Теорема Тейлора

Файл:Taylorspolynomial.svg

Експоненціальна функція y = e^x (суцільна червона лінія) та відповідний многочлен Тейлора четвертого порядку (штрих-пунктирна зелена лінія) поблизу початку координат

Ця стаття про многочлени Тейлора диференційовних функцій. Про ряди Тейлора аналітичних функцій див. відповідну статтю.

Теорема Тейлора дає наближення до функції, що диференціюється k раз, поблизу даної точки за допомогою многочлена Тейлора k-го порядку. Для аналітичних функцій многочлен Тейлора в даній точці є кінцевою послідовністю їх неповного ряду Тейлора, який, у свою чергу, повністю визначає функцію в деякому околі точки. Точний зміст теореми Тейлора до теперішнього часу не узгоджено. Звичайно, існує кілька версій теореми, що застосовуються в різних ситуаціях, і деякі з цих версій містять оцінки помилки, що виникає при наближенні функції за допомогою многочлена Тейлора.

Ця теорема названа на честь математика Брука Тейлора, який сформулював одну з її версій в 1712 році. Явний вираз для помилки наближення було дано набагато пізніше Жозефом Лагранжем. Раніше, в 1671 році, Джеймсом Грегорі вже було згадано наслідок з теореми.

Теорема Тейлора дозволяє опанувати прийомами обчислень початкового рівня, і вона є одним з центральних елементарних інструментів у математичному аналізі. При вивченні математики вона є початковою точкою для вивчення асимптотичного аналізу. Теорема також використовується в математичній фізиці. Вона також узагальнює аналіз функцій декількох змінних і векторні функції Шаблон:Nowrap для будь-яких вимірів n і m. Це узагальнення теореми Тейлора є базовим для визначення так званих струменів, які з'являються в диференціальній геометрії й в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Передумови для введення теореми

Графік Шаблон:Nowrap (блакитного кольору) з його лінійним наближенням Шаблон:Nowrap (червоного кольору) в точці a = 0.

Якщо дійснозначна функція f(х) є диференційованою в точці a, то вона має лінійне наближення в точці a. Це означає, що існує функція h₁ така, що

$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+h_1(x)(x-a),\underset{x\to a}{\lim }{h}_1(x)=0.$

Тут

$P_1(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$

це лінійне наближення функції f в точці a. Графік функції Шаблон:Nowrap є дотичною до графіку функції f в точці Шаблон:Nowrap. Помилка наближення є такою

$R_1(x)=f(x)-P_1(x)=h_1(x)(x-a).$

Помітимо, що помилка наближається до нуля трохи скоріше, ніж різниця Шаблон:Nowrap наближається до нуля відповідно до того як x прагне до a.

Графік Шаблон:Nowrap (блакитного кольору) з квадратичним наближенням Шаблон:Nowrap (червоного кольору) в точці a = 0. Помітні значні поліпшення наближення.

Якщо ми шукаємо краще наближення f, ми можемо використовувати многочлен другого ступеня замість лінійної функції. Замість знаходження похідної від f в точці a, ми можемо знайти дві похідні, отримавши таким чином многочлен, який так само як і f зростає (або убуває), і так само як і f має опуклість (або увігнутість) в точці a. Многочлен другого ступеня (квадратний многочлен) в цьому випадку буде виглядати наступним чином:

$P_2(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2}(x-a{)}^2.$

Теорема Тейлора дозволяє переконатися, що квадратичне наближення, в досить малому околі точки a, є кращим наближенням, ніж лінійне. Зокрема,

$f(x)=P_2(x)+h_2(x)(x-a{)}^2,\underset{x\to a}{\lim }{h}_2(x)=0.$

Тут помилка наближення така

$R_2(x)=f(x)-P_2(x)=h_2(x)(x-a{)}^2$

що, за умови обмеженості h₂, наближається до нуля швидше, ніж наближається до нуля Шаблон:Nowrap відповідно до того як x прагне до a.

Наближення функції f(x) = 1/(1 + x²) за допомогою многочленів P_k порядку k = 1, …, 16 відносно точки x = 0 (червоний) та точки x = 1 (салатовий колір). Наближення взагалі не поліпшується за межами (-1,1) і (1-√2,1+√2) відповідно.

Таким чином, якщо використовувати многочлени все вищого ступеня, то будуть отримані все кращі наближення до f. Загалом, помилка в наближенні функції за допомогою поліномів порядку k буде наближатися до нуля трохи швидше, ніж наближається до нуля Шаблон:Nowrap відповідно до того як x прагне до a.

Цей наслідок має асимптотичну природу: він лише повідомляє, що помилка R_k наближення за допомогою многочленів Тейлора k-го порядку P_k наближається до нуля швидше, ніж ненульовий многочлен k-го порядку відповідно до того як x → a. Він не повідомляє, наскільки великою є помилка в будь-якому околі центру наближення, але для цього існує формула для залишку (наведена нижче).

Найбільш повні версії теореми Тейлора, як правило, призводять до рівномірних оцінок помилки наближення в малому околі центра наближення, але ці оцінки не є адекватними для околів, які занадто великі, навіть якщо функція f є аналітичною. У цій ситуації слід вибирати кілька многочленів Тейлора з різними центрами наближення, щоб мати надійне Тейлорове наближення до вихідної функції (див. анімований малюнок вище). Можлива також ситуація, коли зростання порядку многочлена не збільшує якість наближення взагалі, навіть якщо функція f диференціюється нескінченну кількість разів. Такий приклад наведено нижче.

Теорема Тейлора для функцій від однієї дійсної змінної

Формулювання теореми

Точне формулювання більшості базових версій теореми наступне.

Многочлен, що виникає в теоремі Тейлора, є многочленом Тейлора k-го порядку

$P_k(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k$

функції f в точці a.

Теорема Тейлора описує асимптотичну поведінку залишкового члену

$R_k(x)=f(x)-P_k(x),$

який є помилкою при знаходженні наближення функції f за допомогою многочленів Тейлора. Використовуючи «O» велике та «o» маленьке, теорему Тейлора можна сформулювати так

$R_k(x)=o(|x-a{|}^k),x\to a.$

Формули для залишку

Існує декілька точних формул для залишкового члена R_k многочлена Тейлора, найбільш загальна з яких наступна.

Ці уточнення теореми Тейлора зазвичай виводяться за допомогою формули про скінченні прирости.

Можна також знайти й інші вирази для залишку. Наприклад, якщо G(t) є неперервною на закритому інтервалі та диференційовною з похідною, що не прагне до нуля на відкритому інтервалі між a і x, то

$R_k(x)=\frac{f^{(k+1)}(\xi )}{k!}(x-\xi {)}^k\frac{G(x)-G(a)}{G^{\prime }(\xi )}$

для деякого числа ξ між a і x. Ця версія охоплює форми Лагранжа та Коші як окремі випадки, і виводиться за допомогою теореми Коші про среднє значення (розширеної версії теореми Лагранжа про среднє значення).

Запис формули для залишку в інтегральної формі є більш загальним, ніж попередні формули, і вимагає розуміння інтегральної теорії Лебега. Однак вона зберігається також для інтегралу Рімана за умови, що похідна порядку (k+1) від f є неперервною на закритому інтервалі [a,x].

Внаслідок абсолютної неперервності f^(k) на закритому інтервалі між a і x, її похідна f^(k+1) існує як L¹-функція, і цей наслідок може бути отриманий за допомогою формальних обчислень з використанням теореми Ньютона — Лейбніца та інтегрування частинами.

Оцінки залишку

На практиці часто буває корисно чисельно оцінити величину залишкового члена наближення Тейлора.

Будемо вважати, що f — (k+1)-раз неперервно диференційовна на інтервалі I, що містить a. Будемо вважати, що існує дійсні постійні числа q і Q такі, що

$q⩽f^{(k+1)}(x)⩽Q$

на всьому протязі I. Тоді залишковий член задовольняє нерівності

$q\frac{(x-a{)}^{k+1}}{(k+1)!}⩽R_k(x)⩽Q\frac{(x-a{)}^{k+1}}{(k+1)!},$

якщо Шаблон:Nowrap, і подібна оцінка, якщо Шаблон:Nowrap. Це простий наслідок з формули залишку в формі Лагранжа. Зокрема, якщо

$|f^{(k+1)}(x)|⩽M$

на інтервалі Шаблон:Nowrap з деяким r>0, то

$|R_k(x)|⩽M\frac{|x-a{|}^{k+1}}{(k+1)!}⩽M\frac{r^{k+1}}{(k+1)!}$

для всіх Шаблон:Nowrap Друга нерівність називається рівномірною оцінкою, тому що вона зберігає рівномірність для всіх x на інтервалі Шаблон:Nowrap

Приклад

Наближення e^x (блакитний) за допомогою многочленів Тейлора P_k порядку k=1,…,7 з центром в точці x=0 (червоний).

Припустимо, ми хочемо знайти наближення функції Шаблон:Nowrap на інтервалі Шаблон:Nowrap й переконатися, що помилка не перевищує значення 10⁻⁵. У цьому прикладі вважаємо, що нам відомі такі властивості експоненційної функції:

$(*)e^0=1,\frac{d}{dx}{e}^x=e^x,e^x>0,x\in ℝ.$

З цих властивостей випливає, що Шаблон:Nowrap для всіх k, і зокрема, Шаблон:Nowrap. Звідси випливає, що многочлен Тейлора k-го порядку функції f в точці 0 та його залишковий член у формі Лагранжа записується за допомогою формули

$P_k(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^k}{k!},R_k(x)=\frac{e^{\xi }}{(k+1)!}{x}^{k+1},$

де ξ — це деяке число між 0 і x. Оскільки e^x зростає згідно (*), ми можемо використовувати e^x ≤ 1 для x ∈ [−1, 0], щоб оцінити залишок на підінтервалі [−1, 0]. Для знаходження верхньої межі значення залишку на інтервалі [0,1], можемо використовувати властивість Шаблон:Nowrap для 0<ξ<x, щоб оцінити

$e^x=1+x+\frac{e^{\xi }}{2}{x}^2<1+x+\frac{e^x}{2}{x}^2,0<x⩽1$

використовуючи многочлен Тейлора другого порядку. Висловлюючи з цієї нерівності e^x, приходимо до висновку, що

$e^x⩽\frac{1+x}{1-\frac{x^2}{2}}=2\frac{1+x}{2-x^2}⩽4,0⩽x⩽1$

прийнявши, що чисельник приймає максимальне з усіх своїх можливих значень, а знаменник приймає мінімальне з усіх своїх можливих значень. Використовуючи ці оцінки значень e^x, ми бачимо, що

$|R_k(x)|⩽\frac{4|x{|}^{k+1}}{(k+1)!}⩽\frac{4}{(k+1)!},-1⩽x⩽1,$

і необхідна точність досягається в тому випадку, коли

$\frac{4}{(k+1)!}<10^{-5}\iff 4\cdot 10^5<(k+1)!\iff k\ge 7.$

(де факторіал 7!=5 040 и 8!=40 320.) Зрештою, теорема Тейлора призводить до наближення

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots +\frac{x^7}{7!}+R_7(x),|R_7(x)|<10^{-5},-1⩽x⩽1.$

Відзначимо, що це наближення дозволяє обчислити значення e≈2.71828 з точністю до п'ятого знака після коми.

Аналітичність

Розкладання Тейлора для дійсних аналітичних функцій

Нехай I⊂R — відкритий інтервал. За означенням, функція f:I→R — дійсна аналітична, якщо вона на даній ділянці визначена збіжністю степеневого ряду. Це означає, що для кожного a ∈ I існує деяке r > 0 і послідовність коефіцієнтів c_k ∈ R така, що Шаблон:Nowrap і

$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k(x-a{)}^k=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a{)}^2+\cdots ,|x-a|<r.$

Загалом, радіус збіжності степеневого ряду може бути обчислено за формулою Коші–Адамара

$\frac{1}{R}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|c_k{|}^{\frac{1}{k}}.$

Цей результат базується на порівнянні з нескінченно спадною геометричною прогресією, і той же самий метод показує, що якщо степеневий ряд, розкладений по a, збігається для деякого b∈R, він повинен збігатися рівномірно на закритому інтервалі Шаблон:Nowrap, де r_b = |b − a|. Тут ми тільки розглянули збіжність степеневого ряду, і не виключено, що область Шаблон:Nowrap розширюється за межі області визначення I функції f.

Многочлен Тейлора від дійсної аналітичної функції f в точці a

$P_k(x)=\sum _{j=0}^k{c}_j(x-a{)}^j,c_j=\frac{f^{(j)}(a)}{j!}$

це просте усіканням визначеного на деякому інтервалі відповідного степеневого ряду цієї функції, і залишковий член на даному інтервалі подається як аналітична функція

$R_k(x)=\sum _{j=k+1}^{\mathrm{\infty }}{c}_j(x-a{)}^j=(x-a{)}^k{h}_k(x),|x-a|<r.$

Тут функція

$h_k:(a-r,a+r)\to ℝ;h_k(x)=(x-a)\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_{k+1+j}(x-a{)}^j$

також є аналітичною, оскільки її степеневий ряд має той же радіус збіжності, що й вихідний ряд. За умови, що Шаблон:Nowrap ⊂ I і r < R, всі ці ряди збігаються рівномірно на інтервалі Шаблон:Nowrap. Авжеж, у випадку аналітичних функцій можна оцінити залишковий член R_k(x) шляхом «обрізання» послідовності похідних f′(a) у центрі наближення, але при використанні комплексного аналізу з'являються й інші можливості, які описані нижче.

Теорема Тейлора та збіжність ряду Тейлора

Існує розбіжність між многочленами Тейлора диференційовних функцій і рядами Тейлора аналітичних функцій. Можна розглядати (справедливо) ряд Тейлора

$f(x)\approx \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k(x-a{)}^k=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a{)}^2+\dots$

нескінченну кількість разів диференційовної функції f:R→R як її «многочлен Тейлора нескінченно великого порядку» в точці a. Тепер оцінка залишку многочлена Тейлора має на увазі, що для будь-якого порядку k й для будь-якого r>0 існує постійна Шаблон:Nowrap така, що

$(*)|R_k(x)|⩽M_{k,r}\frac{|x-a{|}^{k+1}}{(k+1)!}$

для кожного x∈(a-r, a+r). Іноді ці постійні можуть бути обрані таким чином, що Шаблон:Nowrap, коли Шаблон:Nowrap і Шаблон:Nowrap залишається незмінною. Тоді ряд Тейлора функції f збігається рівномірно до деякої аналітичної функції

$T_f:(a-r,a+r)\to ℝ;T_f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k.$

Тут необхідно згадати важливий момент. Можлива ситуація, коли нескінченну кількість разів диференційовна функція f має ряд Тейлора в точці a, який збігається в деякому околі точки a, але гранична функція T_f відрізняється від f. Важливим прикладом цього феномену є такий

$f:ℝ\to ℝ;f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-\frac{1}{x^2}}& ,x>0,\\ 0& ,x⩽0.\end{array}$

Використовуючи ланцюгове правило можна показати індуктивно, що для будь-якого порядку k,

$f^{(k)}(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{p_k(x)}{x^{2k}}{e}^{-\frac{1}{x^2}}& ,x>0\\ 0& ,x⩽0\end{array}$

для деякого многочлену p_k. Функція $e^{-\frac{1}{x^2}}$ прагне до нуля швидше, ніж будь-який поліном, відповідно до того, як Шаблон:Nowrap, тоді f є нескінченну кількість разів диференційовною й Шаблон:Nowrap для кожного додатного цілого k. Тепер оцінки для залишку многочлена Тейлора функції f показують, що ряд Тейлора збігається рівномірно до нульової функції на всій дійсній числовій осі. Не буде помилки в наступних твердженнях:

• Ряд Тейлора функції f збігається рівномірно до нульової функції T_f(x)=0.
• Нульова функція є аналітичною, і кожний коефіцієнт її ряду Тейлора дорівнює нулю.
• Функція f є нескінченну кількість разів диференційовною, але не аналітичною.
• Для будь-якого k∈N и r>0 існує M_{k, r}>0 таке, що залишковий член многочлена Тейлора k-го порядку функції f задовільняє умові (*).

Теорема Тейлора в комплексному аналізі

Теорема Тейлора узагальнює функції $f:ℂ\to ℂ$, які є комплексно диференційовними на відкритій підмножині U ⊂ C комплексної площини. Однак її корисність знижена іншими теоремами комплексного аналізу, а саме: більш повні версії подібних результатів можуть бути виведені для комплексно диференційовних функцій f : U → C з використанням інтегральної формули Коші як показано нижче.

Нехай r > 0 таке, що замкнене коло B(z, r) ∪ S(z, r) міститься в U. Тоді інтегральна формула Коші з додатною параметризацією Шаблон:Nowrap околу S(z, r) с Шаблон:Nowrap дає

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(w)}{w-z}dw,f^{\prime }(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(w)}{(w-z{)}^2}dw,\dots ,f^{(k)}(z)=\frac{k!}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(w)}{(w-z{)}^{k+1}}dw.$

Тут всі підінтегральні вирази є неперервними на околі S(z, r), що обґрунтовує диференціювання під знаком інтеграла. Зокрема, якщо f — один раз комплексно диференційовна на відкритій множині U, то вона фактично нескінченну кількість разів комплексно диференційовна на U. Маємо оцінку Коші

$|f^{(k)}(z)|⩽\frac{k!}{2\pi }\underset{\gamma }{\int }\frac{M_r}{|w-z{|}^{k+1}}dw=\frac{k!M_r}{r^k},M_r=\underset{|w-c|=r}{\max }|f(w)|$

для будь-якого z ∈ U и r > 0 таку, що B(z, r) ∪ S(c, r) ⊂ U. Ці оцінки означають, що комплексний ряд Тейлора

$f(z)\approx \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(z-c{)}^k$

функції f збігається рівномірно в будь-якому колі B(c, r) ⊂ U з S(c, r) ⊂ U в деякій функції T_f. Крім того, використовуючи формулу інтегрування по контуру для похідних f^(k)(c),

$\begin{array}{cc}{T}_f(z)=& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(z-c{)}^k}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(w)}{(w-c{)}^{k+1}}dw=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(w)}{w-c}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{z-c}{w-c}{)}^{k}dw\\ =& \frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(w)}{w-c}\left(\frac{1}{1-\frac{z-c}{w-c}}\right)dw=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(w)}{w-z}dw=f(z),\end{array}$

таким чином, будь-яка комплексно диференційовна функція f на відкритій множині U ⊂ C є комплексно аналітичною. Все те, що було написано вище для дійсних аналітичних функцій справедливо також й для комплексних аналітичних функцій, де відкритий інтервал I змінено на відкриту підмножину U ∈ C 1 a — центровані інтервали (a − r, a + r) змінено на c — центровані кола B(c, r). Зокрема, розкладання Тейлора зберігається у вигляді

$f(z)=P_k(z)+R_k(z),P_k(z)=\sum _{j=0}^k\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(z-c{)}^k,$

де залишковий член R_k — комплексно аналітичний. При розгляданні рядів Тейлора методи комплексного аналізу дозволяють отримати кілька більш потужних результатів. Наприклад, використовуючи інтегральну формулу для будь-якої додатно орієнтованої жорданової кривої γ, яка параметризує границю ∂W ⊂ U області W ⊂ U, можна отримати вираз для похідних Шаблон:Nowrap як показано вище, і злегка змінивши розрахунки для Шаблон:Nowrap, прийти до точної формули

$R_k(z)=\sum _{j=k+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(z-c{)}^j}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(w)}{(w-c{)}^{j+1}}dw=\frac{(z-c{)}^{k+1}}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(w)dw}{(w-c{)}^{k+1}(w-z)},z\in W.$

Важлива особливість тут в тому, що якість наближення за допомогою многочлена Тейлора в області W ⊂ U є мажоріруємим значенням функції f на границі ∂W ⊂ U. Також, застосовуючи оцінки Коші до виразу залишку ряду, отримуємо рівномірні оцінки

$|R_k(z)|⩽\sum _{j=k+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{M_r|z-c{|}^j}{r^j}=\frac{M_r}{r^{k+1}}\frac{|z-c{|}^{k+1}}{1-\frac{|z-c|}{r}}⩽\frac{M_r{\beta }^{k+1}}{1-\beta },\frac{|z-c|}{r}⩽\beta <1.$

Приклад

Графік комплексної функції f(z) = 1/(1 + z²). Модуль показано висотою підйому та аргумент показано кольором: ціан=0, синій=π/3, фіолетовий=2π/3, червоний=π, жовтий=4π/3, зелений=5π/3.

Функція f:R→R, що визначається рівнянням

$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$

дійсна аналітична, тобто в даній області визначається своїм рядом Тейлора. Один з малюнків, наведених вище Шаблон:Webarchive, показує, що деякі функції, що задаються дуже просто, не можуть бути виражені за допомогою наближення Тейлора в околі центру наближення, якщо цей окіл занадто великий. Цю властивість легко зрозуміти в рамках комплексного аналізу. Більш конкретно, функція f розширюється до мероморфної функції

$f:ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}\to ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\};f(z)=\frac{1}{1+z^2}$

на компактифіцированій комплексній площині. Вона має прості осі в точках z=i и z=−i, і вона всюди аналітична. ЇЇ ряд Тейлора, що має центр в z₀, збігається на будь-якому колі B(z₀,r) с r<|z-z₀|, де той же ряд Тейлора збігається при z∈C. Внаслідок цього ряд Тейлора функції f, що має центр в точці 0, збігається на B(0,1) і він не збігається для будь-якого z∈C с |z|>1 внаслідок наявних осей в точках i и −i. За тих же причин ряд Тейлора функції f, що має центр в точці 1, збігається на B(1,√2) і не збігається для будь-якого z∈C с |z-1|>√2.

Узагальнення теореми Тейлора

Вищі порядки диференційовності

Функція f:Rⁿ → R — диференційовна в точці a ∈ Rⁿ тоді й тільки тоді, коли існує лінійна форма L : Rⁿ → R і функція h : Rⁿ → R така, що

$f(𝒙)=f(𝒂)+L(𝒙-𝒂)+h(𝒙)(𝒙-𝒂),\underset{𝒙\to 𝒂}{\lim }h(𝒙)=0.$

Якщо цей випадок має місце, то L = df(a) є диференціал функції f в точці a. Крім того, коли частинні похідні функції f існують в точці a, то диференціал f в точці a визначено формулою

$df(𝒂)(𝒗)=\frac{\partial f}{\partial x_1}(𝒂)v_1+\cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n}(𝒂)v_n.$

Вводячи мультиіндекс, запишемо

$|\alpha |={\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_n,\alpha !={\alpha }_1!\cdots {\alpha }_n!,{𝒙}^{\alpha }=x_1^{{\alpha }_1}\cdots x_n^{{\alpha }_n}$

для α ∈ Nⁿ і x ∈ Rⁿ. Якщо всі частинні похідні k-го порядку функції Шаблон:Nowrap — неперервні в Шаблон:Nowrap, то згідно з Шаблон:Нп, можна змінити порядок змішаних похідних в точці a, тоді запис

$D^{\alpha }f=\frac{{\partial }^{|\alpha |}f}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\cdots \partial x_n^{{\alpha }_n}},|\alpha |⩽k$

для частинних похідних вищих порядків є правомірним у цій ситуації. Теж саме є правильним, якщо всі частинні похідні (k − 1)-го порядку функції f існують в деякому околі точки a і диференційовні в точці a. Тоді можна сказати, що функція f — k разів диференційовна в точці a .

Теорема Тейлора для функцій багатьох змінних

Якщо функція Шаблон:Nowrap — k+1 разів неперервно диференційовна в замкненій кулі B, то можна отримати точну формулу для залишку розкладання Тейлора до частинних похідних Шаблон:Nowrap порядку від f в цьому околі. А саме

$f(𝒙)=\sum _{|\alpha |=0}^k\frac{D^{\alpha }f(𝒂)}{\alpha !}(𝒙-𝒂{)}^{\alpha }+\sum _{|\beta |=k+1}{R}_{\beta }(𝒙)(𝒙-𝒂{)}^{\beta },R_{\beta }(𝒙)=\frac{|\beta |}{\beta !}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-t{)}^{|\beta |-1}{D}^{\beta }f(𝒂+t(𝒙-𝒂))dt.$

У цьому випадку, внаслідок неперервності частинних похідних (k+1)-го порядку на компактній множині B, безпосередньо отримуємо

$|R_{\beta }(𝒙)|⩽\frac{|\beta |}{\beta !}\underset{|\alpha |=|\beta |}{\max }\underset{𝒚\in B}{\max }|D^{\alpha }f(𝒚)|,𝒙\in B.$

Докази

Доказ теореми Тейлора для однієї дійсної змінної

Нехай

$h_k(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{f(x)-P(x)}{(x-a{)}^k}& x=a\\ 0& x=a\end{array}$

де, як вказано в формулюванні теореми Тейлора,

$P(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k.$

Достатньо показати, що

$\underset{x\to a}{\lim }{h}_k(x)=0.$

Доказ засновано на повторюваному застосуванні правила Лопіталя. Помітимо, що кожне Шаблон:Nowrap, $f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)$. Звідси кожна наступна похідна чисельника функції $h_k(x)$ прагне до нуля в точці $x=a$, і теж саме справедливо для знаменника. Тоді

$\begin{array}{cc}\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-P(x)}{(x-a{)}^k}& =\underset{x\to a}{\lim }\frac{\frac{d}{dx}(f(x)-P(x))}{\frac{d}{dx}(x-a{)}^k}=\cdots =\underset{x\to a}{\lim }\frac{\frac{d^{k-1}}{d{x}^{k-1}}(f(x)-P(x))}{\frac{d^{k-1}}{d{x}^{k-1}}(x-a{)}^k}\\ & =\frac{1}{k!}\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{(k-1)}(x)-P^{(k-1)}(x)}{x-a}\\ & =\frac{1}{k!}(f^{(k)}(a)-P^{(k)}(a))=0\end{array}$

де перехід від передостаннього виразу до останнього випливає з визначення похідної в точці x = a.

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Клепко ВМ
• Шаблон:Rudin.Real and complex analysis.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.

Посилання

• Taylor Series Approximation to Cosine Шаблон:Webarchive
• Trigonometric Taylor Expansion Шаблон:Webarchive interactive demonstrative applet
• Taylor Series Revisited Шаблон:Webarchive at Holistic Numerical Methods Institute Шаблон:Webarchive