Матриця розсіяння

Матриця розсіяння або S-матриця — оператор, який зв'язує між собою початкову і кінцеву хвильові функції квантової системи при розсіянні. Позначається зазвичай $\hat{S}$:

$\psi (\mathrm{\infty })=\hat{S}\psi (-\mathrm{\infty })$.

де $\psi (-\mathrm{\infty })$ позначає хвильову функцію в нескінченно віддалений момент часу в минулому, до акту розсіяння, коли частинки перебувають дуже далеко одна від одної і взаємодією між ними можна знехтувати, а $\psi (\mathrm{\infty })$ позначає хвильову функцію в нескінченно віддалений момент часу після акту розсіяння, коли знову ж, частинки вже встигли розлетітися на таку віддаль, що взаємодією між ними можна знехтувати.

S-матриця унітарна, тобто

${\hat{S}}^{†}\hat{S}=1$,

де значок ${†}^{}$ позначає ермітове спряження.

Оператор переходу

Оператор

$\widehat{𝒯}=\hat{S}-1$

називають оператором переходу.

Розклад

Гамільтоніан системи частинок, які розсіюються одна на іншій можна записати у вигляді

$\hat{H}={\hat{H}}_0+\hat{V}={\hat{H}}_0^{\prime }+{\hat{V}}^{\prime }$.

В цьому виразі гамільтоніан системи частинок до розсіяння і після нього розбивається на різні складові для загальності — при зіткненнях склад системи може змінитися, наприклад, електрон може вибити інший електрон із атома.

Якщо функції ${\phi }_{\alpha }$ є власними функціями оператора ${\hat{H}}_0$:

${\hat{H}}_0{\phi }_{\alpha }=E_{\alpha }{\phi }_{\alpha }$,

а функції ${\phi }_{\beta }$ є власними функціями оператора ${\hat{H}}_0^{\prime }$:

${\hat{H}}_0^{\prime }{\phi }_{\beta }=E_{\beta }{\phi }_{\beta }$,

то хвильову функцію початкового і кінцевого станів можна розкласти

$\psi (-\mathrm{\infty })=\sum _{\alpha }{c}_{\alpha }{\phi }_{\alpha }$

$\psi (\mathrm{\infty })=\sum _{\beta }{\tilde{c}}_{\beta }{\phi }_{\beta }$

Тоді

${\tilde{c}}_{\beta }=\sum _{\alpha }{S}_{\beta \alpha }{c}_{\alpha }$

Із цього виразу видно, що $S_{\beta \alpha }$ є матрицею, загалом нескінченного рангу. Завдяки цьому S-матриця й отримала свою назву.

Імовірність переходу

Імовірність переходу системи із стану $\alpha$ в стан $\beta$ визначається елементом матриці переходу ${𝒯}_{\beta \alpha }$:

$W_{\alpha \to \beta }=|{𝒯}_{\beta \alpha }{|}^2$

Імовірність переходу в одиницю часу

Беручи до уваги, що енергія системи є інтегралом руху, матриця переходу записується у вигляді:

${𝒯}_{\beta \alpha }=-2\pi i{t}_{\beta \alpha }\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })$

Тоді загальна імовірність переходу за нескінченний проміжок часу $W_{\alpha \to \beta }$ дорівнює:

$W_{\alpha \to \beta }=(2\pi {)}^2|t_{\beta \alpha }{|}^2[\delta (E_{\alpha }-E_{\beta }){]}^2=(2\pi {)}^2|t_{\beta \alpha }{|}^2\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2\pi \hslash }\underset{-\frac{1}{2}T}{\overset{\frac{1}{2}T}{\int }}dt\exp [\frac{i}{\hslash }(E_{\alpha }-E_{\beta })t]=\frac{2\pi }{\hslash }|t_{\beta \alpha }{|}^2\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }T$

Імовірність переходу в одиницю часу $w_{\alpha \to \beta }$ одержимо, поділивши повну імовірність $W_{\alpha \to \beta }$ на повний проміжок часу $T$:

$w_{\alpha \to \beta }=\frac{2\pi }{\hslash }|t_{\beta \alpha }{|}^2\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })$

Історія

Матрицю розсіяння ввів у обіг в 1937 році Джон Вілер, а в 1940 році цю ідею підхопив Вернер Гейзенберг.

Див. також

• Оператор еволюції

Джерела

• Шаблон:Книга