Сингулярне значення

У математиці, зокрема в функціональному аналізі, сингулярне значення або сингулярне число (с-число) компактного оператора Шаблон:Nowrap, що діє між Гільбертовими просторами X і Y, це квадратні корені додатних власних значень самоспряженого оператора Шаблон:Nowrap (де TШаблон:Sup позначає спряжений оператору T).

Сингулярні значення це невід'ємні дійсні числа, зазвичай перелічувані у спадному порядку (s₁(T), s₂(T), …). Найбільше сингулярне значення s₁(T) рівне нормі оператора T (див. Теорема Куранта — Фішера).

Візуалізація SVD двовимірної, дійсної матриці зсуву M. Спершу, ми бачимо блакитний одиничний диск з двома векторами стандартного базису. Потім ми бачимо дію M, яка перетворює диск на еліпс. SVD розкладає M на три простих перетворення: початковий поворот V^*, масштабування Σ уздовж осі координат і кінцевий поворот U. Σ це діагональна матриця, діагональ якої складається із сингулярних значень матриці M, які представляють довжини σ₁ і σ₂ півосей еліпса.

У разі, якщо T діє на евклідовому просторі Rⁿ, існує просте геометричне тлумачення сингулярних значень: Розгляньмо область значень T, якщо її область визначення це одинична сфера; це буде еліпсоїд, а довжини його півосей це сингулярні значення T (на рисунку наведено приклад в R²).

Сингулярні значення це абсолютні значення власних значень нормальної матриці A, бо можна використати спектральну теорему, щоб отримати унітарну діагоналізацію A як Шаблон:Nowrap. Отже, $\sqrt{A^{*}A}=\sqrt{U{\mathrm{\Lambda }}^2{U}^{*}}=U|\mathrm{\Lambda }|U^{*}$.

Більшість норм операторів на Гільбертових просторах, що ми їх вивчаємо, означені за допомогою с-чисел. Наприклад, k-норма це сума перших k сингулярних значень, слідова норма це сума всіх сингулярних значень, також існує норма обчислювана як p-й корінь суми p-х степенів сингулярних значень. Зауважте, що кожна норма має місце лише на певному класі операторів, тому с-числа корисні для класифікації операторів.

У скінченновимірному випадку, матрицю завжди можна розкласти у вигляді UΣVШаблон:Sup, де U і VШаблон:Sup унітарні, а Σ це діагональна матриця із сингулярними значеннями на діагоналі. Це сингулярний розклад матриці.

Базові властивості

Для $A\in {ℂ}^{m\times n}$ і $i=1,2,\dots ,\min \{m,n\}$.

Теорема Куранта — Фишера для сингулярних значень. Тут $U:\dim (U)=i$ це підпростір ${ℂ}^n$ вимірності $i$.

$\begin{array}{cc}{\sigma }_i(A)& =\underset{\dim (U)=n-i+1}{\min }\underset{\underset{\Vert x{\Vert }_2=1}{x\in U}}{\max }{\Vert Ax\Vert }_2.\\ {\sigma }_i(A)& =\underset{\dim (U)=i}{\max }\underset{\underset{\Vert x{\Vert }_2=1}{x\in U}}{\min }{\Vert Ax\Vert }_2.\end{array}$

Траспонування матриці як і спряження не змінюють сингулярних значень.

${\sigma }_i(A)={\sigma }_i\left(A^{\mathsf{\text{T}}}\right)={\sigma }_i\left(A^{*}\right)={\sigma }_i\left(\overline{A}\right).$

Для будь-яких унітарних $U\in {ℂ}^{m\times m},V\in {ℂ}^{n\times n}.$

${\sigma }_i(A)={\sigma }_i(UAV).$

Зв'язок з власними значеннями:

${\sigma }_i^2(A)={\lambda }_i\left(A{A}^{*}\right)={\lambda }_i\left(A^{*}A\right).$

Див. також

• Число обумовленості
• Сингулярний розклад матриці