\dot{t}\gamma (t)=\dot{\gamma }(t)+t{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}\dot{\gamma }(t)=\dot{\gamma }(t)$ і тому також $\underset{\dot{\gamma }(t)}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}\dot{\gamma }(t)={\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}\dot{\gamma }(t)=0,$, тож це поле теж задовольняє рівнянню Якобі. Лінійні комбінації (над полем дійсних чисел) полів $\dot{\gamma }(t)$ і $t\dot{\gamma }(t)$ теж є полями Якобі. Поля такого типу називаються тангенціальними полями Якобі.
• Векторне поле $f\dot{\gamma }(t),$ де $f=f(t)$ — гладка функція, є полем Якобі тоді і тільки тоді, коли функція $f$ — лінійна. Відповідно у цьому випадку векторне поле є лінійною комбінацією над полем дійсних чисел векторних полів $\dot{\gamma }(t)$ і $t\dot{\gamma }(t),$ тобто тангенціальним полем Якобі. Оскільки $R(f\dot{\gamma }(t),\dot{\gamma }(t))=fR(\dot{\gamma }(t),\dot{\gamma }(t))=0,$ то $f\dot{\gamma }(t)$ є полем Якобі тоді і тільки тоді, коли $\underset{\dot{\gamma }(t)}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}f\dot{\gamma }(t)=0.$ Але $\underset{\dot{\gamma }(t)}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}f\dot{\gamma }(t)={\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}(f^{\prime }(t)\dot{\gamma }(t))=f^{″}(t)\dot{\gamma }(t).$ Цей вираз є рівним нулю для всіх t тоді і лише тоді коли $f^{″}(t)=0$ тобто $f(t)$ є лінійною функцією.
• Будь-яке поле Якобі $X$ можна в єдиний спосіб записати у вигляді суми $a\dot{\gamma }(t)+bt\dot{\gamma }(t)+I$, де $a,b$ — дійсні числа, а вектор $I(t)$ є ортогональним до $\dot{\gamma }(t)$ для всіх $t$. Із властивостей ріманової метрики і означення поля Якобі $\frac{d^2}{d{t}^2}g(X,\dot{\gamma }(t))=g(\underset{\dot{\gamma }(t)}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}X,\dot{\gamma }(t))=g(-R(X,\dot{\gamma }(t))\dot{\gamma }(t),\dot{\gamma }(t)).$ Згідно властивостей тензора кривини у рімановій геометрії для будь яких векторів $A,B,X,Y$ виконується рівність $g(R(X,Y)A,B)=-g(R(X,Y)B,A)$ і звідси $g(-R(X,\dot{\gamma }(t))\dot{\gamma }(t),\dot{\gamma }(t))=0.$ Тому також $\frac{d^2}{d{t}^2}g(X,\dot{\gamma }(t))=0$ і тому $g(X,\dot{\gamma }(t))=\overline{a}+\overline{b}t,$ для деяких дійсних чисел $\overline{a},\overline{b}.$ Тому якщо визначити $a=\overline{a}/|\dot{\gamma }|,b=\overline{b}/|\dot{\gamma }|,$ то векторне поле $I=X-a\dot{\gamma }(t)-bt\dot{\gamma }(t)$ буде ортогональним до $\dot{\gamma }(t)$ в усіх точках геодезичної лінії. Окрім того $a,b$ і поле Якобі $I$ визначені однозначно. Поля Якобі, що є ортогональними до $\dot{\gamma }(t)$ називаються нормальними полями Якобі.
• Якщо поле Якобі X уздовж геодезичної лінії $\gamma (t)$ є ортогональним до $\gamma (t)$ в двох точках то воно є ортогональним в усіх точках геодезичної лінії. Це випливає з того, що згідно доведення попередньої властивості $g(X(t),\dot{\gamma }(t))$ є лінійною функцією від t і тому, якщо вона є рівною 0 у двох різних точках, то вона є рівною 0 всюди.
• Поле Якобі $X$ є нормальним тоді і тільки тоді, коли для довільної точки на геодезичній лінії, що відповідає деякому параметру t) виконуються рівності $g(X(t),\dot{\gamma }(t))=0$ і $g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}X(t),\dot{\gamma }(t))=0.$ Справді довільне поле Якобі однозначно записується як $X=a\dot{\gamma }(t)+bt\dot{\gamma }(t)+I(t),$ де векторне поле $I(t)$ є ортогональним до $\dot{\gamma }(t).$ Тому $X$ є нормальним тоді і тільки тоді, коли $a=0$ і $b=0.$ Але записуючи $X$ у такій формі маємо:

$g(a\dot{\gamma }(t)+bt\dot{\gamma }(t)+I(t),\dot{\gamma }(t))=(a+bt)|\dot{\gamma }(t)|$

і

$g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}(a\dot{\gamma }(t)+bt\dot{\gamma }(t)+I(t)),\dot{\gamma }(t))=b|\dot{\gamma }(t)|,$

тому $a=0$ і $b=0$ тоді і тільки тоді коли $g(X(t),\dot{\gamma }(t))=0$ і $g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}X(t),\dot{\gamma }(t))=0.$

У другій рівності для доведення використано те, що $g(I(t),\dot{\gamma }(t))$ і тому $0=\frac{d}{dt}g(I(t),\dot{\gamma }(t))=g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}I(t),\dot{\gamma }(t))+g(I(t),{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}\dot{\gamma }(t))=g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}I(t),\dot{\gamma }(t))$ згідно означень геодезичної лінії і зв'язності Леві-Чивіти. Тому $g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}I(t),\dot{\gamma }(t))=0.$

• Підсумовуючи тангенціальні поля Якобі утворюють двовимірний дійсний підпростір простору полів Якобі, а нормальні поля Якобі утворюють підпростір розмірності 2n - 2. Простір полів Якобі є прямою сумою підпросторів тангенціальних і нормальних полів Якобі.

• Нехай $p,q\in M$ — точки, що належать одній геодезичній лінії $\gamma (t)$ і не є спряженими щодо цієї геодезичної. Тоді для довільних $Y\in T_{p}M,Z\in T_{q}N$ існує єдине поле Якобі визначене на $\gamma (t),$ що приймає значення Y в точці p і Z в точці q.
• Якщо X, Y — поля Якобі вздовж геодезичної лінії $\gamma (t),$ тоді:

$g(X,{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}Y)-g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}X,Y)=const,$ де g — ріманова метрика. Зокрема, якщо обидва векторні поля є нульовими в деякій точці геодезичної лінії, то $g(X,{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}Y)-g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}X,Y)=0.$ Ці властивості випливають з того, що:

$\frac{d}{dt}g(X,{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}Y)=g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}X,{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}Y)+g(X,\underset{\dot{\gamma }(t)}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}Y)=g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}X,{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}Y)-g(X,R(Y,\dot{\gamma }(t))\dot{\gamma }(t))$

і

$\frac{d}{dt}g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}X,Y)=g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}X,{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}Y)+g(\underset{\dot{\gamma }(t)}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}X,Y)=g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}X,{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}Y)-g(R(X,\dot{\gamma }(t))\dot{\gamma }(t),Y).$

Оскільки $g(X,R(Y,\dot{\gamma }(t))\dot{\gamma }(t))=g(Y,R(X,\dot{\gamma }(t))\dot{\gamma }(t))$ то $\frac{d}{dt}(g(X,{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}Y)-g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}X,Y))=0,$ що доводить твердження.

• Якщо X є полем Якобі вздовж геодезичної лінії $\gamma (t),$ а , Y — кусково диференційовне векторне поле на цій же лінії, то для будь-яких чисел $a<b$, таких, що геодезична лінія є заданою на проміжку $[a,b]$ виконується рівність:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}[g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}X,{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}Y)-g(R(X,\dot{\gamma }(t))\dot{\gamma }(t),Y)]dt=g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}X,Y{)}_{t=b}-g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}X,Y{)}_{t=a}$

Дана рівність випливає із інтегрування на $[a,b]$ обох сторін рівності (яка справедлива для всіх точок крім скінченної кількості точок де ${\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}Y$ має розриви першого роду і тому при інтегруванні ними можна знехтувати):

$\frac{d}{dt}g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}X,Y)=g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}X,{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}Y)+g(\underset{\dot{\gamma }(t)}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}X,Y)=g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}X,{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}Y)-g(R(X,\dot{\gamma }(t))\dot{\gamma }(t),Y).$

• Нехай для геодезичної лінії $\gamma (t),$ для якої інтервал $[a,b]$ належить області визначення, і векторного поля Y , що є кусково диференційовним вздовж геодезичної на цьому проміжку позначено $I_a^b(Y)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}[g({\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}Y,{\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}Y)-g(R(Y,\dot{\gamma }(t))\dot{\gamma }(t),Y)]dt.$ Нехай додатково $\gamma (a)$ не має спряжених точок на геодезичній на інтервалі $[a,b]$, векторне поле X є нормальним полем Якобі вздовж геодезичної для якого $X_{\gamma (a)}=0$, а Y є кусково диференційовним векторним полем вздовж геодезичної на інтервалі $[a,b]$, у кожній точці цього інтервалу $Y_{\gamma (t)}$ є ортогональним до $\dot{\gamma }(t)$ і $Y_{\gamma (a)}=X_{\gamma (a)}=0,Y_{\gamma (b)}=X_{\gamma (b)}.$ Тоді $I_a^b(X)⩽I_a^b(Y)$ і рівність виконується лише у випадку $X=Y.$

Приклади

• Нехай $p\in M$ і $A,B\in T_{p}M.$ Визначимо підмножину $Q\subset {ℝ}^2$ таким чином: $(t,\tau )\in Q,$ тоді і тільки тоді коли експоненційне відображення ${\exp }_{p}t(B+\tau A)$ є визначеним. Тоді відображення $F:Q\to M$ визначене як $F(t,\tau )={\exp }_{p}t(B+\tau A)$ є однопараметричною сім'єю геодезичних ліній, а диференціал $\mathrm{d}{\exp }_p(tA)$ задає поле Якобі вздовж кожної геодезичної лінії.

Розглянемо геодезичну лінію $\gamma (t)$ з паралельним ортонормованим репером $e_i(t)$, $e_1(t)=\dot{\gamma }(t)/|\dot{\gamma }|$, побудованим, як описано вище.

• В евклідовому просторі (а також для просторів постійної нульової секційної кривини) поля Якобі є лінійними по $t$.
• Для ріманових многовидів постійної від'ємної секційної кривини $-k^2$ будь-яке поле Якобі є лінійною комбінацією $\dot{\gamma }(t)$, $t\dot{\gamma }(t)$ і $\exp (\pm kt)e_i(t)$, де $i>1$.
• Для ріманових многовидів постійної додатної секційної кривини $k^2$ будь-яке поле Якобі є лінійною комбінацією $\dot{\gamma }(t)$, $t\dot{\gamma }(t)$, $\sin (kt)e_i(t)$ і $\cos (kt)e_i(t)$, де $i>1$ .
• Звуження поля Кіллінга на геодезичну лінію є полем Якобі в будь-якому рімановому многовиді.
• Поля Якобі відповідають геодезичним лініям на дотичному розшаруванні (по відношенню до метрики в $TM$, індукованої метрикою на $M$).

Див. Також

• Спряжені точки
• Теорема Рауха про порівняння
• Рівняння Ріккаті

Література

• Шаблон:Citation Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en