Група Лі

Шаблон:Алгебричні структури Шаблон:Теорія груп Групою Лі над полем $K$ ($K=ℝ$ або $ℂ$) називається група $G$, зі структурою диференційовного (гладкого) многовиду над $K$, причому відображення $\mathrm{mul}$ та $\mathrm{inv}$ визначені :

$\mathrm{mul}:G\times G\to G;\mathrm{mul}(x,y)=xy$,

$\mathrm{inv}:G\to G;\mathrm{inv}x=x^{-1}$

є гладкими (у разі поля $ℂ$ вимагають голоморфності введених відображень).

Довільна комплексна $n$-мірна група Лі є дійсною групою Лі розмірності $2n$. Довільна комплексна група Лі за визначенням є аналітичним многовидом, але і в дійсному випадку на будь-якій групі Лі існує аналітичний атлас, в якому відображення $\mathrm{mul}$ і $\mathrm{inv}$ записуються аналітичними функціями.

Групи Лі названі на честь Софуса Лі. Вони природно виникають при розгляді неперервних симетрій. Наприклад, рухи площини утворюють групу Лі. Групи Лі є в сенсі багатства структури найкращими з многовидів і, як такі, дуже важливі в диференціальний геометрії. Вони також відіграють помітну роль у геометрії, фізиці і математичному аналізі.

Типи груп Лі

Групи Лі класифікуються за своїми алгебраїчними властивостями (простоти, напівпростоти, розв'язності, нільпотентності, комутативності), а також за топологічними властивостями (зв'язності, однозв'язності і компактності).

Цей клас неперервних груп перетворень є сукупність операторів $T(a_1,...,a_k),$ диференційованих по скінченному числу параметрів ${\epsilon }_1,...,{\epsilon }_k.$ Умова диференційовуваності є еквівалентною експониненційному представленню елемента групи

$T(a_1,...,a_k)=\exp [a_i{x}_i],$

де інфінітезимальні оператори утворюють алгебру

$[x_i{x}_k]=f_{ik}^l{x}_l.$

Знаходження незвідних зображень зводиться до визначення матричних елементів операторів алгебри, яка має певну структуру. Оператори представлення задовільняють співвідношенню $T_{g_1{g}_2}=T_{g_1}{T}_{g_2},$ де $g_1,g_2$ - довільні елементи групи.

Формула, яка пов'язує скінченне перетворення із інфінітезимальними операторами, $T=\exp [a_i{x}_i],$ можна отримати, інтегруючи диференціальні рівняння групи, записані відносно параметрів $a_i,$

$\partial T_f/\partial a_j(f)=\sum _{i=1}^m{S}_{ij}(f)x_i{T}_f,$

де $m$ - число параметрів групи. За умов $S_{ij}(e)={\delta }_{ij},$ де $e$ - ідемпотент, отримуємо

$d/d{a}_j\ln T_f=\sum _{i=1}^m{S}_{ij}{x}_i.$

Рішення системи рівнянь

$\{\begin{array}{c}d/d{a}_1\ln T_f(a_1,0,...,0)=\sum _{i=1}^m{S}_{i1}(a_1,...,0)x_i;\\ ...........................................\\ d/d{a}_m\ln T_f(0,...,a_m)=\sum _{i=1}^m{S}_{im}(0,...,a_m)x_i\end{array}$

приводить до експониненційної форми зображення з визначення інфінітезимального оператора

$[\partial T_f/\partial a_j{]}_{j=1}=x_j.$

Щоб запевнитися, що $T$ утворює групу, достатньо запевнитися, у справедливості рівності:

$T(a_1,...,a_m)T(-a_1,...,-a_m)=I,$

$I$ - одиничний оператор. Операторний вираз $e^{A+B}$ можна представити у вигляді

$e^{\underset{0}{\overset{1}{\int }}(A_S+B_S)ds}=e^{\underset{0}{\overset{1}{\int }}{A}_{s}ds}{e}^{\underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_{S}ds},$

де за допомогою $s$ здійснюється впорядкування операторних співмножників за допомогою умови $A_S{B}_{S^{\prime }},$ якщо $s>s^{\prime },$ та $B_{S^{\prime }}{A}_S,$ коли $s^{\prime }>s,$ причому $A_S,B_{S^{\prime }}$ розглядаються як $c$-числа. Цей метод використовувався при розплутуванні виразу для матриці розсіяння, причому роль індексу $s$ відігравав час.

Підгрупи Лі

Підгрупа $H$ групи Лі $G$ називається її підгрупою Лі, якщо вона є підмноговидом в многовиді $G$. Не всяка підгрупа є підгрупою Лі: наприклад, підгрупа пар виду $(e^{ix},e^{i\pi x})$ у торі $\{(e^{ix},e^{iy})\mid x,y\in ℝ\}$ не є підгрупою Лі. Підгрупа Лі завжди замкнута. У дійсному випадку вірно і зворотне: замкнута підгрупа є підгрупою Лі. У комплексному випадку це не так: бувають дійсні підгрупи Лі комплексної групи Лі, що мають непарну розмірність, наприклад, унітарні матриці в групі оборотних комплексних матриць $2\times 2$.

Нехай $H$ — підгрупа Лі групи Лі $G$. Множину $G/H$ суміжних класів (байдуже, лівих або правих) можна єдиним чином наділити структурою диференційовного многовиду, так, щоб канонічна проєкція була диференційовним відображенням. При цьому одержується локально тривіальне розшарування, і якщо $H$ — нормальна підгрупа, то факторгрупа буде групою Лі.

Гомоморфізми і ізоморфізми

Нехай $G$ і $H$ — групи Лі над одним і тим же полем. Гомоморфізмом груп Лі називається відображення $f:G\to H$, що є гомоморфізмом груп і одночасно аналітичним відображенням многовидів. (Можна показати, що для виконання останньої умови досить неперервності $f$.) Композиція гомоморфізмів груп Лі знову буде гомоморфізмом груп Лі. Класи всіх дійсних і всіх комплексних груп Лі разом з відповідними гомоморфізмами утворюють категорії ${\mathrm{Lie}}_{ℝ}$ і ${\mathrm{Lie}}_{ℂ}$. Гомоморфізм груп Лі називається ізоморфізмом, якщо існує обернений гомоморфізм. Дві групи Лі, між якими існує ізоморфізм, як завжди в абстрактній алгебрі, називаються ізоморфними. Як завжди, групи Лі розрізняють лише з точністю до ізоморфізму. Наприклад, група Лі $SO(2)$ поворотів площини з операцією композиції і група Лі $U(1)$ комплексних чисел, рівних за модулем одиниці, з операцією множення, є ізоморфними.

Приклад ірраціональної обмотки тора показує, що образ підгрупи Лі при гомоморфізмі не завжди є підгрупою Лі. Проте прообраз підгрупи Лі при гомоморфізмі завжди є підгрупою Лі.

Гомоморфізм групи Лі $G$ над полем $K$ у групу $GL(V)$ невироджених лінійних перетворень векторного простору $V$ над полем $K$ називається представленням групи $G$ у просторі $V$.

Дії груп Лі

Групи Лі часто виступають як симетрії якої-небудь структури на деякому многовиді, а тому природно, що вивчення дій груп на різних многовидах є важливим розділом теорії. Говорять, що група Лі G діє на гладкому многовиді M, якщо заданий гомоморфізм груп a: G → Diff M, де Diff M — група дифеоморфізмів M. Таким чином, кожному елементу g групи G повинне відповідати дифеоморфне перетворення a_g многовиду M, причому добутку елементів і зворотному елементу відповідають відповідно композиція дифеоморфізмів і обернений дифеоморфізм. Якщо з контексту зрозуміло, про яку дію йде мова, то образ a_g(m) точки m при дифеоморфізмі, що визначається елементом g, позначається просто gm.

Група Лі природно діє на собі множенням справа і зліва, а також спряженнями. Ці дії традиційно позначаються l, r і a:

l_g(h) = gh,

r_g(h) = hg,

a_g(h) = ghg⁻¹.

Іншим прикладом дії є дія групи Лі G на множині класів суміжності цієї групи Лі по деякій підгрупі N ≤ G:

g (hN) = (gh)N

Дія групи Лі G на диференційовному многовиді M, називається транзитивною, якщо будь-яку точку M можна перевести в будь-яку іншу за допомогою дії деякого елементу G. Многовид, на якому задано транзитивну дію групи Лі називається однорідним простором цієї групи. Однорідні простори відіграють важливу роль в багатьох розділах геометрії. Однорідний простір групи G дифеоморфний G / st x, де st x — стабілізатор довільної точки.

Алгебра Лі

З довільною групою Лі можна пов'язати деяку алгебру Лі, яка повністю відображає локальну структуру групи, в усякому разі, якщо група Лі зв'язна.

Векторне поле на групі Лі G називається лівоінваріантним, якщо воно комутує з лівим множенням, тобто

V(l_g^* f)= l_g^* (Vf) для всіх g з G, і будь-якої диференційовної функції f.

Еквівалентно

dl_g (V_x) = V_gx для всіх x, y з G.

Очевидно, будь-яке лівоінваріантне векторне поле V на групі Лі повністю визначається своїм значенням V_e в одиниці. Навпаки, задавши довільний вектор V в дотичному просторі G_e до одиниці, можна поширити його лівим множенням по всій групі. Одержується взаємно однозначна відповідність між дотичним простором до групи в одиниці і простором лівоінваріантних векторних полів.

Дужка Лі [X,Y] лівоінваріантних векторних полів буде лівоінваріантним векторним полем. Тому G_e є алгеброю Лі. Ця алгебра називається алгеброю Лі групи G. Звичайно вона позначається відповідною малою готичною буквою $𝔤.$

Приклади

• Будь-яка абстрактна (дискретна топологічна) група э групою Лі по відношенню до гладкості, у якій вона є нульвимірним многовидом.
• Будь-який скінченновимірний лінійний простір є групою Лі по додаванню.
• Одинична окружність ${𝕊}^1:|z|=1,$ точками якої є комплексні числа $z=e^{i\theta },$ є групою Лі по добуткові.
• Одинична сфера ${𝕊}^3$ кватерніонів, точками якої є кватерніони $𝔮,$ для яких $|𝔮|=1.$
• Якщо сфера ${𝕊}^n$ є групою Лі, то необхідно $n=1$ або $n=3$, тому ${𝕊}^1$та ${𝕊}^3$ є єдиними сферами, які припускають структуру групи Лі.
• Прямий добуток $G\times H$ топологічни (гладких) груп $G,H$ є топологічною (гладкою) групою. Зокрема, будь-який тор $T^n,n\ge 1.$
• Групою Лі є повна лінійна група $\mathrm{G}\mathrm{L}(n),$ а також ізоморфна їй група $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}𝔊$ усіх автоморфізмів (невироджених лінійних операторів) довільного n-вимірного лінійного простору $𝔊.$

Позначення Шенфліса та симетрії: T_d (E, 8C₃, 3C₂, 6S₄, 6σ_d); O_h: E, 8C₃, 6C₂', 6C₄, 3C₂, i, 6S₄, 8S₆

Приклади симетрії молекул (D_n , D_nd за Шенфлісом)

Дійсні групи Лі

Група Лі	Опис	Властивості	Алгебра Лі	Розмірність
${ℝ}^n$	Евклідовий простір з операцією додавання	Комутативність; однозв'язність, некомпактність	${ℝ}^n$	n
${ℝ}^{*}$	Ненульові дійсні числа з операцією множення	Комутативність; незв'язність, некомпактність	$ℝ$	1
${ℝ}_{+}^{*}$	Додатні дійсні числа з операцією множення	Комутативність; однозв'язність, некомпактність	$ℝ$	1
$S^1=ℝ/\mathbb{Z}$	Комплексні числа з модулем 1 і операцією множення	Комутативність; зв'язність, неоднозв'язність, компактність	$ℝ$	1
$GL(n,ℝ)$	Загальна лінійна група: дійсні оборотні матриці розмірності n×n	незв'язність, некомпактність	${ℳ}_n(ℝ)$	n²
$G{L}^{+}(n,ℝ)$	Дійсні матриці розмірності n×n з додатним визначником	Однозв'язність, некомпактність	${ℳ}_n(ℝ)$	n²
$SL(n,ℝ)$	Спеціальна лінійна група: Дійсні матриці розмірності n×n з визначником 1	Однозвязність, некомпактність для n > 1	$sl(n,ℝ)$	n²-1
$O(n,ℝ)$	Ортогональна група: Ортогональні дійсні матриці	Незв'язність, компактність	$so(n,ℝ)$	n(n — 1)/2

Комплексні групи Лі

Розмірність подано в $ℂ$.

Група Лі	Опис	Властивості	Алгебра Лі	Розмірність
${ℂ}^n$	Евклідовий простір з операцією додавання	Комутативність; однозв'язність, некомпактність	${ℂ}^n$	n
${ℂ}^{*}$	Ненульові комплексні числа з операцією множення	Комутативність; неоднозв'язність, некомпактність	$ℂ$	1
$GL(n,ℂ)$	Загальна лінійна група: дійсні оборотні матриці розмірності n×n	Однозвязність, некомпактність;	${ℳ}_n(ℂ)$	n²
$SL(n,ℂ)$	Спеціальна лінійна група: комплексні матриці розмірності n×n з визначником 1	Однозв'язність, некомпактність для n≥2	$sl(n,ℂ)$	(n²-1)
$O(n,ℂ)$	Ортогональна група: Ортогональні комплексні матриці	Незв'язність, некомпактність для n≥2	$so(n,ℂ)$	n(n-1)
$SO(n,ℂ)$	Спеціальна ортогональна група: комплексні ортогональні матриці з визначником 1	Неоднозв'язність, некомпактність для n≥2	$so(n,ℂ)$	n(n-1)
$U\left(n\right)$	Унітарна група: унітарні комплексні матриці розмірності n×n	Неоднозв'язність, компактність;	$u\left(n\right)$	n²
$SU\left(n\right)$	Спеціальна унітарна група: унітарні комплексні матриці розмірності n×n з визначником 1	Однозв'язність, компактність	$su\left(n\right)$	n²-1

Див. також

• Алгебра Лі
• Алгебрична група
• Компактна група Лі
• Лінійна алгебрична група

Література

• Шаблон:Голод.Клімик.Математичні основи теорії симетрії
• Шаблон:Бурбакі.Групи і алгебри Лі.г1-3
• Шаблон:Книга
• Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. 1988, 1995
• Адамс Дж. Ф., Лекции по группам Ли, «Наука», 1979
• Hall, Brian C. (2003), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, ISBN 0-387-40122-9
• Helgason Sigurdur (1978), «Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces», Academic Press,
• Rossmann, Wulf (2001), Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0198596837
• P. Basarab-Horwath, V. Lahno, R. Zhdanov (2000) The Structure of Lie Algebras and the Classification Problem for Partial Differential Equations