Симетрична функція

Симетрична функція від n змінних — це функція, значення якої на будь-якому n-кортежі аргументів таке саме, як і значення на будь-якій перестановці цього n-кортежуШаблон:Sfn. Якщо, наприклад $f(𝐱)=f(x_1,x_2,x_3)$, функція може бути симетричною на всіх змінних або парах $(x_1,x_2)$, $(x_2,x_3)$ або $(x_1,x_3)$. Хоча це може стосуватися будь-яких функцій, для яких n аргументів мають одну і ту саму область визначення, найчастіше мають на увазі многочлени, які в цьому разі є симетричними многочленами. Поза многочленами теорія симетричних функцій бідна і мало використовується.

Симетризація

Якщо задано деяку функцію f від n змінних зі значеннями в абелевій групі (тобто в групі з комутативною операцією), симетричну функцію можна побудувати підсумовуванням значень f за всіма перестановками аргументів. Аналогічно, антисиметричну функцію можна побудувати як суму за всіма парними перестановками, від якої віднімається сума за всіма непарними перестановками. Ці операції, звичайно, незворотні і можуть призвести до тотожно рівної нулю функції для нетривіальної функції f. Єдиний випадок, коли f можна відновити, коли відомі симетризація функції і антисиметризація, це коли n = 2 і абелева група допускає ділення на 2 (операція, зворотна подвоєнню). В цьому випадку f дорівнює половині суми симетризації і антисиметризації.

Приклади

• Розглянемо функцію

$f(x_1,x_2,x_3)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$

За визначенням, симетрична функція від n змінних має властивість, що

$f(x_1,x_2,...,x_n)=f(x_2,x_1,...,x_n)=f(x_3,x_1,...,x_n,x_{n-1})$ і т.д.

У загальному випадку функція залишається тією самою за будь-якої перестановки змінних. Це означає, що в нашому випадку

$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=(x-x_2)(x-x_1)(x-x_3)=(x-x_3)(x-x_1)(x-x_2)$

і так далі для всіх перестановок $x_1,x_2,x_3$

• Розглянемо функцію

$f(x,y)=x^2+y^2-r^2$

Якщо переставити місцями x і y, функція набуде вигляду

$f(y,x)=y^2+x^2-r^2$,

що збігається з початковою функцією f(x,y).

• Тепер розглянемо функцію

$f(x,y)=a{x}^2+b{y}^2-r^2$

Якщо переставити x і y місцями, отримаємо

$f(y,x)=a{y}^2+b{x}^2-r^2.$

Ця функція, очевидно, не буде тією самою, що й початкова, якщо Шаблон:Nobr, отже, вона не симетрична.

Додатка

U-статистика

У статистиці статистика на n-вибірці (функція від n змінних), отримана шляхом бутстрепу симетризації статистики на вибірці з k елементів, дає симетричну функцію від n змінних, звану Шаблон:Не перекладено. Приклади включають вибіркове середнє та вибіркову дисперсію.

Див. також

• Симетричний многочлен
• Елементарний симетричний многочлен
• Шаблон:Не перекладено
• Шаблон:Не перекладено

Література

• Шаблон:Не перекладено Symmetric Functions and Orthogonal Polynomials. New Brunswick, New Jersey. University Lecture Series, 12. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998. xvi+53 pp. Шаблон:ISBN Шаблон:MathSciNet
• Шаблон:Не перекладено Symmetric Functions and Hall Polynomials. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. Шаблон:ISBN Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
  — §5.1 Symmetric functions, p. 222–225.
  — §5.7. Symmetric Functions Over Finite Fields, p. 259–270.
• Шаблон:Книга
  — §33. Симметрические функции, с. 121.