Мультиіндекс

Мультиіндекс (або мульти-індекс) — узагальнення поняття цілочислового індексу до векторного індексу, яке використовується в різноманітних галузях математики, пов'язаних з функціями багатьох змінних. Використання мультиіндексу дозволяє спростити (записати у коротшій формі) математичні формули.

Математичний запис мультиіндексу

n-вимірний мультиіндекс — це вектор

$\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n),$

складений з невід'ємних чисел. Для двох мультиіндексів $\alpha ,\beta \in \mathbb{N}\cup \{0\}$ і вектора $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n$ вводяться:

• Покомпоненне додавання і віднімання

$\alpha \pm \beta =({\alpha }_1\pm {\beta }_1,{\alpha }_2\pm {\beta }_2,\dots ,{\alpha }_n\pm {\beta }_n)$

• Часткова впорядкованість

$\alpha ⩽\beta \iff {\alpha }_i⩽{\beta }_i\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\}$

• Абсолютне значення як сума компонент

$|\alpha |={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n$

• Факторіал

$\alpha !={\alpha }_1!\cdot {\alpha }_2!\cdots {\alpha }_n!$

• Біноміальний коефіцієнт

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\beta })=(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_1}{{\beta }_1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_2}{{\beta }_2})\cdots (\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_n}{{\beta }_n})$

• Піднесення до степеня

$x^{\alpha }=x_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}\dots x_n^{{\alpha }_n}$

• Старша частинна похідна

${\partial }^{\alpha }=\underset{1}{\overset{{\alpha }_1}{\partial }}\underset{2}{\overset{{\alpha }_2}{\partial }}\dots \underset{n}{\overset{{\alpha }_n}{\partial }}=\frac{{\partial }^{|\alpha |}}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\partial x_2^{{\alpha }_2}\dots \partial x_n^{{\alpha }_n}},$ де $\underset{i}{\overset{{\alpha }_i}{\partial }}:={\partial }^{{\alpha }_i}/\partial x_i^{{\alpha }_i}$

Застосування

Використання мультиіндекса дозволяє без проблем узагальнити багато з формул класичного аналізу на випадок багатьох змінних. Ось деякі приклади:

Мультиноміальні коефіцієнти

Узагальнення бінома Ньютона на багатовимірний випадок:

$(\sum _{i=1}^n{x}_i{)}^k=\sum _{|\alpha |=k}\frac{k!}{\alpha !}{x}^{\alpha }=\sum _{|\alpha |=k}\frac{k!}{{\alpha }_1!\cdot {\alpha }_2!\cdots {\alpha }_n!}{x}_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}\dots x_n^{{\alpha }_n}$

Правило Лейбніца

Для гладких функцій f і g

${\partial }^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu ⩽\alpha }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\nu }){\partial }^{\nu }f{\partial }^{\alpha -\nu }g.$

Розклад в ряд Тейлора

Для аналітичної функції f від n змінних справедливий розклад

$f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb{N}\cup \{0\}}^{}\frac{{\partial }^{\alpha }f(x)}{\alpha !}{h}^{\alpha }.$

Для достатньо гладких функцій виконується формула Тейлора

$f(x+h)=\sum _{|\alpha |⩽n}\frac{{\partial }^{\alpha }f(x)}{\alpha !}{h}^{\alpha }+R_n(x,h),$

де останній член (залишок) може бути записаний в різних формах. Наприклад, в (інтегральній) формі Коші

$R_n(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}\frac{h^{\alpha }}{\alpha !}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-t{)}^n{\partial }^{\alpha }f(x+th)dt.$

Оператор диференціювання

Формальний оператор взяття частинної похідної N-го порядку в n-вимірному просторі записується наступним чином:

$P(\partial )=\sum _{|\alpha |\le N}{a}_{\alpha }(x){\partial }^{\alpha }.$

Інтегрування частинами

Для достатньо гладких функцій в обмеженій області $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ справедлива формула

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u({\partial }^{\alpha }v)dx=(-1{)}^{|\alpha |}\underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{}{\int }}({\partial }^{\alpha }u)vdx.$

Ця формула використовується при означенні узагальнених функцій.

Посилання

• http://mathworld.wolfram.com/Multi-IndexNotation.html Шаблон:Webarchive