Алгебрична крива

Кубика Чирнгауза — алгебрична крива третього порядку.

Алгебричні криві — це найпростіші об'єкти евклідової геометрії, для визначення яких недостатньо лінійних рівнянь. Зокрема, в евклідовій геометрії плоска алгебрична крива визначається як множина нулів многочлена від двох змінних. Наприклад, одиничне коло — це алгебрична крива, оскільки вона задається рівнянням Шаблон:Math.

За багатьма технічними причинами зручно також розглядати комплексні корені відповідного многочлена, а також узагальнити визначення на випадок довільного поля.

В алгебричній геометрії, плоска афінна алгебрична крива над полем Шаблон:Math визначається як множина точок Шаблон:Math, які є коренями многочлена від двох змінних з коефіцієнтами в Шаблон:Math, де Шаблон:Math — алгебричне замикання поля Шаблон:Math. Точки цієї кривої, всі координати яких лежать в Шаблон:Math, називаються Шаблон:Math-точками. Наприклад, точка $(2,\sqrt{-3})$ належить розглянутому вище одиничному колу, однак не належить його дійсній частині. Многочлен Шаблон:Math задає алгебричну криву, дійсна частина якої порожня.

Більш загально, можна розглядати алгебричні криві, що містяться не в площині, а в просторі з довільною розмірністю або в проєктивному просторі. Виявляється, що багато властивостей алгебричної кривої не залежить від вибору конкретного вкладення в деякий простір, і це призводить до загального визначення алгебричної кривої:

Алгебрична крива — це алгебричний многовид розмірності 1. Це визначення можна переформулювати так: алгебрична крива — це алгебричний многовид, всі підмноговиди якого складаються з однієї точки.

Приклади алгебричних кривих

Раціональні криві

Раціональна крива, також відома як унікурсальна крива, — це крива, біраціонально еквівалентна афінній прямій (або проєктивній прямій), іншими словами, крива, на якій можлива раціональна параметризація.

Більш конкретно, раціональна крива в Шаблон:Math-вимірному просторі може бути параметризована (за винятком деякого числа ізольованих «особливих точок») за допомогою Шаблон:Math раціональних функцій від єдиного параметра Шаблон:Math.

Шаблон:Math

Наприклад, розглянемо еліпс Шаблон:Math з раціональною точкою (-1, 0). Провівши через неї пряму Шаблон:Math, підставивши вираз Шаблон:Math через Шаблон:Math в рівняння та розв'язавши відносно Шаблон:Math, отримаємо рівняння

$x=\frac{1-t^2}{1+t+t^2},$

$y=t(x+1)=\frac{t(t+2)}{1+t+t^2},$

які задають раціональну параметризацію еліпса. У такому вигляді подавані всі точки еліпса крім точки (-1, 0), можна зіставити їй Шаблон:Math, тобто параметризувати еліпс проєктивною прямою.

Цю раціональну параметризацію можна розглядати як параметризацію «еліпса в проєктивному просторі», перейшовши до однорідних координат, тобто замінивши Шаблон:Math на Шаблон:Math, а Шаблон:Math — на Шаблон:Math відповідно. Параметризація еліпса Шаблон:Math проєктивної прямої прийме такий вигляд:

$X=U^2-T^2,Y=T(T+2U),Z=T^2+TU+U^2.$

Еліптичні криві

Шаблон:Докладніше Раціональні криві (над алгебричним замкненим полем) — це алгебричні криві роду 0 (див. нижче), у цій термінології еліптичні криві — це криві роду 1 з раціональною точкою. Основний приклад такої кривої — кубика без особливостей; такої кубики достатньо, щоб промоделювати будь-яку криву роду 1.

Еліптична крива несе на собі структуру абелевої групи. Сума трьох точок на кубиці дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли ці точки колінеарні.

Перетин двох конік є кривою четвертого порядку роду 1, а значить, еліптичною кривою, якщо вона містить хоча б одну раціональну точку. В іншому випадку перетин може бути раціональною кривою четвертого порядку з особливостями, або бути розкладеним на криві меншого порядку (кубика і пряма, дві коніки, коніку і дві прямі або чотири прямі).

Зв'язок з полями функцій

Вивчення алгебричних кривих може бути зведене до вивчення нескоротних кривих (тобто не розкладаються в об'єднання двох менших кривих). Кожній такій кривій можна зіставити поле раціональних функцій на ній; виявляється, що криві біраціонально еквівалентні тоді і лише тоді, коли їх поля функцій ізоморфні. Це означає, що категорія алгебричних кривих та раціональних відображень двоїста категорії одновимірних полів алгебричних функцій, тобто полів, які є алгебричними розширеннями поля $k(x)$.

Комплексні криві як дійсні поверхні

Комплексна алгебрична крива, вкладена в афінний або проєктивний простір, має топологічну розмірність 2, іншими словами, є поверхнею. Зокрема, комплексна алгебрична крива без особливостей є двовимірним орієнтованим многовидом.

Топологічний рід цієї поверхні збігається з родом алгебричної кривої (який можна обчислити алгебричними способами). Дуже коротко: якщо проєкція кривої без особливостей на площину є алгебричною кривою ступеня Шаблон:Math зі звичайними особливостями (точки подвійного самоперетину, з різними дотичними прямими у кожної з компонент), то вихідна крива має рід Шаблон:Math, де Шаблон:Math — число цих особливостей.

Вивчення компактних ріманових поверхонь складається фактично у вивченні комплексних алгебричних кривих без особливостей, розглянутих як поверхні з додатковою аналітичною структурою. Більш точно, такі категорії еквівалентні:

• Категорія проєктивних алгебричних кривих без особливостей (з раціональними відображеннями як морфізмом).
• Категорія компактних ріманових поверхонь та голоморфних функцій.

Класифікація особливостей

Шаблон:Math

Особливі точки включають в себе кілька типів точок, в яких крива «перетинає сама себе», а також різні типи каспів. Наприклад, на малюнку зображена крива Шаблон:Math з каспом на початку координат.

Особливі точки можна класифікувати за їхніми інваріантами. Наприклад, особливу точку з дельта-інваріантом δ можна інтуїтивно описати як точку, в якій зустрічаються одразу δ «самоперетинів». У разі точки Шаблон:Math нескоротьної кривої δ можна обчислити як довжину модуля $\widetilde{{𝒪}_P}/{𝒪}_P$, де ${𝒪}_P$ — локальне кільце в точці Шаблон:Math та $\widetilde{{𝒪}_P}$ — його ціле замикання. Обчислення дельта-інваріантів всіх особливих точок дозволяє обчислити рід кривої за формулою:

$g=\frac{1}{2}(d-1)(d-2)-\sum _P{\delta }_P,$

Інші важливі інваріанти: кратність Шаблон:Math особливості (максимальне ціле число, таке що всі похідні які задають криву многочлена, порядок яких не перевищує Шаблон:Math, дорівнюють нулю) і Шаблон:Не перекладено.

Див. також

• Крива
• Еліптична крива
• Поверхня Рімана
• Теорема Безу (алгебрична геометрія)
• Алгебрична поверхня

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга