Довжина модуля

В абстрактній алгебрі довжина модуля — числова характеристика модуля, що деякою мірою узагальнює поняття розмірності векторного простору.

Визначення

Нехай $M$ — модуль над кільцем $R$. Довжина $M$ визначається як супремум чисел $n$ для яких існує послідовність підмодулів:

$0=N_0⊊N_1⊊N_2⊊\dots ⊊N_n=M.$

Довжина позначається ${\ell }_R(M)$ або $\ell (M)$.

Властивості

• Довжина нульового модуля рівна 0. Довжина інших модулів є додатнім цілим числом.
• Єдиними модулями довжина яких рівна 1 є прості модулі. В іншому випадку існує послідовність $0⊊N⊊M$ і довжина модуля не менша 2.
• Модуль $M$ має скінченну довжину якщо і тільки якщо він є модулем Нетер і модулем Артіна.
• Нехай маємо коротку точну послідовність:

$0\to M^{\prime }\to M\to M^{″}\to 0$

тоді $\ell (M)=\ell (M^{\prime })+\ell (M^{″})$.

• З попереднього випливає, що якщо N — підмодуль M то

$\ell (M)=\ell (N)+\ell (M/N)$.

Також звідси випливає формула:

$\ell (N+P)+\ell (N\cap P)=\ell (N)+\ell (P)$

Приклади

• Для скінченновимірних векторних просторів поняття розмірності і довжини є еквівалентними: $\dim E=\ell (E)$.
• Кільце $\mathbb{Z}$, що розглядається як модуль над самим собою, має нескінченну довжину, що демонструє наступна послідовність визначена для довільного натурального числа n :

$2^n\mathbb{Z}⊊2^{n-1}\mathbb{Z}⊊\cdots ⊊2\mathbb{Z}⊊\mathbb{Z}$

• Циклічна група $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, як $\mathbb{Z}$-модуль має довжину, що рівна кількості простих дільників n з урахуванням їх кратності.

Література

• Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры.-Ижевск, 1999, 348с.