Компактна група Лі

Компактна група Лі — скінченновимірна група Лі, що є компактним топологічним простором. Цей тип груп Лі має велике значення оскільки багато з найважливіших у теорії і застосуваннях прикладів груп Лі є компактними, а також зважаючи на багато властивостей і їх класифікацію, яка прямо пов'язана з класифікацією напівпростих комплексних алгебр Лі.

Приклади

Наступні приклади зв'язаних компактних груп Лі відіграють важливу роль в загальній структурній теорії компактних груп Лі, а також мають численні застосування у різних розділах математики і інших наук:

1. Мультиплікативна група $T^1$ всіх комплексних чисел, рівних по модулю 1.
2. Група $\mathrm{SU}(n)$ всіх комплексних унітарних матриць порядку n з визначником рівним 1 (спеціальна унітарна група).
3. Група $\mathrm{SO}(n)$ всіх дійсних ортогональних матриць порядку n з визначником рівним 1 (спеціальна ортогональна група).
4. Спінорна група $\mathrm{Spin}(n)$. Дана група є універсальним накриттям групи $\mathrm{SO}(n).$
5. Група $\mathrm{Sp}(n)$ всіх матриць $X\in \mathrm{SU}(2n)$, що також є симплектичними матрицями, тобто для них виконується рівність $X\mathrm{\Omega }{X}^T=\mathrm{\Omega }$ де матриця $\mathrm{\Omega }$ є блоковою матрицею виду

$\mathrm{\Omega }=\left[\begin{array}{cc}0& I_n\\ -I_n& 0\end{array}\right]$

і Т — знак транспонування, а $I_n$ — одинична матриця порядку n. Група $\mathrm{Sp}(n)$ називається симплектичною групою.

Властивості

• На довільній компактній топологічній групі, що також є топологічним многовидом можна ввести структуру групи Лі.
• Кількість компонент зв'язності є скінченною.
• Якщо компактна група Лі є зв'язаною, то експонента є сюр'єктивним відображенням. Для довільних компактних груп Лі образом експоненти є компонента зв'язності одиничного елемента.
• Для довільного лінійного представлення $(\pi ,V)$ групи $G$ на скінченновимірному просторі $V$ можна обрати такий скалярний добуток, що всі лінійні перетворення $\pi (V)$ будуть унітарними (ортогональними для дійсних векторних полів).
• Алгебра Лі компактної групи може бути записана у виді прямої суми $𝔤=𝔷\oplus [𝔤,𝔤]$ де $𝔷$ — центр алгебри, і форма Кіллінга є від'ємноозначеною на підалгебрі $[𝔤,𝔤].$

Класифікація дійсних компактних груп Лі

Якщо $G_0$ — компонента зв'язності одиничного елемента компактної групи Лі $G$, то група компонент зв'язності $G/G_0$ є скінченною. Тобто $G$ є скінченним розширенням зв'язаної групи

$1\to G_0\to G\to {\pi }_0(G)\to 1.$

Таким чином задача класифікації компактних груп Лі зводиться до класифікації зв'язаних компактних груп Лі. Ця класифікація була здійснена у працях Елі Картана і Германа Вейля.

Усі зв'язані комутативні компактні групи Лі є торами тобто групами виду

$T^n=T^1\times T^1\times \dots \times T^1,$

де в правій стороні є n множників.

Серед некомутативних компактних груп Лі особливе значення мають зв'язані напівпрості компактні групи Лі, тобто групи, що не мають нетривіальних нормальних абелевих підгруп або, еквівалентно алгебри Лі яких є напівпростими.

Якщо $G$ — зв'язана напівпроста компактна група Лі, то універсальне накриття $\overline{G}$ групи $G$ також є компактною групою Лі (теорема Вейля). Центр $Z$ групи $\overline{G}$ є скінченною множиною, а всі зв'язані групи Лі, що є локально ізоморфними групі $G$, є компактними і з точністю до ізоморфізму є групами виду $\overline{G}/D$, де $D\subset Z.$

Довільні зв'язані компактні групи Лі з точністю до ізоморфізму є факторгрупами виду:

$(K\times T)/D$

де $K$ — зв'язана однозв'язна напівпроста компактна група Лі з центром $Z$, $T$ — тор, a $D$ — скінченна підгрупа в групі $Z\times T$ що перетинається з $T$ лише по одиниці.

Таким чином, класифікація зв'язаних компактних груп Лі зводиться до класифікації зв'язаних однозв'язних напівпростих компактних груп Лі (або, що те ж, напівпростих компактних алгебр Лі) і опису їх центрів.

Напівпрості компактні алгебри Лі знаходяться у взаємно однозначній відповідності з напівпростими комплексними алгебрами Лі (і тим самим з їх системами коренів). А саме, якщо $𝔤$ — напівпроста компактна алгебра Лі, то її комплексифікація є напівпростою комплексною алгеброю Лі. Навпаки, для будь-якої напівпростої алгебри Лі над існує, і притому єдина з точністю до спряженості, компактна дійсна форма.

Остаточний результат класифікації простих компактних алгебр Лі та відповідних їм зв'язаних однозв'язних компактних груп Лі такий.

Є 4 нескінченних серії так званих класичних простих компактних алгебр Лі, які відповідають таким серіям незвідних наведених коренів:

$A_n,n⩾1;B_n,n⩾2;C_n,n⩾3;D_n,n⩾4.$

Ці алгебри Лі є алгебрами Лі відповідно компактних груп $\mathrm{SU}(n+1),$ $\mathrm{Spin}(2n+1),$ $\mathrm{Sp}(n),$ $\mathrm{Spin}(2n).$

Крім них є ще лише п'ять так званих виняткових простих компактних алгебр Лі, що відповідають системам коренів типів $G_2$, $F_4$, $E_6$, $E_7$ і $E_8$. Будь-яка компактна проста алгебра Лі є ізоморфна одній з цих алгебр Лі, а самі вони є попарно неізоморфними одна одній.

Відповідно описані прості компактні групи Лі є усіма простими компактними однозв'язними групами Лі, а в попередній формулі $(K\times T)/D$ група $K$ є добутком скінченної кількості таких груп. Це завершує класифікацію

Комплексні компактні групи Лі

Будь-яка компактна група Лі є дійсною аналітичною групою. Комплексні компактні аналітичні групи називаються також комплексними компактними групами Лі. Всяка зв'язана комплексна компактна група Лі (як комплексна група Лі) ізоморфна комплексному тору $ℂ/\mathrm{\Gamma }$ де $\mathrm{\Gamma }$ — дискретна підгрупа рангу 2n в і (як дійсна група Лі) ізоморфна $T^{2n}$. Два комплексних тора ${\mathrm{\Gamma }}_1,{\mathrm{\Gamma }}_2$ є ізоморфними (як комплексні групи Лі) тоді і тільки тоді, коли ${\mathrm{\Gamma }}_2=g({\mathrm{\Gamma }}_1)$ для деякого $g\in {\mathrm{GL}}_n(ℂ).$

Література

• Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation