Експонента (теорія груп Лі)

У теорії груп Лі експонентою називається відображення з алгебри Лі $𝔤$ групи $G,$ що приймає значення в самій групі. Експонента є одним з найголовніших інструментів вивчення груп і алгебр Лі і зв'язків між ними.

Звичайна експонента дійсних чисел чи експонента матриці є прикладами загальної експоненти для відповідних груп і алгебр Лі.

Визначення

Нехай $G$ — група Лі, а $𝔤$ — відповідна алгебра Лі. Алгебру Лі можна інтерпретувати, як дотичний простір в одиниці групи, тобто $T_{e}G$ або як простір лівоінваріантних векторних полів на групі $G.$ Таке лівоінваріантне векторне поле значення якого на одиничному елементі рівне $X$ позначається $v_X.$

Оскільки група Лі є гладким многовидом для векторного поля $v_X$ в околі одиничного елемента існує інтегральна крива ${\gamma }_X(t)$ така що ${\gamma }_X(0)=e.$ Неважко довести, що для груп Лі дана інтегральна крива визначена для всіх дійсних чисел і ${\gamma }_X(s+t)={\gamma }_X(s){\gamma }_X(t).$

Тому можна визначити відображення $\exp :𝔤\to G$ визначене як:

$\exp (X)={\gamma }_X(1).$

Це відображення і називається експоненційним відображенням або експонентою.

Приклади

• Позначивши ${ℝ}_{+}$ — множину додатних дійсних чисел з операцією множення отримаємо групу Лі алгебра Лі якої ізоморфна множині дійсних чисел. Експонента в цьому випадку рівна звичайній експоненті дійсних чисел.
• Нехай $GL(n,ℝ)$ — множина невироджених дійсних матриць розмірності n. Разом з операцією множення матриць ця множина є групою Лі алгебра Лі якої рівна $M(n,ℝ)$ — множина квадратних матриць розмірності n. Експонентою в цьому випадку буде експонента матриць.
• Нехай V — скінченновимірний дійсний лінійний простір, який з операцією додавання векторів є групою Лі. Тоді $\mathrm{Lie}(V)=V$ через ідентифікацію простору V з його дотичним простором у точці 0. При такій ідентифікації експонента

$\exp :\mathrm{Lie}(V)=V\to V$

є тотожним відображенням.

Властивості

• Якщо $t,s\in ℝ,$ то $\exp tX={\gamma }_{tX}(1)={\gamma }_X(t)$ звідки з властивостей цих кривих $\exp (t+s)X=(\exp tX)(\exp sX).$
• Як наслідок з попереднього $\exp (-X)=(\exp X{)}^{-1}.$
• Експоненційне відображення $\exp :𝔤\to G$ є гладким відображенням. Його диференціал у нулі, ${\exp }_{*}:𝔤\to 𝔤$, є тотожним лінійним відображенням. Відповідно експонента є дифеоморфізмом між деяким околом 0 в $𝔤$ і деяким околом одиничного елемента в групі $G$.
• Загалом проте експонента не є локальним дифеоморфізмом в кожній своїй точці, прикладом може бути відображення з so(3) в SO(3).
• $\exp tX$ є однопараметричною підгрупою в $G,$ тобто гладким гомоморфізмом х групи $ℝ$ з операцією додавання в групу $G.$ Більш того всі однопараметричні підгрупи в $G$ мають вигляд $\exp tX$ для деякого $X\in 𝔤.$
• Нехай $\varphi :G\to H$ — гомоморфізм груп Лі і ${\varphi }_{*}$ його диференціал в одиниці. Тоді наступна діаграма є комутуючою:

• Застосовуючи попередню властивість до приєднаних представлень групи $G$ отримуємо властивості:
  • $g(\exp X)g^{-1}=\exp ({\mathrm{A}\mathrm{d}}_{g}X)$
  • ${\mathrm{A}\mathrm{d}}_{\exp X}=\exp ({\mathrm{a}\mathrm{d}}_X).$
• Нехай елементи $X,Y\in 𝔤$ комутують, тобто $[X,Y]=0,$ тоді елементи $\exp X,\exp Y$ комутують, як елементи групи $G$ щодо операції множення в групі й крім того $\exp (X+Y)=\exp X\exp Y.$
• Позначивши $G_e$ — зв'язану компоненту групи $G,$ що містить одиничний елемент ($G_e$ є підгрупою в $G$) то множина $\exp X,X\in 𝔤$ є породжуючою для $G_e,$ тобто довільний елемент $g\in G_e$ можна записати як $\exp X_1\cdot \exp X_2\cdot \dots \cdot \exp X_n,$ де $X_1,\dots ,X_n\in 𝔤.$ Зокрема група Лі є зв'язаною тоді й лише тоді коли всі її елементи можна записати в такому виді.
• Якщо група $G$ є компактною або нільпотентною то експоненційне відображення є сюрєкцією на $G_e,$ тобто довільний елемент $g\in G_e$ рівний $\exp X$ для деякого $X\in 𝔤.$ Це ж твердження справедливе і у випадку групи $GL(n,ℝ).$
• Образ експоненційного відображення у зв'язаній але не компактній чи нільпотентній групі $SL(2,ℝ)$ не рівний усій групі. Образом може бути $ℂ$-діагоналізовна матриця з власними значеннями рівними додатнім дійсним числам чи недійсним числам з модулем 1, недіагоналізовні матриці обидва власні значення яких рівні 1 і матриця $-I$. Зокрема матриці з дійсними від'ємними власними значеннями за винятком $-I$ не належать образу.

Див. також

• Приєднане представлення групи Лі
• Експонента матриці
• Експоненційне відображення

Посилання

• E.P. van den Ban Lecture Notes on Lie groups Шаблон:Webarchive

Джерела

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.