Символи Крістофеля

Символи Крістофеля (позначаються ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$) — це коефіцієнти компенсаційного доданка, який зменшує вплив викривлення системи координат на диференціювання векторів та тензорів. Існує також альтернативна назва для символів Крістофеля — коефіцієнти афінної зв'язності.

Символи Крістофеля не є тензором, бо не підкоряються тензорному правилу переходу в іншу систему координат.

---

Розглянемо $n$-вимірний многовид, вміщений в $N$-вимірний евклідовий простір ($N\ge n$). Точки евклідового простору будемо зображати радіус-вектором $𝐫$, який в прямокутних декартових координатах має вигляд:

$(1)𝐫=\{x^1,x^2,\dots ,x^N\}$

Многовид в цьому просторі задається параметрично вектор-функцією:

$(2)𝐫=𝐫(u^1,u^2,\dots u^n)$

Параметри $u^1,u^2,\dots u^n$ є координатами на многовиді. Часткові похідні радіус-вектора по цих координатах будуть дотичними векторами до многовиду і утворюють базис в дотичному афінному Шаблон:Не перекладено евклідового простору.

$(3){𝐫}_i=\frac{\partial 𝐫}{\partial u^i}$

Розглянемо другу похідну ${𝐫}_{ij}$ радіус-вектора многовида по параметрах. Це є вектор, який можна розкласти на два вектори — дотичний до многовиду ${𝐚}_{ij}$ і перпендикулярний ${𝐛}_{ij}$:

$(4){𝐫}_{ij}=\frac{{\partial }^2𝐫}{\partial u^i\partial u^j}={𝐚}_{ij}+{𝐛}_{ij}$

Дотичний вектор можна розкласти за базисом ${𝐫}_k$:

$(5){𝐚}_{ij}={\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{𝐫}_k$

Коефіцієнти розкладу (числа ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$) вивчав німецький математик Шаблон:Iw, тому вони називаються символами Крістофеля.

Ми можемо формули (4) і (5) зібрати в одну формулу:

$(6){𝐫}_{ij}={\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s{𝐫}_s+{𝐛}_{ij}$

Символи Крістофеля першого роду

Помножимо рівність (6) скалярно на базисний вектор ${𝐫}_k$, і врахуємо ортогональність вектора ${𝐛}_{ij}$:

$(7)({𝐫}_{ij}\cdot {𝐫}_k)={\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s({𝐫}_s\cdot {𝐫}_k)=g_{ks}{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s$

в останньому виразі ми використали позначення метричного тензора $g_{ij}$, який виражається через скалярні добутки базисних векторів. Одержані в правій частині цієї рівності величини називаються символами Крістофеля першого роду, і позначаються тією ж великою літерою «гамма», але з опущеним індексом (і відокремленим комою, щоб підкреслити його особливість у порівнянні з двома іншими індексами):

$(8){\mathrm{\Gamma }}_{ij,k}=g_{ks}{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s=({𝐫}_{ij}\cdot {𝐫}_k)$

Ми можемо також навпаки, виразити звичайні символи Крістофеля (які називаються аналогічно символами Крістофеля другого роду) через символи Крістофеля першого роду, домноживши (8) на обернений метричний тензор $g^{pk}$:

$(9){\mathrm{\Gamma }}_{ij}^p={\delta }_s^p{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s=g^{pk}{g}_{ks}{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s=g^{pk}{\mathrm{\Gamma }}_{ij,k}$

Симетрія по нижніх індексах

Внаслідок теореми про рівність змішаних похідних ${𝐫}_{ij}={𝐫}_{ji}$ і з рівності (8) ми одержуємо, що символи Крістофеля першого роду симетричні по перших двох індексах:

$(10){\mathrm{\Gamma }}_{ij,k}={\mathrm{\Gamma }}_{ji,k}$

Те саме стосується символів Крістофеля з верхнім індексом внаслідок (9), дійсно:

$(11){\mathrm{\Gamma }}_{ji}^p=g^{pk}{\mathrm{\Gamma }}_{ji,k}=g^{pk}{\mathrm{\Gamma }}_{ij,k}={\mathrm{\Gamma }}_{ij}^p$

Зв'язок з метричним тензором

Візьмемо частинну похідну від компоненти метричного тензора (яка, як відомо, дорівнює скалярному добутку базисних векторів):

$(12)\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}=\frac{\partial }{\partial u^k}({𝐫}_i\cdot {𝐫}_j)=({𝐫}_{ki}\cdot {𝐫}_j)+({𝐫}_i\cdot {𝐫}_{kj})$

Для спрощення запису подальших формул, введемо наступне позначення оператора частинної похідної:

$(13){\partial }_k=\frac{\partial }{\partial u^k}$

Тоді з формул (12) і (8) маємо формулу, яка виражає похідні метричного тензора через символи Крістофеля першого роду:

$(14){\partial }_k{g}_{ij}={\mathrm{\Gamma }}_{ki,j}+{\mathrm{\Gamma }}_{kj,i}$

Можна також і навпаки, виразити символи Крістофеля через похідні метричного тензора. Для цього з формули (14) утворимо ще дві еквівалентні формули, циклічно переставляючи індекси $(ijk)$:

$(14a){\partial }_i{g}_{jk}={\mathrm{\Gamma }}_{ij,k}+{\mathrm{\Gamma }}_{ik,j}$

$(14b){\partial }_j{g}_{ki}={\mathrm{\Gamma }}_{jk,i}+{\mathrm{\Gamma }}_{ji,k}$

Якщо додати дві останні формули і від суми відняти (14), одержимо з врахуванням симетрії символів Крістофеля:

$(15){\partial }_i{g}_{jk}+{\partial }_j{g}_{ki}-{\partial }_k{g}_{ij}=2{\mathrm{\Gamma }}_{ij,k}$

звідки одержуємо формули для символів Крістофеля:

$(17){\mathrm{\Gamma }}_{ij,k}=\frac{1}{2}({\partial }_i{g}_{jk}+{\partial }_j{g}_{ki}-{\partial }_k{g}_{ij})$

$(18){\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s=\frac{1}{2}{g}^{sk}({\partial }_i{g}_{jk}+{\partial }_j{g}_{ki}-{\partial }_k{g}_{ij})$

Ми бачимо, що символи Крістофеля залежать тільки від метричного тензора, а тому є поняттям внутрішньої геометрії многовиду і системи координат у многовиді.

Формули згорток

Із формули (18) можна обчислити згортки символів Крістофеля:

$(19){\mathrm{\Gamma }}_{is}^s=\frac{1}{\sqrt{g}}{\partial }_i\sqrt{g}$

$(20)g^{ij}{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s=-\frac{1}{\sqrt{g}}{\partial }_i\left(\sqrt{g}{g}^{is}\right)$

де буквою без індексів $g$ позначено визначник матриці метричного тензора $(g_{ij})$. Вивід цих формул дивіться тут.

Перехід в іншу систему координат

Нехай на многовиді окрім параметрів $\{u^1,u^2,\dots u^n\}$ задано також інший набір параметрів $\{{\hat{u}}^1,{\hat{u}}^2,\dots {\hat{u}}^n\}$, які задають іншу систему координат.

Введемо такі позначення для (взаємно обернених) матриць переходу між цими системами координат:

$(21){\alpha }_j^i=\frac{\partial {\hat{u}}^i}{\partial u^j};{\beta }_j^i=\frac{\partial u^i}{\partial {\hat{u}}^j}$

Базисні вектори в новій системі координат виражаються через старий базис за тензорним законом:

$(22){\widehat{𝐫}}_i=\frac{\partial 𝐫}{\partial {\hat{u}}^i}=\frac{\partial u^k}{\partial {\hat{u}}^i}\frac{\partial 𝐫}{\partial u^k}={\beta }_i^k{𝐫}_k$

Знайдемо, як виглядатиме формула (6) в новій системі координат. Спершу обчислюємо другу похідну:

$(23){\widehat{𝐫}}_{ij}=\frac{\partial }{\partial {\hat{u}}^i}\frac{\partial 𝐫}{\partial {\hat{u}}^j}=\frac{\partial }{\partial {\hat{u}}^i}\left({\beta }_j^k{𝐫}_k\right)=\left(\frac{\partial }{\partial {\hat{u}}^i}{\beta }_j^k\right){𝐫}_k+{\beta }_j^k\frac{\partial }{\partial {\hat{u}}^i}{𝐫}_k=\frac{{\partial }^2{u}^k}{\partial {\hat{u}}^i\partial {\hat{u}}^j}{𝐫}_k+{\beta }_j^k{\beta }_i^l{𝐫}_{kl}$

В останньому доданку розпишемо ${𝐫}_{kl}$ за формулою (6):

$(24){\widehat{𝐫}}_{ij}=\frac{{\partial }^2{u}^k}{\partial {\hat{u}}^i\partial {\hat{u}}^j}{𝐫}_k+{\beta }_j^k{\beta }_i^l({\mathrm{\Gamma }}_{kl}^p{𝐫}_p+{𝐛}_{kl})$

У формулі (24) зберемо докупи доданки з дотичними до многовиду векторами ${𝐫}_k$, перейменувавши при потребі індекси за якими іде згортка, і окремо виділимо ортогональний доданок:

$(25){\widehat{𝐫}}_{ij}=(\frac{{\partial }^2{u}^k}{\partial {\hat{u}}^i\partial {\hat{u}}^j}+{\beta }_i^p{\beta }_j^q{\mathrm{\Gamma }}_{pq}^k){𝐫}_k+{\beta }_i^k{\beta }_j^l{𝐛}_{kl}$

Запишемо для порівняння також формулу (6) у новій системі координат.

$(26){\widehat{𝐫}}_{ij}={\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^s{\widehat{𝐫}}_s+{\widehat{𝐛}}_{ij}={\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^s{\beta }_s^k{𝐫}_k+{\widehat{𝐛}}_{ij}$

Із формул (25) і (26) ми можемо зробити два висновки. По-перше, вектори повної кривини ${𝐛}_{ij}$ при заміні координат змінюються за тензорним законом:

$(27){\widehat{𝐛}}_{ij}={\beta }_i^k{\beta }_j^l{𝐛}_{kl}$

А по-друге, символи Крістофеля змінюються за таким правилом:

$(28){\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^s{\beta }_s^k=\frac{{\partial }^2{u}^k}{\partial {\hat{u}}^i\partial {\hat{u}}^j}+{\beta }_i^p{\beta }_j^q{\mathrm{\Gamma }}_{pq}^k$

яке можна переписати, виразивши символи Крістофеля в новій системі координат:

$(29){\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^s={\alpha }_k^s(\frac{{\partial }^2{u}^k}{\partial {\hat{u}}^i\partial {\hat{u}}^j}+{\beta }_i^p{\beta }_j^q{\mathrm{\Gamma }}_{pq}^k)$

Цей закон перетворення не тензорний, завдяки наявності доданка другої похідної. Як наслідок, для довільного многовида і окремо взятої точки на многовиді можна підібрати таку систему координат, що всі символи Крістофеля стануть нульовими.

Обчислення символів Крістофеля в евклідовому просторі

Нехай нашим многовидом буде евклідовий простір (з нульовим тензором Рімана), в якому задана декартова система координат $u^1,u^2,\dots u^n$ і криволінійна система координат $\{{\hat{u}}^1,{\hat{u}}^2,\dots {\hat{u}}^n\}$. У декартових координатах всі символи Крістофеля ${\mathrm{\Gamma }}_{pq}^k$ тотожно дорівнюють нулю. А для символів Крістофеля в криволінійній системі координат внаслідок (29) одержуємо наступну формулу:

$(30){\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^s={\alpha }_k^s\frac{{\partial }^2{u}^k}{\partial {\hat{u}}^i\partial {\hat{u}}^j}={\alpha }_k^s\frac{\partial }{\partial {\hat{u}}^i}{\beta }_j^k=\frac{\partial }{\partial {\hat{u}}^i}\left({\alpha }_k^s{\beta }_j^k\right)-{\beta }_j^k\frac{\partial }{\partial {\hat{u}}^i}{\alpha }_k^s=-{\beta }_j^k{\beta }_i^l\frac{\partial }{\partial u^l}{\alpha }_k^s$

або

$(31){\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^s=-{\beta }_j^k{\beta }_i^l\frac{\partial {\hat{u}}^s}{\partial u^k\partial u^l}=-\frac{\partial u^k}{\partial {\hat{u}}^j}\frac{\partial u^l}{\partial {\hat{u}}^i}\frac{\partial {\hat{u}}^s}{\partial u^k\partial u^l}$

При обчисленні формули (30) ми врахували взаємну оберненість матриць:

$(32){\alpha }_k^s{\beta }_j^k={\delta }_j^s$

і те, що похідна від константи ${\delta }_j^s$ дорівнює нулю.

Див. також

• Дериваційні формули Вейнгартена

Джерела

• Шаблон:Борисенко.Диференціальна геометрія і топологія
• О. Пришляк, Диференціальна геометрія Шаблон:Webarchive, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2004.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book