Прямий добуток груп

Шаблон:Теорія груп Прямий добуток груп — операція, яка за групами $G$ і $H$ будує нову групу, яку зазвичай позначають як $G\times H$. Ця операція є теоретико-груповим аналогом декартового добутку множин та одним з основних прикладів поняття прямого добутку.

У контексті абелевих груп прямий добуток іноді називають прямою сумою та позначають $G\oplus H$. Прямі суми відіграють важливу роль у класифікації абелевих груп: згідно з теоремою про структуру скінченнопороджених абелевих груп, будь-яку скінченнопороджену абелеву групу можна розкласти в пряму суму циклічних груп.

Визначення

Якщо $G$ і $H$ — групи з операціями $*$ і $\mathrm{△}$ відповідно, той прямий добуток $G\times H$ визначається так:Шаблон:Ordered listОтриманий алгебричний об'єкт задовольняє аксіомам групи:

Асоціативність бінарної операції

Бінарна операція на $G\times H$ асоціативна, що перевіряється покомпонентно.

Існування одиничного елемента

Прямий добуток має одиничний елемент $1_{G\times H}=(1_G,1_H)$, де $1_G$ — одиничний елемент $G$ і $1_H$ — одиничний елемент $H$.

Існування оберненого елемента

Обернений елемент до елемента $(g,h)$ у $G\times H$ — це пара $(g^{-1},h^{-1})$, де $g^{-1}$ є оберненим до $g$ в $G$, а $h^{-1}$ — оберненим до $h$ в $H$.

Приклади

• Нехай $ℝ$ — група дійсних чисел із операцією додавання. Тоді прямий добуток $ℝ\times ℝ$ — група всіх двокомпонентних векторів $(x,y)$ з операцією додавання векторів:

  $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$.

• Нехай ${ℝ}^{\mathbb{+}}$ — група додатних дійсних чисел із операцією множення. Тоді прямий добуток ${ℝ}^{\mathbb{+}}\times {ℝ}^{\mathbb{+}}$ — група всіх векторів у першій координатній чверті з операцією покомпонентного множення:

  $(x_1,y_1)\times (x_2,y_2)=(x_1\times x_2,y_1\times y_2)$.

• Нехай $G$ і $H$ — циклічні групи, кожна з яких містить два елементи:

• $G$

  *	1	a
  1	1	a
  a	a	1

• $H$

  *	1	b
  1	1	b
  b	b	1

Тоді прямий добуток $G\times H$ ізоморфний 4-групі Кляйна:

$G\times H$

*	(1,1)	(a,1)	(1, b)	(a, b)
(1,1)	(1,1)	(a,1)	(1, b)	(a, b)
(a,1)	(a,1)	(1,1)	(a, b)	(1, b)
(1, b)	(1, b)	(a, b)	(1,1)	(a,1)
(a, b)	(a, b)	(1, b)	(a,1)	(1,1)

Алгебрична структура

Нехай $G$ і $H$ — групи, а $P=G\times H$. Розглянемо наступні дві підмножини $P$:

$G^{\prime }=\{(g,1):g\in G\}$ і $H^{\prime }=\{(1,h):h\in H\}$.

Обидві ці підмножини є підгрупами $P$, при цьому $G^{\prime }$ канонічно ізоморфна $G$, а $H^{\prime }$ канонічно ізоморфна $H$. Якщо ми ототожнимо їх із $G$ і $H$ відповідно, ми зможемо вважати, що прямий добуток $P$ містить початкові групи $G$ і $H$ як підгрупи.

Зазначені підгрупи мають такі три важливі властивості:

1. Перетин $G\cap H$ тривіальний.
2. Кожен елемент із $P$ можна однозначно подати як добуток елемента з $G$ та елемента з $H$.
3. Кожен елемент із $G$ комутує з кожним елементом із $H$.

Разом ці три властивості повністю визначають алгебричну структуру прямого добутку $P$. Іншими словами, якщо $P$ — будь-яка група, що має підгрупи $G$ і $H$, що задовольняють зазначені вище властивості, то $P$ ізоморфна прямому добутку $G$ і $H$. У цій ситуації $P$ іноді називають внутрішнім прямим добутком її підгруп $G$ і $H$.

У деяких випадках третя з наведених властивостей замінюється такою:

3′. $G$ і $H$ нормальні в $P$.

Ця властивість еквівалентна властивості 3, оскільки елементи двох нормальних підгруп із тривіальним перетином обов'язково комутують, що можна довести, розглядаючи комутатор $[g,h]$, де $g$ — будь-який елемент у $G$, а $h$ — будь-який елемент у $H$.

Задання прямого добутку

Алгебричну структуру $G\times H$ можна використати для задання прямого добутку за допомогою задань $G$ і $H$. Зокрема, припустимо, що

$G=⟨S_G\mid R_G⟩$ і $H=⟨S_H\mid R_H⟩,$

де $S_G$ і $S_H$ — (неперетинні) породжувальні множини групи, а $R_G$ і $R_H$ — множини співвідношень між породжувальними. Тоді

$G\times H=⟨S_G\cup S_H\mid R_G\cup R_H\cup R_P⟩$

де $R_P$ — множина співвідношень, які визначають, що кожен елемент у $S_G$ комутує з кожним елементом у $S_H$.

Наприклад, якщо

$G=⟨a\mid a^3=1⟩$ і $H=⟨b\mid b^5=1⟩$

то

$G\times H=⟨a,b\mid a^3=1,b^5=1,ab=ba⟩.$

Нормальна структура

Як згадано вище, підгрупи $G$ і $H$ нормальні в $G\times H$. Зокрема, можна визначити функції ${\pi }_G:G\times H\to G$ і ${\pi }_H:G\times H\to H$ формулами

${\pi }_G(g,h)=g$ і ${\pi }_H(g,h)=h$.

Тоді ${\pi }_G$ і ${\pi }_H$ є гомоморфізмами проєкції з ядрами $H$ і $G$ відповідно.

З цього виходить що $G\times H$ — розширення $G$ за допомогою $H$ (або навпаки). У випадку, коли $G\times H$ — скінченна група, композиційні фактори групи $G\times H$ є точно об'єднанням композиційних факторів групи $G$ та композиційних факторів групи $H$.

Інші властивості

Універсальна властивість

Прямий добуток $G\times H$ можна схарактеризувати такою універсальною властивістю. Нехай ${\pi }_G:G\times H\to G$ і ${\pi }_H:G\times H\to H$ — гомоморфізм проєкції. Тоді для будь-якої групи $P$ та будь-яких гомоморфізмів $f_G:P\to G$ і $f_H:P\to H$ існує єдиний гомоморфізм $f:P\to G\times H$, що відповідає такій комутативній діаграмі:

Іншими словами, гомоморфізм $f$ задається формулою

$f(p)=(f_G(p),f_H(p))$.

Це окремий випадок універсальної властивості для добутків у теорії категорій.

Підгрупи

Якщо $A$ — підгрупа $G$ і $B$ — підгрупа $H$, то прямий добуток $A\times B$ є підгрупою $G\times H$. Наприклад, ізоморфною копією $G$ в $G\times H$ є добуток $G\times \{1\}$, де $\{1\}$ — тривіальна підгрупа $H$.

Якщо $A$ і $B$ нормальні, то $A\times B$ — нормальна підгрупа в $G\times H$. Більш того, фактор-група прямих добутків ізоморфна прямому добутку часток:

$(G\times H)/(A\times B)\cong (G/A)\times (H/B)$.

Зверніть увагу, що, взагалі кажучи, неправда, що кожна підгрупа з $G\times H$ є добутком підгрупи з $G$ та підгрупи з $H$. Наприклад, якщо $G$ — будь-яка нетривіальна група, то добуток $G\times G$ має Шаблон:Не перекладено

$\mathrm{△}=\{(g,g):g\in G\}$

яка не є прямим добутком двох підгруп $G$.

Підгрупи прямих добутків описує Шаблон:Не перекладено.

Спряженість та централізатори

Два елементи $(g_1,h_1)$ і $(g_2,h_2)$ спряжені в $G\times H$ тоді й лише тоді, коли $g_1$ і $g_2$ спряжені в $G$ і одночасно $h_1$ і $h_2$ спряжені в $H$. Звідси випливає, що кожен клас спряженості в $G\times H$ є декартовим добутком класу спряженості в $G$ і класу спряженості в $H$.

Аналогічно, якщо $(g,h)\in G\times H$, то централізатор $(g,h)$ є добутком централізаторів $g$ і $h$:

$C_{G\times H}(g,h)=C_G(g)\times C_H(h)$.

Також центр $G\times H$ є добутком центрів $G$ і $H$:

$Z(G\times H)=Z(G)\times Z(H)$.

Нормалізатори поводяться складніше, оскільки всі підгрупи прямих добутків самі розкладаються на прямі добутки.

Автоморфізми та ендоморфізми

Якщо $\alpha$ — автоморфізм $G$, а $\beta$ — автоморфізм $H$, то добуток функцій $\alpha \times \beta :G\times H\to G\times H$, що визначається формулою

$(\alpha \times \beta )(g,h)=(\alpha (g),\beta (h))$

є автоморфізмом $G\times H$. З цього випливає, що $\mathrm{Aut}(G\times H)$ містить у собі підгрупу, ізоморфну прямому добутку $\mathrm{Aut}(G)\times \mathrm{Aut}(H)$.

У загальному випадку неправда, що кожен автоморфізм $G\times H$ має вищезгаданий вигляд. Наприклад, якщо $G$ — будь-яка група, то існує автоморфізм $\sigma$ групи $G\times G$, який міняє місцями два множники, тобто

$\sigma (g_1,g_2)=(g_2,g_1)$.

Інший приклад: групою автоморфізмів групи $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ є $GL(2,\mathbb{Z})$ є група всіх матриць розміру $2\times 2$ зі цілочисельними значеннями та визначником, рівним $\pm 1$. Ця група автоморфізмів нескінченна, але лише скінченна кількість автоморфізмів задаються як $\alpha \times \beta$.

Загалом, кожен ендоморфізм $G\times H$ можна записати у вигляді матриці розміру $2\times 2$

$\left[\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right]$

де $\alpha$ — ендоморфізм $G$, $\delta$ — ендоморфізм $H$, а $\beta :H\to G$ і $\gamma :G\to H$ — гомоморфізми. Ця матриця повинна мати властивість, що кожен елемент образу $\alpha$ комутує з кожним елементом образу $\beta$, а кожен елемент образу $\gamma$ комутує з кожним елементом образу $\delta$.

Коли $G$ і $H$ — нерозкладні групи з тривіальними центрами, то група автоморфізмів прямого добутку відносно проста: $\mathrm{Aut}(G)\times \mathrm{Aut}(H)$, якщо $G$ і $H$ не ізоморфні, та $\mathrm{Aut}(G)wr2$, якщо $G\cong H$, де $wr$ позначає Шаблон:Не перекладено. Це частина Шаблон:Не перекладено, в загальному випадку вона справедлива для скінченних прямих добутків.

Узагальнення

Скінченні прямі добутки

Можна знайти прямий добуток більш ніж двох груп одночасно. Для скінченної послідовності груп $G_1,...,G_n$ прямий добуток

$\prod _{i=1}^n{G}_i=G_1\times G_2\times \cdots \times G_n$

визначають так:

Він має багато властивостей, які має прямий добуток двох груп, і може бути алгебрично схарактеризованим в аналогічний спосіб.

Нескінченні прямі добутки

Також можна отримати прямий добуток нескінченної кількості груп. Для нескінченної послідовності груп $G_1,G_2,...$ його можна визначити так само, як для скінченного прямого добутку, з елементами нескінченного прямого добутку, що є нескінченними кортежами.

У загальнішому сенсі, для індексованого сімейства груп $\{G_i{\}}_{i\in I}$ прямий добуток ${\mathrm{\Pi }}_{i\in I}{G}_i$ визначають так:

На відміну від скінченного прямого добутку, нескінченний прямий добуток ${\mathrm{\Pi }}_{i\in I}{G}_i$ не породжується елементами ізоморфних підгруп $\{G_i{\}}_{i\in I}$. Натомість ці підгрупи породжують підгрупу прямого добутку, відому як нескінченна пряма сума, яка складається з усіх елементів, що мають лише скінченне число неодиничних компонентів.

Інші добутки

Напівпрямі добутки

Шаблон:Див. також Нагадаємо, що група $P$ з підгрупами $G$ і $H$ ізоморфна прямому добутку $G$ і $H$, якщо вона задовольняє такі три умови:

1. Перетин $G\cap H$ є тривіальною групою.
2. Кожен елемент із $P$ можна однозначно подати як добуток елемента з $G$ та елемента з $H$.
3. І $G$, і $H$ є нормальними в $P$.

Напівпрямий добуток $G$ і $H$ отримують ослабленням третьої умови, так що тільки одна з двох підгруп $G$, $H$ має бути нормальною. Отриманий добуток, як і раніше, складається з упорядкованих пар $(g,h)$, але з трохи складнішим правилом множення.

Також можна повністю послабити третю умову, не вимагаючи від жодної з підгруп нормальності. У цьому випадку групу $P$ називають Шаблон:Не перекладено груп $G$ і $H$.

Вільні добутки

Вільний добуток груп $G$ і $H$, що зазвичай позначають як $G*H$, схожий на прямий добуток, за винятком того, що підгрупи $G$ і $H$ групи $G*H$ не мусять комутувати. А саме, якщо

$G=⟨S_G|R_G⟩$ і $H=⟨S_H|R_H⟩$,

є заданнями $G$ і $H$, то

$G*H=⟨S_G\cup S_H|R_G\cup R_H⟩$.

На відміну від прямого добутку елементів вільного добутку не можна представити впорядкованими парами. До того ж вільний добуток будь-яких двох нетривіальних груп нескінченний. Дивно, але вільний добуток є кодобутком у категорії груп.

Підпрямі добутки

Якщо $G$ і $H$ — групи, то підпрямим добутком $G$ і $H$ є будь-яка підгрупа $G\times H$, яка відображається сюр'єктивно в $G$ і $H$ під впливом гомоморфізмів проєкції. Згідно з Шаблон:Не перекладено, кожен підпрямий добуток розшарований.

Розшаровані добутки

Нехай $G$, $H$ і $Q$ — групи, і нехай $\phi :G\to Q$ і $\chi :H\to Q$ — гомоморфізми. Розшарований добуток $G$ і $H$ над $Q$ являє собою таку підгрупу $G\times H$:

$G{\times }_{Q}H=\{(g,h)\in G\times H:\phi (g)=\chi (h)\}$.

Якщо $\phi :G\to Q$ і $\chi :H\to Q$ — епіморфізми, то це підпрямий добуток.

Література

Українською

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite book

Іншими мовами

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.