Алгебричне розширення

Алгебричне розширення — розширення поля $L/K$, кожен елемент $\alpha$ якого є алгебричним над $K$, тобто існує многочлен $f(x)$ з коефіцієнтами з $K$ для якого $\alpha$ є коренем.

Розширення, що не є алгебричними називаються трансцендентними. Елемент такого розширення, що не є коренем деякого многочлена теж називається трансцендентним.

Властивості

• Всі скінченні розширення алгебричні.

Для всіх трансцендентних елементів $\alpha ,$ елементи $1,\alpha ,{\alpha }^2,{\alpha }^3,\dots$ є лінійно незалежними. Отже при існуванні хоча б одного трансцендентного елементу, розширення не може бути скінченним.

• Для вежі полів $K\subseteq L\subseteq F$, розширення $F/K$ — алгебричне, тоді й лише тоді коли $F/L$ та $L/K$ є алгебричними.

Справді, якщо α — який-небудь елемент F, то він за визначенням є коренем деякого многочлена f(x) з коефіцієнтами a₁…a_n з L. Оскільки всі ці a_i алгебричні над K, то розширення K(a₁,…a_n) є скінченним над K, а оскільки α алгебричне над L=K(a₁,…a_n) , то маємо з властивості скінченних розширень, що L(α) скінченне над K, а елемент α алгебричний над K. Зворотне твердження очевидне.

• Якщо α і β алгебричні над K, то з попереднього випливає, що K(α,β)=K(α)(β) алгебричне над K, а значить, α+β,α-β,αβ,α/β теж алгебричні. Звідси випливає, що якщо K ⊆ L, то K^* ⊆ L, — алгебричні елементи над К утворюють поле. Якщо L є алгебраїчно замкнутим, то і K^* алгебрично замкнуте. Якщо узяти за K поле раціональних чисел $\mathbb{Q}$, а за L алгебрично замкнуте поле комплексних чисел $ℂ$, то одержимо поле алгебраїчних чисел A.

• Якщо L/ K алгебричне розширення, то для будь-якого розширення F / K (якщо F і L містяться в деякому полі) композит полів LF є алгебричним розширенням F). Це легко випливає з попереднього.

Приклади

• Розширення $ℝ/\mathbb{Q}$, тобто поле дійсних чисел як розширення раціональних чисел є трансцендентним. Дійсно множина алгебричних чисел є зліченною, а потужність множини дійсних чисел — континуум.
• Розширення $ℂ/ℝ$ є алгебричним розширенням.

Див. також

• Степінь трансцендентності

Література

• Шаблон:Ван.дер.Варден.Алгебра
• Шаблон:Зарисский.Самюэль.Коммутативная алгебра.том1
• Шаблон:Ленг.Алгебра
• J.M. Howie, Fields and Galois Theory, London: Springer, 2006, ISBN 1852339861.