Форма Кіллінга

Форма Кіллінга — симетрична білінійна форма на алгебрі Лі певного типу.

Визначення

Нехай $𝔤$ — скінченновимірна алгебра Лі над полем $K$. Кожен елемент $x$ з $𝔤$ визначає ендоморфізм ${\mathrm{a}\mathrm{d}}_x:𝔤\to 𝔤$

${\mathrm{a}\mathrm{d}}_x:z\mapsto [x,z],$

де $[*,*]$ — дужка Лі. Тоді слід композиції таких ендоморфізмів визначає симетричну білінійну форму

$B(x,y)=\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}({\mathrm{a}\mathrm{d}}_x\circ {\mathrm{a}\mathrm{d}}_y)$

зі значеннями в полі $K$. Ця форма $B$ називається формою Кіллінга на $𝔤$.

Властивості

• Форма Кіллінга є білінійною і симетричною.

Білінійність випливає з того, що $[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$ і, відповідно ${\mathrm{a}\mathrm{d}}_{x+y}={\mathrm{a}\mathrm{d}}_x+{\mathrm{a}\mathrm{d}}_y$, а також з того що $\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}((A+B)\circ C)=\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(A\circ C)+\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(B\circ C)$ і $\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(A\circ (B+C))=\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(A\circ B)+\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(A\circ C),$ для довільних ендоморфізмів A, B, C.

Симетричність випливає з того, що $\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(A\circ B)=\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(B\circ A)$ для довільних ендоморфізмів A, B.

• Форма Кіллінга є інваріантною формою, тобто

  $B([x,y],z)=B(x,[y,z]),$

Де $[*,*]$ — дужка Лі.

З визначень і рівності Якобі одержується рівність ${\mathrm{a}\mathrm{d}}_{[x,y]}(z)=[[x,y],z]=[x,[y,z]]-[y,[x,z]]={\mathrm{a}\mathrm{d}}_x\circ {\mathrm{a}\mathrm{d}}_y(z)-{\mathrm{a}\mathrm{d}}_y\circ {\mathrm{a}\mathrm{d}}_x(z)$

Звідси $B([x,y],z)=\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}({\mathrm{a}\mathrm{d}}_x\circ {\mathrm{a}\mathrm{d}}_y\circ {\mathrm{a}\mathrm{d}}_z)-\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}({\mathrm{a}\mathrm{d}}_y\circ {\mathrm{a}\mathrm{d}}_x\circ {\mathrm{a}\mathrm{d}}_z)=\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}({\mathrm{a}\mathrm{d}}_x\circ {\mathrm{a}\mathrm{d}}_y\circ {\mathrm{a}\mathrm{d}}_z)-\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}({\mathrm{a}\mathrm{d}}_x\circ {\mathrm{a}\mathrm{d}}_z\circ {\mathrm{a}\mathrm{d}}_y)=B(x,[y,z]).$

• Якщо $𝔤$ є простою алгеброю Лі, то будь-яка інваріантна симетрична білінійна форма на $𝔤$ пропорційна формі Кіллінга.
• Форма Кіллінга також є інваріантною щодо автоморфізмів алгебри Лі, тобто

  $B(\varphi (x),\varphi (y))=B(x,y)$

Де $\varphi \in Aut(𝔤)$.

* Зокрема, лівоінваріантне поле форм на відповідній групі Лі, що збігається з $B$ в одиниці, є також правоінваріантним, і відповідно біінваріантним.

З визначення автоморфізмів алгебр Лі $\varphi \circ {\mathrm{a}\mathrm{d}}_x={\mathrm{a}\mathrm{d}}_{\varphi (x)}\circ \varphi$ і відповідно ${\mathrm{a}\mathrm{d}}_{\varphi (x)}=\varphi \circ {\mathrm{a}\mathrm{d}}_x\circ {\varphi }^{-1}.$ З інваріантності сліду для подібних ендоморфізмів одержується інваріантність форми Кіллінга.

• Згідно критерію Картана, алгебра Лі є напівпростою тоді і тільки тоді, коли її форма Кіллінга є невиродженою.
• Форма Кіллінга нільпотентної алгебри є тотожним нулем. Більш загально через форму Кілліна також можна дати означення розв'язної алгебри Лі.
• Якщо $I$ і $J$ — два ідеали в алгебрі Лі $𝔤$ з нульовим перетином, тоді $I$ і $J$ утворюють ортогональні підпростори по відношенню до форми Кіллінга.
• Ортогональне доповнення щодо ідеалу по відношенню до форми Кіллінга також є ідеалом.
• Якщо алгебра Лі є прямою сумою своїх ідеалів, то її форма Кіллінга є прямою сумою форм Кіллінга на окремих доданків.

Див. також

• Оператор Казиміра