Алгебра Гопфа

Шаблон:Алгебричні структури Алгебра Гопфа — асоціативна алгебра з одиницею, що є також коасоціативною коалгеброю з коодиницею і, таким чином, біалгеброю з антигомоморфізмом спеціального виду. Названа на честь Гайнца Гопфа.

Алгебри Гопфа зустрічаються в алгебраїчній топології, де вони виникли у зв'язку з концепцією H-простору, в теорії групових схем, в теорії груп (завдяки концепції групового кільця), і в багатьох інших розділах математики, що робить їх одним з найвідоміших прикладів біалгебри. Алгебри Гопфа також вивчаються як самостійний предмет, у зв'язку з великою кількістю певних класів алгебр Гопфа і проблем їх класифікації.

Означення

Алгебра Гопфа — асоціативна і коасоціативна біалгебра Шаблон:Mvar над полем $K$ разом з $K$-лінійним відображенням $S:H\to H$ (що називається антиподом) таким, що наступна діаграма є комутативною:

Тут Шаблон:Math — кодобуток біалгебри, Шаблон:Math — добуток алгебри, Шаблон:Mvar — одиниця алгебри й Шаблон:Mvar — коодиниця.

У позначеннях Свідлера, ця властивість записується як:

$S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=ϵ(c)1\mathrm{\forall }c\in H$.

Наведене означення можна узагальнити для алгебр над кільцями (досить в означенні замінити поле $K$ на комутативне кільце $R$).

Означення алгебри Гопфа є двоїстим самому собі (це відображено в симетрії наведеної діаграми), зокрема, якщо можна задати двоїсту алгебру до Шаблон:Mvar (це завжди можливо якщо Шаблон:Mvar є скінченновимірним простором) то вона автоматично є алгеброю Гопфа.

Структурні константи

Зафіксувавши базис $\{e_k\}$ алгебри як векторного простору, алгебру Гопфа можна описати за допомогою структурних констант

для множення:

$e_i\mathrm{\nabla }{e}_j=\sum _k{\mu }_{ij}^k{e}_k$

для кодобутку:

$\mathrm{\Delta }{e}_i=\sum _{j,k}{\nu }_i^{jk}{e}_j\otimes e_k$

для антипода:

$S{e}_i=\sum _j{\tau }_i^j{e}_j$

Асоціативність алгебри тоді вимагає рівності

${\mu }_{ij}^k{\mu }_{kn}^m={\mu }_{jn}^k{\mu }_{ik}^m$

для коасоціативності має виконуватися рівність

${\nu }_k^{ij}{\nu }_i^{mn}={\nu }_k^{mi}{\nu }_i^{nj}$

Також для структурних констав має бути

${\nu }_k^{ij}{\tau }_j^m{\mu }_{pm}^n={\nu }_k^{jm}{\tau }_j^i{\mu }_{pm}^n$

Властивості антипода

В означенні алгебр Гопфа для антипода Шаблон:Mvar часто ставиться вимога існування Шаблон:Mvar-лінійного оберненого відображення, яке автоматично існує у скінченновимірному випадку, або якщо алгебра Шаблон:Mvar є комутативною, кокомутативною або, більш загально, квазітрикутною.

Взагалі кажучи, Шаблон:Mvar є антигомоморфізмом , так Шаблон:Math - гомоморфізм, який буде автоморфізмом, якщо Шаблон:Mvar є оборотним.

Якщо $S^2=Id$, то алгебра Гопфа, як кажуть, є інволютивною (основним прикладом інволютивної алгебри є *-алгебра). Якщо Шаблон:Mvar — скінченновимірна напівпроста алгебра над полем характеристики нуль, що є комутативною або кокомутативною, то вона є інволютивною.

Якщо біалгебра Шаблон:Mvar допускає антипод Шаблон:Mvar, то Шаблон:Mvar є єдиним (довільна біалгебра допускає щонайбільше 1 структуру алгебри Гопфа).

Антипод є аналогом відображення інверсії на групі, яке відображає $g$ у $g^{-1}$.

Підалгебри Гопфа

Підалгебра Шаблон:Mvar алгебри Гопфа Шаблон:Mvar є підалгеброю Гопфа, якщо вона є підкоалгеброю Шаблон:Mvar і антипод Шаблон:Mvar відображає Шаблон:Mvar в Шаблон:Mvar. Іншими словами, підалгебра Гопфа Шаблон:Mvar - це підпростір в алгебрі Гопфа, замкнутий щодо множення, кодобутку й антипода. Теорема Ніколса — Зеллер (Nichols - Zoeller) про вільність стверджує, що якщо Шаблон:Mvar є скінченновимірною, то натуральний [[модуль над кільцем|Шаблон:Mvar-модуль]] Шаблон:Mvar є вільним модулем скінченного рангу, що дає узагальнення теореми Лагранжа для підгруп. Як наслідок цього, підалгебра Гопфа напівпростої скінченновимірної алгебри Гопфа автоматично є напівпростою.

Підалгебра Гопфа Шаблон:Mvar називається правою нормальною підалгеброю алгебри Гопфа Шаблон:Mvar, якщо вона задовольняє умові стабільності, $a{d}_r(h)(A)\subseteq A$ для всіх Шаблон:Mvar з Шаблон:Mvar, де приєднане відображення $a{d}_r$ задане як $a{d}_r(h)(a)=S(h_{(1)})a{h}_{(2)}$ для всіх Шаблон:Mvar з Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar з Шаблон:Mvar. Підалгебра Гопфа Шаблон:Mvar є лівою нормальною в Шаблон:Mvar якщо вона інваріантна при лівому приєднаному відображенню $a{d}_{\ell }(h)(k)=h_{(1)}kS(h_{(2)})$ для всіх Шаблон:Mvar з Шаблон:Mvar. Обидві умови нормальності є еквівалентними, якщо антипод Шаблон:Mvar є бієктивним. У цьому випадку Шаблон:Mvar називається нормальною підалгеброю Гопфа.

Нормальна підалгебра Гопфа Шаблон:Mvar в Шаблон:Mvar задовольняє умові рівності підмножин: $H{A}^{+}=A^{+}H$, де $A^{+}$ позначає ядро коодиниці Шаблон:Mvar. З цієї умови нормальності випливає, що $H{A}^{+}$ — ідеал алгебри Гопфа Шаблон:Mvar (тобто є ідеалом алгебри в ядрі коодиниці, коідеалом коалебри й стійким під дією антипода). Як наслідок, можна визначити факторалгебру Гопфа $H/H{A}^{+}$ і епіморфізм $H\to H/A^{+}H$, аналогічно відповідним конструкціям нормальних підгруп і факторгруп у теорії груп.

Приклади

	Залежить від	Кодобуток	Коодиниця	Антипод	Комутативність	Кокомутативність	Зауваження
Групова алгебра KG	групи G	Δ(g) = g ⊗ g для всіх g з G	ε(g) = 1 для всіх g із G	S(g) = g−1 для всіх g з G	тільки коли G є комутативною	так
функції f зі скінченної групи в K, KG (з поточковим додаванням і множенням)	скінченна група G	Δ(f)(x,y) = f(xy)	ε(f) = f(1G)	S(f)(x) = f(x−1)	так	тільки якщо G є комутативною
Функції представлення компактних груп	Компактна група G	Δ(f)(x,y) = f(xy)	ε(f) = f(1G)	S(f)(x) = f(x−1)	так	тільки якщо G є комутативною	Навпаки, кожна комутативна, інволютивна, редукована алгебра Гопфа над C зі скінченним інтегралом Хаара може бути отримана в такий спосіб (двоїстість Танаки — Крейна).
Регулярні функції на алгебричних групах		Δ(f)(x,y) = f(xy)	ε(f) = f(1G)	S(f)(x) = f(x−1)	так	тільки якщо G є комутативною	Навпаки, кожна комутативна алгебра Гопфа над полем одержується в такий спосіб їхньої групової схеми.
Тензорна алгебра T(V)	Векторний простір V	Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, x з V, Δ(1) = 1 ⊗ 1	ε(x) = 0	S(x) = −x для всіх x з 'T1(V) (і далі узагальнивши на вищі тензорні степені)	Тільки якщо dim(V)=0,1	так	Симетрична алгебра і зовнішня алгебра (що є факторалгебрами тензорної алгебри) теж є алгебрами Гопфа із відповідними означеннями
Універсальна обгортуюча алгебра U(g)	Алгебра Лі g	Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x для всіх x з g (це правило можна в єдиний спосіб продовжити на всю U)	ε(x) = 0 для всіх x з g (із продовженням на U)	S(x) = −x	тільки якщо g є комутативною	так
Алгебра Свідлера H=K[c, x]/c2 = 1, x2 = 0 і xc = −cx.	K — поле характеристика якого не рівна 2	Δ(c) = c ⊗ c, Δ(x) = c ⊗ x + x ⊗ 1, Δ(1) = 1 ⊗ 1	ε(c) = 1 і ε(x) = 0	S(c) = c−1 = c і S(x) = −cx	ні	ні	Векторний простір породжений елементами {1, c, x, cx} і має розмірність 4.Це найменший приклад алгебри Гопфа, що не є ні комутативними, ні кокомутативними.
Кільце симетричних функцій		в термінах повних однорідних симетричних функцій hk (k ≥ 1): Δ(hk) = 1 ⊗ hk + h1 ⊗ hk−1 + ... + hk−1 ⊗ h1 + hk ⊗ 1.	ε(hk) = 0	S(hk) = (−1)k ek	так	так

Когомології груп Лі

Алгебра когомологій групи Лі — алгебра Гопфа: множення задано $⌣$-добутком, а кодобуток

$H^{*}(G)\to H^{*}(G\times G)\cong H^{*}(G)\otimes H^{*}(G)$

множенням групи $G\times G\to G$.

Це спостереження було фактично джерелом поняття алгебри Гопфа. Використовуючи цю структуру, Гопф довів структурну теорему для алгебри когомологій груп Лі.

Теорема Гопфа Нехай Шаблон:Mvar — скінченновимірна, суперкомутативна, кокомутативна алгебра Гопфа над полем характеристики 0. Тоді Шаблон:Mvar (як алгебра) є вільною зовнішньою алгеброю з генераторами непарного степеня.

Квантові групи

Всі приклади вище є або комутативними (тобто множення є комутативним) або кокомутативними (тобто Шаблон:Math, де Шаблон:Math — перестановка тензорних множників, задана як Шаблон:Math. Іншими цікавими прикладами алгебр Гопфа — деякі деформації або «квантування» прикладу 4, які не є ні комутативними, ні кокомутативними. Ці алгебри Гопфа часто називають квантовими групами.

Ідея полягає в наступному: звичайна алгебрична група може бути описана в термінах алгебри Гопфа регулярних функцій. Ми можемо тоді думати про деформації цієї алгебри Гопфа як про опис деякої «квантованої» алгебричної групи (хоча вона і не є алгебричною групою). Багато властивостей алгебричних груп, а також конструкції з ними мають свої аналоги для деформованих алгебр Гопфа. Звідси назва «квантова група».

Аналогія з групами

Аксіоми груп можна подати за допомогою тих же діаграм (еквівалентностей, операцій) що й алгебри Гопфа, де Шаблон:Mvar — множина, а не модуль. У цьому випадку:

• кільце Шаблон:Mvar замінюється множиною з 1 елемента
• є природна коодиниця (відображення в єдиний елемент)
• є природний кодобуток (діагональне відображення)
• одиниця — нейтральний елемент групи
• множення — множення в групі
• антипод — обернений елементу в групі.

В цьому сенсі групи можна розглядати як алгебри Гопфа над полем з одного елемента.

Див. також

• Коалгебра

Література

• Шаблон:Citation.
• Pierre Cartier, A primer of Hopf algebras Шаблон:Webarchive, IHES preprint, September 2006, 81 pages
• Шаблон:Citation
• H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22–52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119–151, Springer, Berlin (1964). Шаблон:MR, Шаблон:Zbl
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation