Універсальна обгортуюча алгебра

Універсальна обгортуюча алгебра — асоціативна алгебра, яка може бути побудована для будь-якої алгебри Лі, переймає багато важливих властивостей вихідної алгебри, що дозволяє застосувати більш широкі засоби для вивчення вихідної алгебри.

Асоціативна алгебра $A$ над полем $K$ має природну структуру алгебри Лі над $K$ з дужкою Лі: $[a,b]=ab-ba$, тобто, з асоціативного добутку можна одержати дужку Лі за допомогою простого взяття комутатора. Ця алгебру Лі позначається $A_L$. Побудова універсальної обгортуючої алгебри намагається обернути цей процес: для даної алгебри Лі $𝔤$ над $K$ знаходять «найбільш загальну» асоціативну $K$-алгебру $U(𝔤)$ таку, що алгебра Лі $U_L$ містить $𝔤$.

Мотивація

Важливим розділом у вивченні алгебри Лі є представлення алгебри Лі. Представлення $\rho$ зіставляє кожному елементу x алгебри Лі лінійний оператор $\rho (x)$. Для даних лінійних операторів можна розглядати не тільки дужки Лі але також і добутки $\rho (x)\rho (y)$. Суть введення універсальної обгортуючої алгебри у вивченні таких добутків для різних представленнях алгебри Лі. Відразу бачиться одна перешкода в наївній спробі зробити це: властивості добутків докорінно залежать від обраного представлення, а не тільки від самої алгебри Лі. Наприклад, для одного представлення можна отримати $\rho (x)\rho (y)=0$, тоді як для іншого цей добуток може бути ненульовим. Проте певні властивості є універсальними для всіх представлень, тобто справедливими для всіх представлень одночасно. Універсальна обгортуюча алгебра — спосіб охопити всі такі властивості і тільки їх.

Пряма побудова

Побудова універсальної обгортуючої алгебри починається із тензорної алгебри $T(𝔤)$ на векторному просторі алгебри $𝔤$

$T(𝔤)=K\oplus 𝔤\oplus (𝔤\otimes 𝔤)\oplus (𝔤\otimes 𝔤\otimes 𝔤)\oplus \cdots$

Універсальна обгортуюча алгебра $U(𝔤)$ одержується як фактор-простір $T(𝔤)$ за співвідношеннями:

$a\otimes b-b\otimes a=[a,b]$

для всіх $a$ і $b$ в $𝔤$, де дужки в правій частині виразу позначають комутатор в $𝔤$.

Формально:

$U(𝔤)=T(𝔤)/I$

де $I$ — двосторонній ідеал $T(𝔤)$, породжений елементами виду

$a\otimes b-b\otimes a-[a,b],a,b\in 𝔤.$

Природне відображення $𝔤\to T(𝔤)$ зводиться до відображення $h:𝔤\to U_L$.

Універсальна властивість

Нехай $𝔤$ — довільна алгебра Лі над полем $K$. Алгебри $U$ задовольняє універсальній властивості: для будь-якої асоціативної алгебри $A$ з одиницею і гомоморфізму алгебр Лі

$f:𝔤\to A_L$

існує єдиний гомоморфізм асоціативних алгебр з одиницею

$g:U\to A$

такий, що

$f=gh.$

Цю універсальну властивість також можна розуміти так: функтор, що відображає $𝔤$ в її універсальну обгортуючу алгебру є спряженим зліва до функтора, що відображає асоціативну алгебру $A$ у відповідну алгебру Лі $A_L$.

З універсальної властивості можна довести, що якщо алгебра Лі має універсальну обгортуючу алгебру, то ця обгортуюча алгебра єдиним чином визначається алгеброю $𝔤$ (з точністю до ізоморфізму).

Приклади

• Якщо $𝔤$ є абелевою (тобто, комутатор завжди рівний 0), то $U(𝔤)$ є коммутативною; якщо обраний базис векторного простору $𝔤$, то $U(𝔤)$ може розглядатися як алгебра многочленів над $K$, з однією змінною для кожного базисного елемента.

• Якщо $𝔤$ — алгебра Лі групи Лі $G$, $U(𝔤)$ може розглядатися як алгебра лівоінваріантних диференціальних операторів (всіх порядків) на $G$, що містить $𝔤$ як диференціальних операторів першого порядку (які знаходяться під взаємній відповідності з лівоінваріантними векторними полями на $G$).

• Центр алгебри $U(𝔤)$ позначається через $Z(𝔤)$ і складається з диференціальних операторів, які є інваріантними як щодо лівої дії групи, так і щодо правої; в разі некомутативності $G$ центр часто вже не породжується операторами першого порядку (наприклад, оператор Казиміра ніпівпростої алгебри Лі).

• Також $U(𝔤)$ можна охарактеризувати як алгебру узагальнених функцій з носієм на одиничному елементі $e$ групи $G$ з операцією згортки.

• Алгебра Вейля диференціальних операторів від $n$ змінних з поліноміальними коефіцієнтами може бути отримана, починаючи з алгебри Лі групи Гейзенберга. Для цього необхідно профакторизувати її так, щоб центральні елементи даної алгебри Лі діяли як скаляри.

Властивості

• Фундаментальна теорема Пуанкаре — Біркгофа — Вітта дає точний опис $U(𝔤)$; найбільш важливий наслідок з неї - це те, що $𝔤$ може розглядатися як лінійний підпростір $U(𝔤)$. Більш точно: канонічне відображення $h:𝔤\to U(𝔤)$ завжди є ін'єктивним. Окрім того, $U(𝔤)$ породжується $𝔤$ як асоціативна алгебра з одиницею.

• $𝔤$ діє на собі за допомогою приєднаного представлення алгебри Лі, і ця дія може бути розширено на представлення $𝔤$ в ендоморфізми $U(𝔤)$: $𝔤$ діє як алгебра похідних на $T(𝔤)$, і ця дія зберігає накладені співвідношення, тому вона фактично діє на $U(𝔤)$.

• При такому представленні, елементи $U(𝔤)$, що є інваріантними при дії $𝔤$ (тобто дія на них будь-якого елемента $𝔤$ є тривіальною), називаються інваріантними елементами. Вони породжуються інваріантами Казимира.

• Конструкція універсальної обгортуючої алгебри є частиною пари спряжених функторів. $U$ — функтор з категорії алгебр Лі над $K$ у категорію асоціативних $K$-алгебр з одиницею. Цей функтор є спряженим зліва до функтора, що відображає алгебру $A$ в алгебру $A_L$. Проте конструкція універсальної обгортуючої алгебри не є точно оберненою до формування $A_L$: якщо почати з асоціативної алгебри $A$, то $U(A_L)$ не є рівною $A$, а є значно більшою.

• Абелева категорія всіх представлень $𝔤$ є ізоморфною абелевій категорії всіх лівих модулів над $U(𝔤)$.

• Побудова групової алгебри деякої групи багато в чому є аналогічною побудові універсальної обгортуючої алгебри для заданої алгебри Лі. Обидві побудови є універсальними і переносять теорію представлень в теорію модулів. Більш того, як групові алгебри, так і універсальні обгортуючі алгебри мають природну структуру комноження, які перетворюють їх в алгебру Гопфа.

Див. також

• Представлення алгебри Лі

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation