Дотичне розшарування

Неформально, дотичне розшарування многовиду (в даному випадку кола) виходить при розгляді всіх дотичних просторів (зверху) і об'єднання їх гладко без перетинів (знизу)

Дотичне розшарування гладкого многовиду $M$ — це векторне розшарування над $M$, шар якого в точці $x\in M$ є дотичним простором $T_{x}M$ в точці $x$. Дотичне розшарування зазвичай позначається $TM$.

Елемент тотального простору $TM$ — це пара $(x,v)$, де $x\in M$ і $v\in T_{x}M$. Дотичне розшарування має природну топологією (не топологією диз'юнктивного об'єднання) і гладку структуру, що перетворюють його на многовид. Розмірність $TM$ дорівнює подвоєній розмірності $M$.

Топологія і гладка структура

Якщо $M$ — $n$-мірний многовид, то він має атласом карт $(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })$, де $U_{\alpha }$ — відкрита підмножина $M$ і

${\phi }_{\alpha }:U_{\alpha }\to {ℝ}^n$

— гомеоморфізм.

Ці локальні координати на $U$ породжують ізоморфізм між $T_{x}M$ і ${ℝ}^n$ для будь-якого $x\in U$. Можна визначити відображення

${\tilde{\phi }}_{\alpha }:{\pi }^{-1}(U_{\alpha })\to {ℝ}^{2n}$

як

${\tilde{\phi }}_{\alpha }(x,v^i{\partial }_i)=({\phi }_{\alpha }(x),v^1,\dots ,v^n).$

Ці відображення використовуються для визначення топології і гладкої структури на $TM$.

Підмножина $A$ з $TM$ відкрита тоді і тільки тоді, коли ${\tilde{\phi }}_{\alpha }(A\cap {\pi }^{-1}(U_{\alpha }))$ — відкрите в ${ℝ}^{2n}$ для будь-якого $\alpha$. Ці відображення — гомеоморфізми відкритих підмножин $TM$ і ${ℝ}^{2n}$, тому вони утворюють карти гладкої структури на $TM$. Функції переходу на перетинах карт ${\pi }^{-1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$ задаються матрицями Якобі відповідних перетворень координат, тому вони є гладкими відображеннями відкритих підмножин ${ℝ}^{2n}$.

Дотичне розшарування — окремий випадок більш загальної конструкції, званої векторним розшаруванням. Дотичне розшарування $n$-мірного многовиду $M$ можна визначити як векторне розшарування рангу $n$ над $M$, функції переходу для якого задаються якобіаном відповідних перетворень координат.

Приклади

• Найпростіший приклад отримуємо для ${ℝ}^n$. У цьому випадку дотичне розшарування тривіально і ізоморфно проєкції ${ℝ}^{2n}\to {ℝ}^n$.
• Одинична окружність $S^1$. Її дотичне розшарування також тривіально і ізоморфно $S^1\times ℝ$. Геометрично, воно є циліндром нескінченної висоти (дивись картинку вгорі).
• Простий приклад нетривіального дотичного розшарування отримуємо на одиничній сфері $S^2$, це дотичне розшарування нетривіально внаслідок теореми про причісуванні їжака.
• На жаль зобразити можна тільки дотичні розшарування дійсної прямої $R$ і одиничної окружності $S^1$, які обидва є тривіальними. Для двовимірних многовидів дотичне розшарування — це 4-вимірний многовид, тому його складно уявити.

Векторні поля

Векторне поле — це гладка векторна функція на многовиді $M$, значення якої в кожній точці — вектор, дотичний до $M$, тобто гладке відображення

$V:M\to TM$

таке, що образ $x$, що позначається $V_x$, лежить у $T_{x}M$ — дотичному просторі в точці $x$. Мовою локально тривіальних розшарувань, таке відображення називається перетином. Векторне поле на $M$ — це перетин дотичного розшарування над $M$.

Множина всіх векторних полів над $M$ позначається $\mathrm{\Gamma }(TM)$. Векторні поля можна складати поточечно:

$(V+W{)}_x=V_x+W_x$

і множити на гладкі функції на $M$

$(fV{)}_x=f(x)V_x,$,

отримуючи нові векторні поля. Множина всіх векторних полів $\mathrm{\Gamma }(TM)$ отримує при цьому структуру модуля над комутативною алгеброю гладких функцій на $M$ (позначається $C^{\mathrm{\infty }}(M)$).

Якщо $f$ є гладкою функцією, то операція диференціювання вздовж векторного поля $X$ дає нову гладку функцію $Xf$. Цей оператор диференціювання має такі властивості:

• Адитивність: $X(f+h)=Xf+Xh$
• Правило Лейбніца: $X(fh)=(Xf)\cdot h+f\cdot (Xh)$

Векторне поле на многовиді можна також визначити як оператор, котрий володіє перерахованими вище властивостями.

Локальне векторне поле на $M$ — це локальний перетин дотичного розшарування. Локальне векторне поле визначається тільки на якійсь відкритій підмножині $U$ з $M$, при цьому в кожній точці з $U$ задається вектор з відповідного дотичного простору. Множина локальних векторних полів на $M$ утворює структуру, що називається пучком дійсних векторних просторів над $M$.

Канонічне векторне поле на TM

На кожному дотичному розшаруванні $TM$ можна визначити канонічне векторне поле. Якщо $(x,y)$ — локальні координати на $TM$, то векторне поле має вигляд

$V={y^i\frac{\partial }{\partial y^i}|}_{(x,y)}.$

$V$ є відображенням $V:TM\to TTM$.

Існування такого векторного поля на $TM$ можна порівняти з існуванням канонічної 1-форми на кодотичному розшаруванні.

Посилання

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:PlanetMath