Перетворення Лапласа

Перетворення Лапла́са — інтегральне перетворення, що пов'язує функцію $F(s)$ комплексної змінної (зображення) з функцією $f(x)$ дійсної змінної (оригінал). За його допомогою досліджують властивості динамічних систем і розв'язуються диференціальні і інтегральні рівняння.

Однією з особливостей перетворення Лапласа, які зумовили його широке поширення в наукових і інженерних розрахунках, є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналами відповідають простіші співвідношення між їхніми зображеннями. Так, згортка двох функцій зводиться в просторі зображень до операції множення, а лінійні диференціальні рівняння стають алгебраїчними.

Означення

Пряме перетворення Лапласа

Перетворенням Лапласа функції дійсної змінної $f(x)$, називається функція $F(s)$ комплексної змінної $s=\sigma +i\omega$, така що:

$F(s)=ℒ\{f(t)\}=\underset{0^{.}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\backslash limits}{e}^{-st}f(t)dt.$

Права частина цього виразу називається інтегралом Лапласа.

Обернене перетворення Лапласа

Оберненим перетворенням Лапласа функції комплексної змінної $F(s)$, називається функція $f(x)$ дійсної змінної, така що:

$f(x)={ℒ}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi i}\underset{{\sigma }_1-i\cdot \mathrm{\infty }}{\overset{{\sigma }_1+i\cdot \mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\backslash limits}{e}^{sx}F(s)ds,$

де ${\sigma }_1$ — деяке дійсне число. Права частина цього виразу називається інтегралом Бромвіча.

Двостороннє перетворення Лапласа

Шаблон:Докладніше Двостороннє перетворення Лапласа визначається таким чином:

$F(s)=ℒ\{f(x)\}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\backslash limits}{e}^{-sx}f(x)dx.$

Дискретне перетворення Лапласа

Розрізняють $D$-перетворення і $Z$-перетворення.

• $D$-перетворення

Нехай $x_d\left(t\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x\left(nT\right)\cdot \delta \left(t-nT\right)$ — дискретна функція, тобто значення цієї функції визначені тільки в дискретні моменти часу $nT$, де $n$ — ціле число, а $T$ — період дискретизації.
Тоді, застосовуючи перетворення Лапласа, одержуємо:
$𝒟\left\{x_d\left(t\right)\right\}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x\left(nT\right)\cdot e^{-snT}$

• $Z$-перетворення

Якщо використати наведену заміну змінних:
$z=e^{sT}$,
одержимо Z-перетворення:
$𝒵\left\{x_d\left(t\right)\right\}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x\left(nT\right)\cdot z^{-n}$

Властивості

• Абсолютна збіжність

Якщо інтеграл Лапласа є абсолютно збіжним при $\sigma ={\sigma }_0$, тобто існує границя

$\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{b}{\int }}\mathrm{\backslash limits}|f(x)|e^{-{\sigma }_{0}x}dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\backslash limits}|f(x)|e^{-{\sigma }_{0}x}dx$,

то він є збіжним абсолютно і рівномірно для $\sigma ⩾{\sigma }_0$ і $F(s)$ — аналітична функція при $\sigma ⩾{\sigma }_0$ ($\sigma =\mathrm{R}\mathrm{e}s$ — дійсна частина комплексної змінної $s$). Точна нижня грань ${\sigma }_a$ множини чисел $\sigma$, при яких ця умова виконується, називається абсцисою абсолютної збіжності перетворення Лапласа для функції $f(x)$.

• Достатні умови існування прямого перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа $ℒ\{f(x)\}$ існує в сенсі абсолютної збіжності в наступних випадках:

1. Випадок $\sigma ⩾0$: перетворення Лапласа існує, якщо існує інтеграл $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\backslash limits}|f(x)|dx$
2. Випадок $\sigma >{\sigma }_a$: перетворення Лапласа існує, якщо інтеграл $\underset{0}{\overset{x_1}{\int }}\mathrm{\backslash limits}|f(x)|dx$ існує для кожного скінченного $x_1>0$ и $|f(x)|⩽K{e}^{{\sigma }_{a}x}$ для $x>x_2⩾0$
3. Випадок $\sigma >0$ або $\sigma >{\sigma }_a$ (яка із границь більша): перетворення Лапласа існує,якщо існує перетворення Лапласа для функції $f^{\prime }(x)$ (похідна до $f(x)$) для $\sigma >{\sigma }_a$.

• Достатані умови існування оберненого перетворення Лапласа

1. Якщо $F(s)$ — аналітична функція для $\sigma ⩾{\sigma }_a$ і має порядок менше −1, то обернене перетворення для неї існує і є неперервним для всіх значень аргумента, причому ${ℒ}^{-1}\{F(s)\}=0$ для $t⩽0$

2. Нехай $F(s)=\phi [F_1(s),F_2(s),\dots ,F_n(s)]$, так щоб $\phi (z_1,z_2,\dots ,z_n)$ аналітична відносно кожного $z_k$ і рівна нулю для $z_1=z_2=\dots =z_n=0$, і $F_k(s)=ℒ\{f_k(x)\{(\sigma >{\sigma }_{ak}:k=1,2,\dots ,n)$, тоді обернене перетворення існує і відповідне пряме перетворення має абсцису абсолютної збіжності.

• Теорема про згортку

Перетворенням Лапласа згортки двох оригіналів є добуток зображень цих оригіналів.

$ℒ\{f(x)*g(x)\}=ℒ\{f(x)\}\cdot ℒ\{g(x)\}$

• Множення зображень

$f(x)g(0)+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{\backslash limits}f(x-\tau )g^{\prime }(\tau )d\tau ={ℒ}^{-1}\{sF(s)G(s)\}$

Ліва частина цього виразу називається інтегралом Дюамеля.

• Диференціювання і інтегрування оригіналу

Для перетворення Лапласа від похідної функції виконується рівність:

$ℒ\{f^{\prime }(x)\}=s\cdot F(s)-f(0^{+})$

Для похідної $n$-го порядку:

$ℒ\{f^{(n)}(x)\}=s^n\cdot F(s)-s^{n-1}f(0^{+})-\dots -f^{(n-1)}(0^{+})$

Перетворення Лапласа від інтеграла функції дорівнює:

$ℒ\{\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{\backslash limits}f(t)dt\}=\frac{F(s)}{s}$

• Дифренціювання та інтегрування зображення

Обернене перетворення Лапласа від похідної функції дорівнює:

${ℒ}^{-1}\{F^{\prime }(s)\}=-xf(x)$

Обернене перетворення Лапласа від похідної функції дорівнює:

${ℒ}^{-1}\{\underset{s}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\backslash limits}F(s)ds\}=\frac{f(x)}{x}$

• Запізнення оригіналів і зображень. Граничні теореми

Запізнення зображень:

$ℒ\{e^{ax}f(x)\}=F(s-a)$

${ℒ}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{ax}f(x)$

Запізнення оригіналів:

$ℒ\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}F(s)$

${ℒ}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=f(x-a)u(x-a)$

де $u(x)$ — Функція Гевісайда.

• Інші властивості

Лінійність

$ℒ\{af(x)+bg(x)\}=aF(s)+bG(s)$

Множення на число

$ℒ\{f(ax)\}=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)$

Пряме і обернене перетворення Лапласа деяких функцій

№	Функція	Часова область $x(t)={ℒ}^{-1}\{X(s)\}$	Частотна область $X(s)=ℒ\{x(t)\}$	Область збіжності
1	ідеальне запізнення	$\delta (t-\tau )$	$e^{-\tau s}$
1a	одиничний імпульс	$\delta (t)$	$1$	$\mathrm{\forall }s$
2	запізнення n-го порядку з частотним зсувом	$\frac{(t-\tau {)}^n}{n!}{e}^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	$\frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha {)}^{n+1}}$	$s>0$
2a	степенева n-го порядку	$\frac{t^n}{n!}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^{n+1}}$	$s>0$
2a.1	степенева q-го порядку	$\frac{t^q}{\mathrm{\Gamma }(q+1)}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^{q+1}}$	$s>0$
2a.2	одинична функція	$u(t)$	$\frac{1}{s}$	$s>0$
2b	одинична функція з запізненням	$u(t-\tau )$	$\frac{e^{-\tau s}}{s}$	$s>0$
2c	«сходинка швидкості»	$t\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^2}$	$s>0$
2d	n-го порядку з частотним зсувом	$\frac{t^n}{n!}{e}^{-\alpha t}\cdot u(t)$	$\frac{1}{(s+\alpha {)}^{n+1}}$	$s>-\alpha$
2d.1	експоненційне затухання	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s+\alpha }$	$s>-\alpha$
3	експоненційне наближення	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)$	$\frac{\alpha }{s(s+\alpha )}$	$s>0$
4	синус	$\sin (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$	$s>0$
5	косинус	$\cos (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$	$s>0$
6	гіперболічний синус	$\sinh (\alpha t)\cdot u(t)$	$\frac{\alpha }{s^2-{\alpha }^2}$	$s>|\alpha |$
7	гіперболічний косинус	$\cosh (\alpha t)\cdot u(t)$	$\frac{s}{s^2-{\alpha }^2}$	$s>|\alpha |$
8	експоненційно затухаючий синус	$e^{-\alpha t}\sin (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{\omega }{(s+\alpha {)}^2+{\omega }^2}$	$s>-\alpha$
9	експоненційно затухаючий косинус	$e^{-\alpha t}\cos (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{s+\alpha }{(s+\alpha {)}^2+{\omega }^2}$	$s>-\alpha$
10	корінь n-го порядку	$\sqrt[n]{t}\cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n}\cdot \mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{n})$	$s>0$
11	натуральний логарифм	$\ln \left(\frac{t}{t_0}\right)\cdot u(t)$	$-\frac{t_0}{s}[\ln (t_{0}s)+\gamma ]$	$s>0$
12	функція Бесселя першого роду порядку n	$J_n(\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{{\omega }^n{(s+\sqrt{s^2+{\omega }^2})}^{-n}}{\sqrt{s^2+{\omega }^2}}$	$s>0$ $(n>-1)$
13	модифікована функція Бесселя першого роду порядку n	$I_n(\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{{\omega }^n{(s+\sqrt{s^2-{\omega }^2})}^{-n}}{\sqrt{s^2-{\omega }^2}}$	$s>|\omega |$
14	функція Бесселя другого роду нульового порядку	$Y_0(\alpha t)\cdot u(t)$
15	модифікована функція Бесселя другого роду, нульового порядку	$K_0(\alpha t)\cdot u(t)$
16	функція помилок	$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(t)\cdot u(t)$	$\frac{e^{s^2/4}\mathrm{erfc}(s/2)}{s}$	$s>0$
Примітки до таблиці: $u(t)$ — Функція Гевісайда. $\delta (t)$ — дельта-функція. $\mathrm{\Gamma }(z)$ — гамма-функція. $\gamma$ — стала Ейлера — Маскероні. $t$, — дійсна змінна. $s$ — комплексна змінна. $\alpha$, $\beta$, $\tau$ и $\omega$ — дійсні числа. $n$ — ціле число.

Застосування перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа широко використовується в математиці, фізиці і техніці.

• Розв'язок систем диференціальних і інтегральних рівнянь — за допомогою перетворення Лапласа легко переходити від складних понять математичного аналізу до простіших алгебраїчних відношень.
• Розрахунок вихідних сигналів динамічних систем в теорії управління і обробці сигналів.
• Розрахунок електричних схем за допомогою операторного методу.
• Розв'язок нестаціонарних задач математичної фізики.

Джерела

• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:Грищенко.ТФКЗ
• Ван-дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа.-М., ИЛ, 1952
• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961
• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1974.-542 с.
• Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике.-М., ИЛ, 1948
• Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1964
• Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Операционное исчисление. Устойчивость движения.-М., Наука, 1964.-103 с.
• Микусинский Я. Операторное исчисление.-М., ИЛ, 1956
• Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1980.-336 с.

Інтернет-ресурси

• Операційне числення . Перетворення Лапласа.

Див. також

• Перетворення Фур'є
• Диференціальні рівняння
• Перетворення Бесселя
• Перетворення Мелліна
• Перетворення Карсона-Хевісайда