Теорема Куранта — Фішера

Теорема Куранта — Фішера — теорема про властивість ермітового оператора в гільбертовому просторі функцій. Також називається теоремою про мінімакс.

Формулювання

${\lambda }_k=\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{L_k}\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in L_k\cap S}\frac{(Ax,x)}{(x,x)}$

$A$ — лінійний самоспряжений оператор, що діє в скінченновимірному комплексному або дійсному просторі,

$S$ — одинична сфера,

$e=e_1\dots e_n$ — ортонормований базис простору $V$, що складається з власних векторів оператора $A$,

${\lambda }_k$ — $k$-е власне значення оператора $A$ і ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \dots \le {\lambda }_n$

$L_k$ — $k$-вимірний підпростір $V$.

Доведення

$p=n-k+1$, $L_k$ — $k$-вимірний підпростір $V$,$W_{n-k+1}$ — лінійна оболонка векторів $e_k\dots e_n$. $\dim L_k+\dim W_{n-k+1}=n+1$. Звідки випливає, що $L_k\cap W_{n-k+1}\ne \varnothing$. Нехай $x_0\in L_k\cap W_{n-k+1}$ і $\Vert x_0\Vert =1$. Оскільки ${\lambda }_k=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in L_k\cap S}(Ax,x),$ то $\frac{(A{x}_0,x_0)}{(x_0,x_0)}\le {\lambda }_k$. З іншого боку: так як $x_0\in L_k$ то

$\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in L_k\cap S}(Ax,x)\le {\lambda }_k$

$\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{L_k}\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in L_k\cap S}(Ax,x)\le {\lambda }_k$

Рівність досягається при $L_k=L(e_1\dots e_k)$.

Додатково

Очевидно, що $\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{L_k}\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in L_k\cap S}(Ax,x)=\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{L_{n-k+1}}\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in L_{n-k+1}\cap S}(Ax,x)$.

Див. також

• Відношення Релея

Джерела

• Шаблон:Гельфанд.ЛінійнаАлгебра.укр
• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Ланкастер.Теорія матриць
• Прасолов Задачи и теоремы линейной алгебры.
• Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия