Диференціал (диференціальна геометрія)

Якщо відображення, φ, переводить кожну точку многовида M у многовид N, тоді диференціал φ переводить вектори дотичного простору у кожній точці в M у дотичний простір для відповідної точки в N.

Диференціа́л (від Шаблон:Lang-la — різниця, відмінність) у математиці — лінійна частина приросту диференційовної функції або відображення. Це поняття тісно пов'язане з поняттям похідної за напрямком.

Необхідні знання

Для повного розуміння цієї статті від читача потрібні початкові уявлення про гладкі многовиди і їх дотичні простори.

Позначення

Зазвичай диференціал $f$ позначається $df$. Деякі автори позначають $\mathrm{d}f$ шрифтом прямого накреслення, бажаючи підкреслити, що диференціал є оператором. Диференціал у точці $x$ позначається $d_{x}f$, а інколи $d{f}_x$ або $df[x]$. ($d_{x}f$ є лінійна функція на дотичному просторі у точці $x$.)

Якщо $v$ є дотичним вектором у точці $x$, то значення диференціала на $v$ зазвичай позначають $df(v)$, у цьому позначення $x$ зайве, але позначення $d_{x}f(v)$, $d{f}_x(v)$ і $df[x](v)$ також правомірні.

Використовується так само позначення $f_{*}$; останнє зв'язане з тим, що диференціал $f:M\to N$ є єдиним підняттям $f$ на кодотичні розшарування до многовидів $M$ і $N$.

Означення

Для дійснозначних функцій

Нехай $M$ — гладкий многовид і $f:M\to ℝ$ гладка функція. Диференціал $f$ являє собою 1-форму на $M$, що зазвичай позначається $df$ і визначається наступним співвідношенням

$df(X)=d_{p}f(X)=Xf,$

де $Xf$ позначає похідну $f$ за напрямком дотичного вектора $X$ у точці $p\in M$.

Для відображень гладких многовидів

Диференціал гладкого відображення із гладкого многовиду у многовид $F:M\to N$ є відображенням між їх дотичними розшаруваннями, $dF:TM\to TN$, таким що для будь-якої гладкої функції $g:N\to ℝ$ маємо

$[dF(X)]g=X(g\circ F),$

де $Xf$ позначає похідну $f$ за напрямком $X$. (У лівій частині рівності береться похідна у $N$ функції $g$ за $dF(X)$; у правій — в $M$ функції $g\circ F$ за $X$).

Це поняття природним чином узагальнює поняття диференціала функції.

Пов'язані означення

• Точка $x$ многовиду $M$ називається критичною точкою відображення $f:M\to N$, якщо диференціал $d_{x}f:T_{x}M\to T_{f(x)}N$ не є сюр'єктивним. (див. також теорема Сарда)
  • У цьому випадку $f(x)$ називається критичним значенням $f$.
  • Точка $y\in N$ називається регулярною, якщо вона не є критичною.
• Гладке відображення $F:M\to N$ називається субмерсією, якщо для будь-якої точки $x\in M$, диференціал $d_{x}F:T_{x}M\to T_{F(x)}N$ є сюр'єктивним.
• Гладке відображення $F:M\to N$ називається гладким зануренням, якщо для будь-якої точки $x\in M$, диференціал $d_{x}F:T_{x}M\to T_{F(x)}N$ є ін'єктивним.

Властивості

• Диференціал композиції рівний композиції диференціалів:

  $d(F\circ G)=dF\circ dG$ или $d_x(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_{x}G$

Приклади

• Нехай у відкритій множині $\mathrm{\Omega }\subset ℝ$ задана гладка функція $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$. Тоді $df=f^{\prime }dx$, де $f^{\prime }$ позначає похідну $f$, а $dx$ є сталою формою, що визначається $dx(V)=V$.
• Нехай у відкритій множині $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ задана гладка функція $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$. Тоді $df=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}d{x}_i$. Форма $d{x}_i$ може бути визначена співвідношенням $d{x}_i(V)=v_i$, для вектора $V=(v_1,v_2,\dots ,v_n)$.
• Нехай у відкритій множині $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ задано гладке відображення $F:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^m$. Тоді

  $d_{x}F(v)=J(x)v,$

де $J(x)$ є матрицею Якобі відображення $F$ у точці $x$.

Див. також

• Кодиференціал (диференціальна геометрія)