Дужка Лі векторних полів

В диференціальній геометрії дужками Лі векторних полів або комутатором векторних полів називається оператор, що для двох векторних полів X і Y на гладкому многовиді M, визначає третє векторне поле, що позначається як [X, Y].

Векторне поле [X,Y] можна визначити як похідну поля Y в напрямку потоку визначеного полем X. Узагальненням дужки Лі є похідна Лі, яка є диференціюванням тензорного поля в напрямку потоку векторного поля X.

Дужки Лі є білінійним оператором і простір векторних полів на многовиді разом з цією операцією є нескінченновимірною алгеброю Лі.

Дужки Лі відіграють значну роль в диференціальній геометрії і диференціальній топології.

Визначення

Дужки Лі векторних полів можна визначити кількома еквівалентними способами:

Векторні поля як диференціювання

Векторне поле X на гладкому многовиді M можна визначити як оператор диференціювання на множині гладких функцій визначених на M (деталі у статтях дотичний простір і дотичний вектор). Окрім цього кожен оператор диференціювання задається через однозначно визначене векторне поле. Для гладких векторного поля X і функції f значення X(f) теж є гладкою функцією і тому для векторного поля Y має зміст вираз Y(X(f)). Дужка Лі, [X,Y], для векторних полів X і Y визначається як

$[X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f)),\mathrm{\forall }f\in C^{\mathrm{\infty }}(M).$

Визначений так оператор [X,Y] є диференціюванням. Адитивність є очевидною, а правило добутку отримується з рівностей:

$\begin{array}{cc}[][X,Y](fg)=& X(Y(fg))-Y(X(fg))=X(fY(g))+X(gY(f))-Y(fX(g))-Y(gX(f))=\\ & fX(Y(g))+X(f)Y(g)+X(g)Y(f)+gX(Y(f))-fY(X(g))-Y(f)X(g)-Y(g)X(f)-gY(X(f))=\\ & f[X,Y](g)+g[X,Y](f).\end{array}$

Відповідно [X,Y] є гладким векторним полем.

Потоки і границі

Нехай ${\mathrm{\Phi }}_t^X$ потік для векторного поля X, а d позначатиме диференціал відображення. Тоді дужка Лі векторних полів X і Y в точці p∈M може бути визначена як

$[X,Y{]}_p:=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{Y_p-(\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_t^X)Y_{{\mathrm{\Phi }}_{-t}^X(p)}}{t}={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}(\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_t^X)Y_{{\mathrm{\Phi }}_{-t}^X(p)}$

або еквівалентно:

$[X,Y{]}_p:={\frac{1}{2}\frac{{\mathrm{d}}^2}{{\mathrm{d}\mathrm{t}}^2}|}_{t=0}({\mathrm{\Phi }}_{-t}^Y\circ {\mathrm{\Phi }}_{-t}^X\circ {\mathrm{\Phi }}_t^Y\circ {\mathrm{\Phi }}_t^X)(p)={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}({\mathrm{\Phi }}_{-\sqrt{t}}^Y\circ {\mathrm{\Phi }}_{-\sqrt{t}}^X\circ {\mathrm{\Phi }}_{\sqrt{t}}^Y\circ {\mathrm{\Phi }}_{\sqrt{t}}^X)(p)$

Для доведення еквівалентності двох означень, спершу слід зауважити, що якщо $f(t,p)$ є функцією на $I_{\epsilon }\times M$, де $I_{\epsilon }$ є відкритий інтервал $(-\epsilon ,\epsilon )$ і $f(0,p)=0$ для всіх $p\in M$, то функція $g(t,p)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^{\prime }(ts,p)ds$ задовольняє властивості $f(t,p)=t\cdot g(t,p)$ і $g(0,p)=f^{\prime }(0,p),$ де використані позначення $f^{\prime }=df/dt$, для $p\in M$.

Звідси випливає, що якщо ${\mathrm{\Phi }}_t^X$ є потоком векторного поля X то для будь-якої функції f на М існує функція $g_t(p)=g(t,p)$ така, що $f\circ {\mathrm{\Phi }}_t^X=f+t{g}_t$ і $g_0=Xf$. Ця функція визначається для кожного фіксованого $p\in M$ для $|t|<\epsilon$ для деякого $\epsilon$. Дійсно, якщо ввести функцію $F(t,p)=f({\mathrm{\Phi }}_t^X(p))-f(p)$ то $f(0,p)=0$ для всіх $p\in M$ і з попереднього існує функція $g_t(p)=g(t,p)$ для якої $f\circ {\mathrm{\Phi }}_t^X=f+t{g}_t$ і

$Xf(p)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f({\mathrm{\Phi }}_t^X(p))-f(p)}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{F(t,p)}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }{g}_t(p)=g_0(p).$

Позначимо тепер $p(t)={\mathrm{\Phi }}_{-t}^X(p)$. Тоді

$((\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_t^X)Y{)}_{p}f=Y(f\circ {\mathrm{\Phi }}_t^X{)}_{p(t)}=Y_{p(t)}f+t{Y}_{p(t)}{g}_t$

і звідси

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{Y_p-(\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_t^X)Y_{p(t)}}{t}f=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{Y_{p}f-Y_{p(t)}f}{t}-\underset{t\to 0}{\lim }(Y_{p(t)}{g}_t)=X_p(Yf)-Y_p{g}_0=[X,Y{]}_{p}f.$

що і доводить наше твердження.

Визначення в локальних координатах

Вибравши локальну координатну систему на многовиді M з координатними функціями $\{x_i\}$ і позначивши ${\partial }_i=\frac{\partial }{\partial x_i}$ асоційований локальний базис дотичного розшарування, локально векторні поля можна записати як

$X=\sum _{i=1}^n{X}_i{\partial }_i$

$Y=\sum _{i=1}^n{Y}_i{\partial }_i$

де $X_i:M\to ℝ$ and $Y_i:M\to ℝ$ — деякі гладкі функції. Тоді дужки Лі в цих координатах визначаються як

$[X,Y]:=\sum _{i=1}^n(X(Y^i)-Y(X^i)){\partial }_i=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(X^j{\partial }_j{Y}^i-Y^j{\partial }_j{X}^i){\partial }_i$

Сама форма запису показує, що [X,Y] є векторним полем.

Якщо M є евклідовим простором Rⁿ або його відкритою підмножиною то векторні поля X і Y можна записати як гладкі відображення $X:M\to {ℝ}^n$ і $Y:M\to {ℝ}^n$, а дужка Лі $[X,Y]:M\to {ℝ}^n$ може бути визначена як

$[X,Y]:=J_{Y}X-J_{X}Y$

де $J_Y$ і $J_X$ — матриці Якобі відображень $Y$ і $X$ відповідно.

Властивості

Разом з операцією дужок Лі векторний простій $V=\mathrm{\Gamma }(TM)$ всіх гладких векторних полів на M (тобто гладких перерізів дотичного розшарування $TM$ многовида $M$) є алгеброю Лі, тобто [·,·] є відображенням $V\times V\to V$ з такими властивостями:

• $[\cdot ,\cdot ]$ is R-білінійним відображенням, тобто $[X+Y,Z]=[X,Z]+[Y,Z],[X,Y+Z]=[X,Y]+[X,Z]$ для всіх векторних полів X,Y, Z;
• $[X,Y]=-[Y,X]$ і, еквівалентно, $[X,X]=0$ для всіх векторних полів $X$;
• $[X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0.$ Ця властивість називається тотожністю Якобі;
• Для гладкої функції f визначеної на M дужка Лі векторних полів X і fY задовольняє рівність

$[X,fY]=X(f)Y+f[X,Y]$

• $[X,Y]=0$ тоді й лише тоді коли X і Y локально комутують, тобто для всіх x∈M і достатньо малих дійсних чисел s, t виконується рівність $({\mathrm{\Phi }}_t^Y{\mathrm{\Phi }}_s^X)(x)=({\mathrm{\Phi }}_s^X{\mathrm{\Phi }}_t^Y)(x)$.
• Нехай тепер M, N — гладкі многовиди, F — гладке відображення між ними, dF — диференціал цього відображення, а X і Y — векторні поля на M. Тоді виконується рівність:

$\mathrm{d}F([X,Y])=[\mathrm{d}F(X),\mathrm{d}F(Y)]$

Для точки $p\in M$ диференціал dF є відображенням з дотичного простору $T_p(M)$ в дотичний простір $T_{F(p)}(N),$ таким що для функції $g\in C^{\mathrm{\infty }}(N)$ за визначенням $\mathrm{d}F(X)(g)(F(p))=X(g\circ F)(p)$ і тому $\mathrm{d}F(X)(g)\circ F=X(g\circ F)$ Тож для довільних гладких векторних полів $X,Y$ і всіх функцій $g\in C^{\mathrm{\infty }}(N)$

$\begin{array}{cc}& \mathrm{d}F[X,Y{]}_{F(p)}(g)=[X,Y{]}_p(g\circ F)\\ & =X_p(Y(g\circ F))-Y_p(X(g\circ F))\\ & =X_p(\mathrm{d}F(Y)(g)\circ F)-Y_p(\mathrm{d}F(X)(g)\circ F)\\ & =\mathrm{d}F(X{)}_{F(p)}(\mathrm{d}F(Y)(g))-\mathrm{d}F(Y{)}_{F(p)}(\mathrm{d}F(X)(g))\\ & =[\mathrm{d}F(X),\mathrm{d}F(Y){]}_{F(p)}(g)\end{array}$

Звідси і отримується необхідна рівність.

Див. також

• Алгебра Лі
• Дотичний вектор
• Дужки Пуассона
• Похідна Лі

Джерела

• Шаблон:Голод.Клімик.Математичні основи теорії симетрії
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Citation Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation