Тензор кручення

Тензором кручення в диференціальній геометрії називається векторозначний тензор, що кожній парі векторних полів $X,Y$ класу $C^{\mathrm{\infty }}$, заданих на деякому гладкому многовиді з введеною афінною зв'язністю присвоює векторне поле $T(X,Y)$ класу $C^{\mathrm{\infty }}$. Разом із тензором кривини тензор кручення є одним з головних інваріантів афінної зв'язності. Зокрема тензор кручення відіграє дуже важливу роль у вивченні геометрії геодезичних ліній на многовидах.

Означення

За допомогою афінної зв'язності

Нехай $(M,\mathrm{\nabla })$ є диференційовним многовидом разом з визначеною на ньому афінною зв'язністю $\mathrm{\nabla }$. Тензор кручення $T$ задається як векторозначне тензорне поле, що визначається рівністю:

$T(X,Y)={\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X-[X,Y]$

Тут $X,Y\in \mathrm{\Gamma }(TM)$ — векторні поля, а $[\cdot ,\cdot ]$ — дужки Лі.

За допомогою диференціальних форм

Нехай векторні поля $e_1,\dots ,e_n$ є локальним базисом із $C^{\mathrm{\infty }}$-векторних полів дотичного розшарування $TU$ для деякої відкритої підмножини $U\subset M$ і $w_1,\dots ,w_n$ є двоїстими $C^{\mathrm{\infty }}$-диференціальними формами. Для афінної зв'язності $\mathrm{\nabla }$ позначимо $w_{ij}$ диференціальні форми для яких

${\mathrm{\nabla }}_X{e}_i=\sum _{i=1}^n{w}_{ij}(X)e_j,\mathrm{\forall }X\in TU.$

Тоді $w_{ij}$ є теж диференційовними формами класу $C^{\mathrm{\infty }}$.

Задамо також векторозначний тензор $T(X,Y)$ через його компоненти як $T(X,Y)=\sum _{i=1}^n{T}_i(X,Y)e_i,$ де $T_i(X,Y)$ є дійснозначними тензорами аргументами яких є вектори (в якійсь точці) чи векторні поля (для усієї множини $U$).

Тоді $T(X,Y)$ із компонентами $T_i(X,Y)$ є тензором кручення тоді і тільки тоді коли виконуються рівності

$T_i=\mathrm{d}{w}_i+\sum _{j=1}^n{w}_{ij}\wedge w_j$

де $\mathrm{d}{w}_i$ позначає зовнішню похідну диференційної форми, а $w_{ij}\wedge w_j$ — зовнішній добуток диференціальних форм.

Відповідно, якщо $w_{ij}$ є довільними гладкими диференціальними формами на $U$, то вони задають афінну зв'язність і для цієї зв'язності задані вище $T_i(X,Y)$ є компонентами тензора кручення.

Через компоненти в локальних координатах

Нехай векторні поля $e_1,\dots ,e_n$ є локальним базисом із $C^{\mathrm{\infty }}$-векторних полів дотичного розшарування $TU$ для деякої відкритої підмножини $U\subset M$ .

Нехай $T_{ij}^k$ позначає компоненти тензора кручення, так що $T(e_i,e_j)=\sum _{k=1}^n{T}_{ij}^k{e}_k$ або використовуючи позначення вище $T_{ij}^k=T_k(e_i,e_j)$.

Позначимо також ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$ — символи Крістофеля (тобто, наприклад, ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k=w_{ki}(e_j)$ і ${\mathrm{\nabla }}_{e_j}{e}_i=\sum _{k=1}^n{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{e}_k$) і коефіцієнти ${\gamma }_{ij}^k$, що одержуються із розкладу для дужок Лі $[e_i,e_j]=\sum _{k=1}^n{\gamma }_{ij}^k{e}_k$.

Компоненти $T_{ij}^k$ тензора кручення в локальних координатах запишуться через формулу:

$T^k{}_{ij}={\mathrm{\Gamma }}^k{}_{ij}-{\mathrm{\Gamma }}^k{}_{ji}-{\gamma }^k{}_{ij},i,j,k=1,2,\dots ,n.$

. Якщо локальним базисом є, наприклад координатний базис, то ${\gamma }_{ij}^k=0$ і для компонент тензора кручення справедлива формула:

$T^k{}_{ij}={\mathrm{\Gamma }}^k{}_{ij}-{\mathrm{\Gamma }}^k{}_{ji},i,j,k=1,2,\dots ,n.$

Відповідно якщо символи Крістофеля задають афінну зв'язність, то $T_{ij}^k$ визначені як вище є компонентами відповідного тензора кручення.

Властивості

З властивостей афінних зв'язностей і дужок Лі одразу одержуються наступні властивості тензора кручень:

• Тензор кручення є кососиметричним, тобто: $T(X,Y)=-T(Y,X);$
• Тензор кручення є білінійним: $T(X+Y,Z)=T(X,Z)+T(Y,Z),T(X,Y+Z)=T(X,Y)+T(X,Z);$
• Для довільної гладкої на многовиді функції f: $T(fX,Y)=T(X,fY)=fT(X,Y).$

Геодезичні лінії і різниці зв'язностей

Нехай γ(t) є кривою на многовиді M із афінною зв'язністю ∇. Тоді γ називається геодезичною лінією для ∇ якщо

${\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}\dot{\gamma }(t)=0$

для всіх t із області визначення γ. Тут $\dot{\gamma }(t)$ задає векторне поле вздовж кривої γ. Кожна геодезична лінія однозначно задається дотичним вектором $\dot{\gamma }(0)$ у початковій точці Шаблон:Nowrap.

Дві афінні зв'язності ∇ і ∇′ мають одні і ті ж геодезичні лінії тоді і лише тоді коли вони умовно кажучи відрізняються лише тензором кручення.

Більш формально нехай X і Y є векторними полями в околі точки Шаблон:Nowrap і

$\mathrm{\Delta }(X,Y)={\mathrm{\nabla }}_{X}Y-\mathrm{\nabla }{\text{'}}_{X}Y$

є різницею двох зв'язностей. У точці p Δ залежить лише від значень X і Y у p, тож загалом Δ є тензором на M. Нехай S і A є симетричною і кососиметричною частиною Δ:

$S(X,Y)=\frac{1}{2}(\mathrm{\Delta }(X,Y)+\mathrm{\Delta }(Y,X))$

$A(X,Y)=\frac{1}{2}(\mathrm{\Delta }(X,Y)-\mathrm{\Delta }(Y,X))$

Тоді

• $A(X,Y)=\frac{1}{2}(T(X,Y)-T^{\prime }(X,Y))$ є різницею тензорів кручень двох зв'язностей.
• Зв'язності ∇ і ∇′ мають однакові геодезичні лінії якщо і тільки якщо Шаблон:Nowrap. Еквівалентним твердженням є те, що для всіх векторів X із дотичного розшарування TM виконується рівність Δ (X, X) = 0.

Відповідно симетрична частина різниці зв'язностей визначає чи мають вони однакові геодезичні лінії. Якщо всі геодезичні лінії є однаковими то різниця між зв'язностями повністю визначається різницею між їх тензорами кручення. Зокрема якщо дві зв'язності мають однакові геодезичні лінії і тензори кручення то вони є однаковими.

Також у кожному класі зв'язностей із однаковими геодезичними лініями завжди існує зв'язність для якої тензор кручення є нульовим.

Зв'язок з тензором кривини і тотожності Біанкі

Тензором кривини афінної зв'язності ∇ називається відображення TM × TM → End(TM), що кожній парі векторних полів X, Y присвоює лінійне перетворення, дія якого на векторному полі Z визначається як:

$R(X,Y)Z={\mathrm{\nabla }}_X{\mathrm{\nabla }}_{Y}Z-{\mathrm{\nabla }}_Y{\mathrm{\nabla }}_{X}Z-{\mathrm{\nabla }}_{[X,Y]}Z.$

Значення тензора кривини, як і тензора кручень в кожній точці залежить лише від значення векторів у цій точці, а не всіх векторних полів. Нехай $𝔖$ позначає циклічну суму по X, Y, and Z. Наприклад:

$𝔖(R(X,Y)Z):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y.$

Тензори кривини і кручень пов'язані такими рівностями, що називаються тотожностями Біанкі:

1. Перша тотожність Біанкі:

$𝔖(R(X,Y)Z)=𝔖(T(T(X,Y),Z)+({\mathrm{\nabla }}_{X}T)(Y,Z))$

2. Друга тотожність Біанкі:

$𝔖(({\mathrm{\nabla }}_{X}R)(Y,Z)+R(T(X,Y),Z))=0$

Див. також

• Афінна зв'язність
• Тензор кривини

Джерела

• Шаблон:Citation Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en