Тензор кривини

Тензор Рімана $R_{ijk}^s$ (тензор внутрішньої кривини многовида) з'являється при розгляді комутатора коваріантних похідних коваріантного вектора (дивіться статтю Диференціальна геометрія)

$(1)[{\mathrm{\nabla }}_j{\mathrm{\nabla }}_k]a_i=-R_{ijk}^s{a}_s$

Деякі тотожності

$(2)R_{ijk}^s={\partial }_j{\mathrm{\Gamma }}_{ik}^s-{\partial }_k{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s+{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^p{\mathrm{\Gamma }}_{pk}^s-{\mathrm{\Gamma }}_{ik}^p{\mathrm{\Gamma }}_{pj}^s$

Замість коваріантних компонент $a_i$ можна підставити базисні вектори ${𝐫}_i$:

$(3)[{\mathrm{\nabla }}_j{\mathrm{\nabla }}_k]{𝐫}_i=-R_{ijk}^s{𝐫}_s$

І враховуючи, що коваріантна похідна від базисних векторів ${\mathrm{\nabla }}_j{𝐫}_i$ дорівнює векторам повної кривини ${𝐛}_{ij}$ (дивіться Прості обчислення диференціальної геометрії), маємо:

$(3){\mathrm{\nabla }}_j{𝐛}_{ik}-{\mathrm{\nabla }}_k{𝐛}_{ij}=-R_{ijk}^s{𝐫}_s$

Домножимо формулу (3) скалярно на ${𝐫}_p$, i врахуємо ортогональність векторів кривини до многовиду: $({𝐫}_s\cdot {𝐛}_{ij})=0$. В результаті одержуємо формулу для коваріантних компонент тензора Рімана:

$-R_{pijk}=-R_{ijk}^s({𝐫}_p\cdot {𝐫}_s)=-({𝐫}_p\cdot ({\mathrm{\nabla }}_j{𝐛}_{ik}))+({𝐫}_p\cdot ({\mathrm{\nabla }}_k{𝐛}_{ij}))=$

$=-({\mathrm{\nabla }}_j({𝐫}_p\cdot {𝐛}_{ik})+(({\mathrm{\nabla }}_j{𝐫}_p)\cdot {𝐛}_{ik}))+({\mathrm{\nabla }}_k({𝐫}_p\cdot {𝐛}_{ij})-(({\mathrm{\nabla }}_k{𝐫}_p)\cdot {𝐛}_{ij}))=$

$=-(0-({𝐛}_{jp}\cdot {𝐛}_{ik}))+(0-({𝐛}_{kp}\cdot {𝐛}_{ij}))=({𝐛}_{pj}\cdot {𝐛}_{ik})-({𝐛}_{pk}\cdot {𝐛}_{ij})$

або після зміни знаку і перейменування індексів:

$(4)R_{ijkl}=({𝐛}_{ik}\cdot {𝐛}_{jl})-({𝐛}_{il}\cdot {𝐛}_{jk})$

Як можна побачити з останнього рівняння (в скалярних добутках індекси $k$ і $l$ переставлені), тензор Рімана антисиметричний за першою парою індексів $ij$ і за другою парою індексів $kl$ (при перестановці зменшуване і від'ємник у правій частині формули (4) міняються місцями):

$(5)R_{ijkl}=-R_{jikl}=-R_{ijlk}$

Також легко бачити, що тензор Рімана не змінюється при перестановці першої пари індексів $ij$ з другою парою індексів $kl$ (при перестановці у множниках зменшуваного індекси переставляються, але оскільки величини ${𝐛}_{ij}$ симетричні за індексами, то скалярний добуток зменшуваного не зміниться; у від'ємнику аналогічно, але співмножники в скалярному добутку міняються місцями, що не впливає на результат):

$(6)R_{ijkl}=R_{klij}$

Згортка тензора Рімана за першим і третім індексами (або, що еквівалентно, за другим і четвертим індексами) дає симетричний тензор другого рангу $R_{ik}$, який називається тензором Річчі:

$(7)R_{ik}=g^{jl}{R}_{ijkl}$

Тензор Річчі симетричний:

$(8)R_{ik}=R_{ki}$

Тензор Річчі можна також згорнути за індексами, одержавши скалярну кривину:

$(9)R=g^{ik}{R}_{ik}$

Враховуючи (4), маємо:

$(10)R=({𝐛}_i^i{)}^2-({𝐛}_i^j\cdot {𝐛}_j^i)$

Комутатор для контраваріантного векора одержуємо, піднявши індекс $i$ у формулі (1):

$(11)[{\mathrm{\nabla }}_j{\mathrm{\nabla }}_k]a^i=-R_{jk}^{si}{a}_s=R_{jk}^{is}{a}_s=R_{sjk}^i{a}^s$

Оскільки комутатор коваріантних похідних $[{\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_j]$ діє на добуток тензорів $TU$ за правилом диференціального оператора:

$[{\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_j](TU)=([{\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_j]T)U+T([{\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_j]U)$

то ми можемо, користуючись формулами (1) і (11), обчислити дію комутатора коваріантних похідних на тензор, який є добутком векторів.

Але довільний тензор можна представити лінійною комбінацією таких елементарних тензорів, тому при дії комутатора на довільний тензор з будь-якою кількістю верхніх та нижніх індексів, маємо:

$(12)[{\mathrm{\nabla }}_j{\mathrm{\nabla }}_k]T_{l_1{l}_2\cdots }^{i_1{i}_2\cdots }=R_{sjk}^{i_1}{T}_{l_1{l}_2\cdots }^{s{i}_2\cdots }+R_{sjk}^{i_2}{T}_{l_1{l}_2\cdots }^{i_{1}s\cdots }+\cdots -R_{l_{1}jk}^s{T}_{s{l}_2\cdots }^{i_1{i}_2\cdots }-R_{l_{2}jk}^s{T}_{l_{1}s\cdots }^{i_1{i}_2\cdots }$

Тензор Рімана задовольняє дві тотожності Біанкі:

Алгебраїчна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів $ijk$):

$(13)R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij}=0$

Диференціальна тотожність Біанкі (циклічна перестановка індексів $pjk$):

$(14){\mathrm{\nabla }}_p{R}_{ijk}^s+{\mathrm{\nabla }}_j{R}_{ikp}^s+{\mathrm{\nabla }}_k{R}_{ipj}^s=0$

Алгебраїчна тотожність Біанкі

Тензор Рімана задовольняє наступну тотожність:

$(1)R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij}=0$

яка називається алгебраїчною тотожністю Біанкі.

Варіанти запису алгебраїчної тотожності Біанкі

Оскільки тензор Рімана має дві антисиметричні пари індексів (тензор змінює знак на протилежний при перестановці двох індексів всередині кожної з пар), причому тензор симетричний при перестановці місцями самих пар, то ми можемо, наприклад поміняти місцями перші два індекса. Одержуємо (змінивши знак):

$(1a)R_{isjk}+R_{jski}+R_{ksij}=0$

Якщо тепер поміняти місцями пари індексів, то матимемо:

$(1b)R_{jkis}+R_{kijs}+R_{ijks}=0$

Всі ці тотожності еквівалентні, і словами їх можна описати так: фіксуємо один з індексів тензора Рімана, а з трьох решти індексів утворююємо три циклічні перестановки. Сума компонент тензора Рімана з одержаними трьома наборами індексів дорівнює нулю.

Інші варіанти одержуються при підніманні одного чи декількох індексів, наприклад:

$(1c)R_{ijk}^s+R_{jki}^s+R_{kij}^s=0$

Підготовка доведення

Нехай ми маємо величину з трьома індексами $s_{ij,k}$ яка симетрична по двох індексах (наприклад по двох перших індексах):

$(2)s_{ij,k}=s_{ji,k}$

З неї ми можемо скласти іншу величину, яка буде антисиметрична по останніх двох індексах, за наступною формулою:

$(3)a_{i,jk}=s_{ij,k}-s_{ik,j}$

Тоді легко перевірити, що сума компонент $a_{i,jk}$ при циклічних перестановках індексів дорівнює нулю:

$(4)a_{i,jk}+a_{j,ki}+a_{k,ij}=s_{ij,k}-s_{ik,j}+s_{jk,i}-s_{ji,k}+s_{ki,j}-s_{kj,i}=0$

Цей хід викладок не зміниться, якщо величина $s_{ij,k\dots }$ матиме більшу кількість індексів, які проте в перестановках не беруть участі.

Доведення виходячи із представлення через символи Крістофеля

Запишемо тензор Рімана через символи Крістофеля:

$(5)R_{ijk}^s={\partial }_j{\mathrm{\Gamma }}_{ki}^s-{\partial }_k{\mathrm{\Gamma }}_{ji}^s+{\mathrm{\Gamma }}_{jp}^s{\mathrm{\Gamma }}_{ki}^p-{\mathrm{\Gamma }}_{kp}^s{\mathrm{\Gamma }}_{ji}^p$

Якщо ми позначимо:

$(6)s_{ij,k}=-{\partial }_k{\mathrm{\Gamma }}_{ji}^s-{\mathrm{\Gamma }}_{kp}^s{\mathrm{\Gamma }}_{ji}^p$

то

$(7)a_{i,jk}=s_{ij,k}-s_{ik,j}=R_{ijk}^s$

і рівність (4) збігається з алгебраїчною тотожністю Біанкі (1).

Доведення виходячи із представлення через вектори повної кривини

Запишемо тензор Рімана:

$(8)R_{sijk}=({𝐛}_{sj}\cdot {𝐛}_{ik})-({𝐛}_{sk}\cdot {𝐛}_{ij})$

В цьому випадку

$(9)s_{ij,k}=-({𝐛}_{sk}\cdot {𝐛}_{ij})$

а далі все аналогічно попереднім викладкам.

Доведення через коваріантні похідні

Нехай и маємо довільне скалярне поле $\varphi =\varphi (u^1,\dots u^n)$. Введемо наступні позначення для коваріантних похідних цього поля першого та другого порядку:

$(10){\varphi }_i={\mathrm{\nabla }}_i\varphi ={\partial }_i\varphi$

$(11){\varphi }_{ij}={\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_j\varphi ={\partial }_i{\partial }_j\varphi -{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s{\varphi }_s$

Зазначимо, що друга похідна є симетричним тензором внаслідок перестановочності частинних похідних та симетрії символів Крістофеля.

Тоді згортка тензора Рімана з градієнтом $\varphi$ дорівнює:

$(12)R_{ijk}^s{\varphi }_s=[{\mathrm{\nabla }}_k{\mathrm{\nabla }}_j]{\varphi }_i={\mathrm{\nabla }}_k{\varphi }_{ij}-{\mathrm{\nabla }}_j{\varphi }_{ik}$

В цьому випадку:

$(13)s_{ij,k}={\mathrm{\nabla }}_k{\varphi }_{ij}$

і ми одержуємо тотожність:

$(14)(R_{ijk}^s+R_{jki}^s+R_{kij}^s){\varphi }_s=0$

Оскільки функція $\varphi =\varphi (u^1,\dots u^n)$ довільна, ми можемо взяти її рівній одній з координат ($\alpha$ — фіксований індекс):

$(15)\varphi =u^{\alpha },{\varphi }_s={\delta }_s^{\alpha }$

Підставляючи (15) в (14) одержуємо (з точністю до позначень індексів) алгебраїчну тотожність Біанкі (1).

Антисиметризація тензора Рімана

Використовуючи тензор тензор метричної матрьошки, можна для довільного тензора $T_{i_1\cdots i_m}$ $m$-рангу скласти наступний антисиметричний по всіх індексах тензор:

$(16)A_{i_1\dots i_m}=\frac{1}{m!}{g}_{i_1\dots i_m}^{j_1\dots j_m}{T}_{j_1\dots j_m}$

Очевидно, що антисиметричний тензор залишається незмінним після проведення процедури антисиметризації.

Застосуємо антисиметризацію до тензора Рімана:

$(17)A_{sijk}=\frac{1}{4!}{g}_{sijk}^{s_1{i}_1{j}_1{k}_1}{R}_{s_1{i}_1{j}_1{k}_1}=\frac{1}{24}\left|\begin{array}{c}{\delta }_s^{s_1}{\delta }_i^{s_1}{\delta }_j^{s_1}{\delta }_k^{s_1}\\ {\delta }_s^{i_1}{\delta }_i^{i_1}{\delta }_j^{i_1}{\delta }_k^{i_1}\\ {\delta }_s^{j_1}{\delta }_i^{j_1}{\delta }_j^{j_1}{\delta }_k^{j_1}\\ {\delta }_s^{k_1}{\delta }_i^{k_1}{\delta }_j^{k_1}{\delta }_k^{k_1}\end{array}\right|R_{s_1{i}_1{j}_1{k}_1}$

При розкриванні визначника ми одержимо 24 доданка по перестановках індексів $sijk$, причому парні перестановки будуть зі знаком «плюс», а непарні — зі знаком «мінус»:

$(18)A_{sijk}=\frac{1}{24}((R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij})-(R_{sjik}+R_{sikj}+R_{skji})+\dots )$

Усього в формулі (18) буде вісім груп доданків по три доданки в кожній. Враховуючи симетрії тензора Рімана легко бачити, що всі ці вісім груп однакові (із врахуванням знаків). Тому одержуємо:

$(19)A_{sijk}=\frac{1}{3}(R_{sijk}+R_{sjki}+R_{skij})$

Тепер алгебраїчну тотожність Біанкі можна словами описати так: антисиметризація тензора Рімана дорівнює нулю.

Кількість лінійно незалежних компонент внутрішньої кривини

Якщо $n$ — розмірність многовида, то кількість комбінацій в антисиметричній парі індексів дорівнює:

$(20)\alpha =C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$

Оскільки тензор Рімана симетричний щодо перестановки пар індексів, то його компоненти записуються (з точністю до знаку) через таку кількість різних чисел:

$(21)\beta =\frac{\alpha (\alpha +1)}{2}=\frac{n(n-1)}{4}(\frac{n(n-1)}{2}+1)$

Але ці числа пов'язані лінійними залежностями, які слідують з алгебраїчної тотожності Біанкі. Кількість цих рівнянь, як легко бачити з формули (19), дорівнює кількості істотно різних компонент антисиметричного тензора четвертого рангу $A_{ijkl}$:

$(22)\gamma =C_n^4=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$

(зауважимо, що формула (22) дає правильний результат, тобто нуль, тоді коли $n<4$)

Отже кількість лінійно незалежних компонент тензора Рімана дорівнює різниці:

$(23)N=\beta -\gamma =\frac{n(n-1)}{24}(3n(n-1)+6-(n-2)(n-3))=\frac{n^2(n^2-1)}{12}$

Звичайно, формула (23) дає тільки максимально можливу кількість лінійно незалежних компонент тензора Рімана для даної розмірності многовида. А для конкретних многовидів ця кількість може бути меншою. Наприклад для плоского простору ця кількість дорівнює нулю, а для гіперповерхні в системі координат головних напрямків, маємо для індексів $i\ne j$ формулу:

$(24)R_{ijij}=k^{(i)}{k}^{(j)}$

а отже кількість лінійно незалежних компонент не перевищує кількості комбінацій з $n$ по 2, тобто:

$(25)N_{hypersurface}=C_n^2=n(n-1)/2$

Зв'язок з іншими властивостями внутрішньої кривини

Внаслідок алгебраїчної тотожності Біанкі, внутрішня кривина многовида повністю визначається за значеннями наступної квадратичної форми від бівекторів ${\sigma }^{ij}=a^i{b}^j-a^j{b}^i$:

$(26)\mathrm{\Phi }(\mathit{\sigma })=R_{ijkl}{\sigma }^{ij}{\sigma }^{kl}$

Також з алгебраїчною тотожністю Біанкі пов'язана можливість альтернативного погляду на внутрішню кривину через Симетричний тензор внутрішньої кривини.

Диференціальна тотожність Біанкі

Тензор Рімана задовольняє наступну тотожність:

$(1){\mathrm{\nabla }}_i{R}_{rjk}^s+{\mathrm{\nabla }}_j{R}_{rki}^s+{\mathrm{\nabla }}_k{R}_{rij}^s=0$

яка називається диференціальною тотожністю Біанкі.

Доведення з використанням спеціальної системи координат

Достатнньо вибрати на многовиді якусь одну довільну точку $P$ і довести рівність (1) у цій точці. Оскільки точка $P$ довільна, то звідси слідуватиме справедливість тотожності (1) на всьому многовиді.

В точці $P$ ми можемо вибрати таку спеціальну систему координат, що всі символи Крістофеля (але не їхні похідні) перетворюються в нуль в точці $P$ (див. статтю Майже декартові координати в точці многовида). Тоді для коваріантних похідних в точці $P$ маємо:

$(2){\mathrm{\nabla }}_i{R}_{rjk}^s={\partial }_i{R}_{rjk}^s$

Оскільки

$(3)R_{rjk}^s={\partial }_j{\mathrm{\Gamma }}_{kr}^s-{\partial }_k{\mathrm{\Gamma }}_{jr}^s+{\mathrm{\Gamma }}_{jp}^s{\mathrm{\Gamma }}_{kr}^p-{\mathrm{\Gamma }}_{kp}^s{\mathrm{\Gamma }}_{jr}^p$

то в точці $P$ маємо:

$(4){\mathrm{\nabla }}_i{R}_{rjk}^s={\partial }_i{\partial }_j{\mathrm{\Gamma }}_{kr}^s-{\partial }_i{\partial }_k{\mathrm{\Gamma }}_{jr}^s$

Циклічно переставляючи в (4) індекси $ijk$ одержимо ще дві рівності:

$(5){\mathrm{\nabla }}_j{R}_{rki}^s={\partial }_j{\partial }_k{\mathrm{\Gamma }}_{ir}^s-{\partial }_j{\partial }_i{\mathrm{\Gamma }}_{kr}^s$

$(6){\mathrm{\nabla }}_k{R}_{rij}^s={\partial }_k{\partial }_i{\mathrm{\Gamma }}_{jr}^s-{\partial }_k{\partial }_j{\mathrm{\Gamma }}_{ir}^s$

Легко бачити, що при додаванні рівностей (4), (5) і (6) в лівій частині рівняння буде вираз (1), а в правій, врахувавши комутативність частинних похідних, усі доданки взаємно знищаться і ми одержимо нуль.

Існування декартової системи координат

Якщо існує декартова система координат, то $R_{ijkl}=0$

Якщо на многовиді існує декартова система координат (в якій метричний тензор дорівнює одиничній матриці $g_{ij}={\delta }_{ij}$), то в цій системі координат всі похідні метричного тензора ${\partial }_k{g}_{ij}=0$, а отже і всі символи Крістофеля тотожно дорівнюють нулю:

${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k=\frac{1}{2}{g}^{ks}({\partial }_i{g}_{js}+{\partial }_j{g}_{is}-{\partial }_s{g}_{ij})=0$

Отже і всі компоненти тензора Рімана в декартовій системі координат дорівнюють нулю:

$R_{ijk}^s={\partial }_j{\mathrm{\Gamma }}_{ik}^s-{\partial }_k{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k+{\mathrm{\Gamma }}_{jp}^s{\mathrm{\Gamma }}_{ik}^p-{\mathrm{\Gamma }}_{kp}^s{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^p=0$

Але оскільки тензор Рімана при переході в іншу систему координат перетворюється по тензорним правилам:

${\tilde{R}}_{ijk}^s=R_{lmn}^p\frac{\partial {\tilde{u}}^s}{\partial u^p}\frac{\partial u^l}{\partial {\tilde{u}}^i}\frac{\partial u^m}{\partial {\tilde{u}}^j}\frac{\partial u^n}{\partial {\tilde{u}}^k}$

то він дорівнює нулю в будь-якій іншій системі координат на цьому многовиді.

Якщо $R_{ijkl}=0$, то можна побудувати декартову систему координат

Нехай тензор Рімана тотожно дорівнює нулю в деякій зв'язній області многовида. Візьмемо довільну точку $P$ в межах цієї області - ця точка буде початком нашої майбутньої декартової системи координат. В точці виберемо якийсь ортонормований базис - вектори цього базису будуть задавати додатні напрямки координатних осей майбутньої системи координат.

Розглянемо один із векторів базису, який поки що для простоти позначимо буквою $v$ (взагалі-то кількість базисних векторів $n$, і треба було б позначити індексом, який із базисних векторів ми розглядаємо; але поки ми зосередимося на побудові однієї координати).

Користуючись паралельним перенесенням починаючи з точки $P$, в кожній точці області многовида побудуємо вектор, паралельний вектору $v$. Результат перенесення не залежить від шляху переносу (оскільки тензор Рімана дорівнює нулю), а залежить тільки від кінцевої точки. Таким чином ми одержали в нашій області векторне поле:

$(1)v_i=v_i(u^1,u^2,\dots u^n)$

яке до того ж є постійним стосовно коваріантного диференціювання, тобто справедливі рівності:

$(2){\mathrm{\nabla }}_j{v}_i=0$

З останнього рівняння, враховуючи означення коваріантної похідної і симетрію символів Крістофеля, знаходимо:

$(3)0={\mathrm{\nabla }}_j{v}_i-{\mathrm{\nabla }}_i{v}_j=({\partial }_j{v}_i-{\mathrm{\Gamma }}_{ji}^k{v}_k)-({\partial }_i{v}_j-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{v}_k)={\partial }_j{v}_i-{\partial }_i{v}_j=0$

Тепер, оскільки

$(4){\partial }_j{v}_i={\partial }_i{v}_j$

То вектор є градієнтом деякої скалярної функції $\varphi =\varphi (u^1,u^2,\dots u^n)$:

$(5)v_i={\partial }_i\varphi$

Функцію $\varphi$ в якійсь точці $Q$ області многовида можна обчислити через інтеграл по кривій, що сполучає початок координат $P$ і точку $Q$:

$(7)\varphi {|}_Q=\underset{P}{\overset{Q}{\int }}{v}_{i}d{u}^i$

причому результат інтегрування не залежить від кривої (внаслідок формули Стокса і рівності (5)).

Функція $\varphi =\varphi (u^1,u^2,\dots u^n)$ і буде однією з координат. Тепер повернемося до інших векторів базису, цього разу уже пронумеруємо ці вектори індексом, взятим у дужки. Так само для кожного такого вектора побудуємо в нашій області відповідне постійне векторне поле, яке є градієнтом відповідної координати:

$(8)v_i^{(k)}={\partial }_i{\varphi }^{(k)}$

Оскільки паралельне перенесення групи векторів зберігає скалярні добутки між ними, а в початку координат ці скалярні добутки дорівнюють одиничній матриці, то в усій області маємо:

$(9)g^{ij}\frac{\partial {\varphi }^{(k)}}{\partial u^i}\frac{\partial {\varphi }^{(l)}}{\partial u^j}={\delta }^{kl}$

тобто координати ${\varphi }^{(k)}$ є декартовими.

Погляд із охоплюючого евклідового простору

Розглянемо рівність:

$(10)R_{ijkl}=({𝐛}_{ik}\cdot {𝐛}_{jl})-({𝐛}_{il}\cdot {𝐛}_{jk})=0$

в якійсь точці $P$ многовиду, і дві геодезичні лінії, що проходять через цю точку, але в різних напрямках. Кривини цих геодезичних дорівнюють:

$𝐤={𝐛}_{ij}{\tau }^i{\tau }^j$

$\widetilde{𝐤}={𝐛}_{ij}{\tilde{\tau }}^i{\tilde{\tau }}^j$

Тепер домножимо (10) на добуток ${\tau }^i{\tilde{\tau }}^j{\tau }^k{\tilde{\tau }}^l$, одержимо:

$(𝐤\cdot \widetilde{𝐤})=({𝐛}_{ij}{\tau }^i{\tilde{\tau }}^j{)}^2\ge 0$

Висновок - кривини всіх геодезичних напрямлені приблизно в один бік, многовид не має сідлових точок, в яких би різні геодезичні викривлялися в протилежні боки.

Див. також

• Розклад Річчі
• Перетворення кривини
• Тензор кручення

Література

• Володимир Кіосак, Олександр Пришляк. Ріманова геометрія. Київ, мехмат КНУ, 2017. 49 с.
• Шаблон:Iw2. (2018). Introduction to Riemannian Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-3-319-91754-2.