Розв'язання рівнянь

Шаблон:Вичитати У математиці розв'язати рівняння означає знайти всі значення невідомої змінної (числа, функції, множини тощо) такі, що, при підстановці їх в задане рівняння, перетворюють його на правильну рівність, або довести, що таких значень невідомої змінної не існує.

Ці значення невідомої змінної рівняння називаються розв'язками або коренями рівняння.

Рівняння може містити одну або декілька невідомих змінних у виразах, що розділені знаком рівності.

Іншими словами, розв'язком є вираз або сукупність виразів (по одному для кожного невідомого), така, що за умови заміни ними невідомих, рівняння перетворюється на рівність.

Квадратична формула — символьний розв'язок для квадратного рівняння. Задавши відомі значення коефіцієнтів, можна отримати числовий розв'язок для квадратичної формули, що відповідає цим коефіцієнтам.

Розв'язок рівняння може бути числовим або символьним. Числовий розв'язок подається лише у вигляді чисел або числового виразу (а не як вираз за участю змінних).

Символьний розв'язок рівняння являє собою вираз або вирази, які містять відомі змінні або змінні, які не були присутні в початковому рівнянні (розв'язок в параметричному вигляді).

Приклад

Наприклад, в рівнянні з двома змінними: Шаблон:Math невідомою змінною є Шаблон:Mvar; його розв'язком є вираз Шаблон:Math, оскільки підставивши Шаблон:Math замість Шаблон:Math в задане рівняння, отримаємо в результаті (після розкриття дужок та зведенні подібних членів) правильну рівність:

Шаблон:Math,

Шаблон:Math.

Крім того, за невідому змінну можна прийняти Шаблон:Math, тоді рівняння матиме розв'язок Шаблон:Math.

Також Шаблон:Math і Шаблон:Math обидва можуть розглядатися як невідомі, тоді рівняння матиме множину розв'язків:

Шаблон:Math або в іншому вигляді: $\{\begin{array}{c}x=t+1\\ y=t\end{array}$, що є символьним (параметризованим) розв'язком цього рівняння. Якщо підставити в цей символьний розв'язок конкретні значення чисел, завжди можна отримати числовий розв'язок; наприклад, значення Шаблон:Math дає Шаблон:Math (тобто, Шаблон:Math і Шаблон:Math), а значення Шаблон:Math дає Шаблон:Math.

Які змінні в рівнянні є відомими, а які невідомими, визначається в формулюванні завдання за допомогою, наприклад, таких фраз: «рівняння в Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar» або «вирішити для Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar», які вказують, що в данному випадку невідомими є змінні Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar.

Для позначення невідомих змінних зазвичай заведено використовувати літери латинського алфавіту Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar, …

Для позначення відомих, частіше використовують літери Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar, …, які часто називають параметрами. Так роблять при розгляді поліноміальних рівнянь, наприклад, квадратних рівнянь. Однак, для деяких завдань всі змінні можуть грати будь-яку роль.

Завдання на вирішення рівняння може вимагати знайти один (будь-який придатний) розв'язок або декілька (чи всі) розв'язки рівняння. Множина всіх коренів рівняння називається множиною розв'язків.

Також може ставитися завдання по знаходженню найкращого (за якимсь параметром) з усіх розв'язків рівняння. Задачі такого роду називають задачами оптимізації. Знаходження розв'язків задач оптимізації, як правило, не називають «розв'язуванням рівняння».

Огляд

У загальному випадку запис рівняння може мати вигляд:

$f(x_1,\dots ,x_n)=c,$

де Шаблон:Math — невідомі, і Шаблон:Math — константа. Розв'язки цієї ситуації є елементами оберненого відображення.

$f^{-1}(c)=\{(a_1,\dots ,a_n)\in D\mid f(a_1,\dots ,a_n)=c\},$

де Шаблон:Math є областю визначення функції Шаблон:Mvar. Зверніть увагу на те, що множина розв'язків може бути порожньою множиною (коли немає розв'язків), сінґлетоном (тобто, рівно однин розв'язок), скінченною або нескінченною (існує декілька або ж безліч розв'язків).

Наприклад, рівняння:

$3x+2y=21z,$

з невідомими Шаблон:Math і Шаблон:Math, може бути замінене еквівалентним рівнянням за допомогою перетворення, що зберігає його рівнозначність.

Наприклад, якщо відняти Шаблон:Math з обох частин рівняння, отримаємо:

$3x+2y-21z=0$

У даному конкретному випадку розв'язок цього рівняння не буде єдиним, а саме, існує нескінченна множина розв'язків, які можна записати так:

$\{(x,y,z)\mid 3x+2y-21z=0\}.$

Одним частковим розв'язком рівняння є Шаблон:Math. Також його розв'язками можуть бути — Шаблон:Math і Шаблон:Math.

Множина розв'язків цього рівняння — це площина в тривимірному просторі, і три точки з наведеними координатами належать цій площині.

Множина розв'язків

Множина розв'язків рівняння Шаблон:Math утворює еліпс, якщо інтерпретувати його як множину пар декартових координат.

Множина розв'язків даної множини рівнянь або нерівностей — це сукупність усіх її розв'язків, кожен з яких є кортежем значень, по одному для кожного невідомого, що задовольняє всі рівняння або нерівності. Якщо множина розв'язків порожня, то немає значень невідомих, які задовольняють одночасно всі рівняння та нерівності.

Для простого прикладу розглянемо рівняння

$x^2=2.$

Це рівняння можна розглядати як діофантове рівняння, тобто рівняння, для якого шукаються лише цілочисельні розв'язки. У цьому випадку множиною розв'язків є порожня множина, оскільки 2 не є квадратом цілого числа. Однак, якщо шукати дійсні розв'язки, є два розв'язки, $\sqrt{2}$ та $-\sqrt{2}$.

Коли рівняння містить декілька невідомих змінних або коли є декілька рівнянь, але кількість невідомих, більша за кількість рівнянь, тоді множина розв'язків часто є нескінченною. У цьому випадку неможливо перерахувати розв'язки. Для запису розв'язків часто зручно використовувати параметризацію, яка полягає у вираженні розв'язків через деякі невідомі або допоміжні змінні. Це завжди можливо, коли всі рівняння є лінійними.

Такі нескінченні множини розв'язків можна природно інтерпретувати як геометричні фігури, такі як прямі, криві (див. малюнок), площини та, загальніше, алгебраїчні многовиди чи многовиди. Зокрема, алгебричну геометрію можна розглядати як вивчення множин розв'язків алгебричних рівнянь.

Ми вже бачили приклад множини розв'язків, що може описувати поверхню. Наприклад, при вивченні елементарної математики відомо, що множина розв'язків рівняння у вигляді ax + by = c, де а, b і c є сталими дійсними числами, а також a і b не дорівнюють нулю, утворює пряму у векторному просторі  R². Тим не менш, не завжди буває так, що множину розв'язків можна легко представити — наприклад, розв'язком рівняння, що має вигляд: ax + by + cz + dw = k (a, b, c, d, і k дійсні константи) є гіперплощина.

Методи розв'язку

Методи розв'язку рівнянь, як правило, залежать від типу рівняння, також і від виду виразів, що пов'язують невідомі і відомі змінні в рівнянні, так і від області визначення функцій, що містять невідомі змінні рівняння. Різноманітність можливих типів рівнянь є досить великою, і тому відповідних методів їх розв'язку також багато. Декілька конкретних типів наведено нижче.

В цілому, для окремих класів рівнянь може не існувати відомого систематизованого методу розв'язку (алгоритму), який гарантовано буде розв'язувати поставлену задачу. Це може бути пов'язано з відсутністю необхідних математичних знань на цей час; деякі математичні задачі були вирішені тільки після багатовікових зусиль, або після впровадження нових математичних теорій чи апаратів. Але це також може означати, що такого методу розв'язку і взагалі не існує, адже, як відомо, деякі математичні задачі не можливо розв'язати за допомогою якогось чіткого алгоритму. Наприклад, нерозв'язність Шаблон:Нп була доведена в 1970 році.

Для деяких класів рівнянь були знайдені алгоритми їх розв'язку, деякі з яких були реалізовані й додані до чинних систем комп'ютерної алгебри, але часто не вимагають застосування складніших підходів ніж прості розрахунки, які можна виконати за допомогою олівця та паперу. У деяких інших випадках відомі евристичні методи, що часто бувають успішними, але не гарантують успіху.

Метод перебору, метод проб і помилок, здогадка

Якщо множина розв'язків рівняння обмежена скінченною множиною (як це відбувається, наприклад, для рівнянь модульної арифметики), або може бути обмежена скінченним числом можливостей (як у випадку деяких діофантових рівнянь), то множину розв'язків можна знайти за допомогою повного перебору, тобто шляхом тестування кожного з можливих значень (розв'язків-кандидатів). Однак може трапитися така ситуація, що кількість можливостей, які слід розглядати, хоча і скінченна, але настільки величезна, що вичерпний пошук практично нездійсненний; це, по суті, є вимогою для сильних методів шифрування.

Іноді розв'язання задачі можна знайти методом проб і помилок. Наприклад, якщо рівняння за формою має схожість з іншим рівнянням з відомим розв'язком, то можна зробити здогадку про розв'язок заданого рівняння. І якщо винесене припущення при тестуванні виявляється неправильним (тобто не є розв'язком рівняння), то вивчення того факту, чому саме це припущення не є розв'язком, також може привести до здогадки щодо правильного розв'язку.

Елементарна алгебра

Рівняння, що складаються із лінійних або простих раціональних функцій з одним дійсним невідомим, скажімо Шаблон:Mvar, такі як

$8x+7=4x+35\text{або}\frac{4x+9}{3x+4}=2,$

можуть бути розв'язані за допомогою методів елементарної алгебри.

Системи лінійних рівнянь

Невеликі системи лінійних рівнянь можливо розв'язувати методами елементарної алгебри, аналогічно звичайним рівнянням. Для розв'язку великих систем використовуються алгоритми засновані на методах лінійної алгебри.

Алгебраїчні рівняння

Для алгебраїчних (поліноміальних) рівнянь до четвертого степеня включно можливо знайти точний розв'язок у вигляді замкнутих аналітичних виразів за допомогою алгебраїчних методів. Найпростішим прикладом є квадратична формула, розв'язок квадратних рівнянь.

Розв'язок кубічних рівнянь можна знайти за формулою Кардано, розв'язок рівнянь четвертого степеня — методом Феррарі.

Поліноміальні рівняння зі степенем п'ять або вище в загальному випадку не мають коренів у вигляді замкнутих аналітичних виразів і їх розв'язок передбачає застосування загальних чисельних методів (див нижче) або використання спеціальних функцій, таких як корінь Бринга.

Хоча деякі конкретні випадки можуть бути розв'язані алгебраїчно. Наприклад, рівняння

$x^5+5x^4-10x^3-10x^2+5x+1=0$

має корінь $x=-1$ (За допомогою Шаблон:Нп ). А отже, вираз в лівій частині може бути розкладений на множники:

$(x+1)\cdot (x^4+4x^3-14x^2+4x+1)=0$

Багаточлен четвертого степеня в свою чергу можна розкласти на добуток двох квадратних багаточленів:

$(x+1)\cdot (x^2+2(\sqrt{5}+1)x+1)\cdot (x^2-2(\sqrt{5}-1)x+1)=0$

Таким чином, задане рівняння п'ятого степеня має корені:

$x_1=-1$

$x_{2,3}=\sqrt{5}-1\pm \sqrt{5-2\cdot \sqrt{5}}$

$x_{4,5}=-\sqrt{5}-1\pm \sqrt{5+2\cdot \sqrt{5}}$

Триквадратне рівняння

$a{x}^6+b{x}^3+c=0,$

може бути зведено до квадратного рівняння за допомогою підстановки Шаблон:Math.

Діофантові рівняння

Діофантові рівняння — це рівняння, розв'язок яких має бути в цілих числах. У деяких випадках можливо застосувати метод перебору, який згадувався вище. У деяких інших випадках, зокрема, якщо рівняння має одне невідоме, можна розв'язати рівняння для раціональних багатозначних невідомих (дивитись Шаблон:Нп), а потім знайти розв'язки діофантового рівняння, обмежуючи множину розв'язків до множини розв'язків з цілими значеннями. Наприклад, поліноміальне рівняння

$2x^5-5x^4-x^3-7x^2+2x+3=0$

має раціональні розв'язки Шаблон:Math і Шаблон:Math, а коли розглядається як діофантове рівняння, воно має єдиний розв'язок Шаблон:Math.

Загалом, діофантові рівняння є одними з найскладніших рівнянь для розв'язку.

Обернені функції

Шаблон:See also У найпростішому випадку функції однієї змінної, скажімо, Шаблон:Math, ми можемо розв'язати рівняння виду

Шаблон:Math, де Шаблон:Mvar є сталою шляхом розгляду того, що відомо як обернена функція Шаблон:Mvar.

З огляду на функцію Шаблон:Math, оберненою функцією, що позначається як Шаблон:Math та визначається як Шаблон:Math, є функція така, що

$h^{-1}(h(x))=h(h^{-1}(x))=x.$

Тепер, якщо застосувати обернену функцію до обох частин рівняння Шаблон:Math, де Шаблон:Mvar є сталою величиною в Шаблон:Mvar, ми отримуємо

$\begin{array}{cc}{h}^{-1}(h(x))& =h^{-1}(c)\\ x& =h^{-1}(c)\\ \end{array}$

і ми знайшли розв'язок рівняння. Проте, в залежності від функції, обернену функцію може бути важко знайти або вона не може бути функцією від усієї множини В (тільки на деякій підмножині) і має багато значень в якійсь точці.

Якщо потрібно знайти тільки один розв'язок, а не всю множину розв'язків, то достатньо, щоб виконувалася функціональна тотожність

$h(h^{-1}(x))=x.$

Наприклад, проєкція Шаблон:Math, яка визначається як Шаблон:Math, не має будь-яких обернених функцій, але можна визначити функцію Шаблон:Math як Шаблон:Math. Тому можна рівняння

Шаблон:Math

розв'язується наступним чином: $(x,y)={\pi }_1^{-1}(c)=(c,0).$

Приклади обернених функцій містять корінь Шаблон:Mvar-го степеня (що є оберненим до Шаблон:Math), логарифм (обернена до Шаблон:Math), обернені тригонометричні функції і W-функцію Ламберта (обернена до Шаблон:Math).

Розкладання на множники

Якщо вираз лівої частини рівняння Шаблон:Math можна розкласти на множники у вигляді Шаблон:Math, то множина розв'язків вихідного рівняння є поєднанням множин розв'язків двох рівнянь Шаблон:Math і Шаблон:Math. Наприклад, рівняння:

$\mathrm{t}\mathrm{g}x+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x=2$

можна переписати, використовуючи тотожність $\mathrm{t}\mathrm{g}x\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x=1$, наступним чином:

$\frac{{\mathrm{t}\mathrm{g}}^{2}x-2\mathrm{t}\mathrm{g}x+1}{\mathrm{t}\mathrm{g}x}=0,$

Яке можна розкласти на множники наступним чином:

$\frac{(\mathrm{t}\mathrm{g}x-1{)}^2}{\mathrm{t}\mathrm{g}x}=0.$

Розв'язання, таким чином, буде еквівалентне розв'язанню рівняння $\mathrm{t}\mathrm{g}x=1$, і, таким чином, є множиною:

$x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k=\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots .$

Чисельні методи

Приклад використання метода Ньютона-Рафсона для розв'язування рівняння $f(x)=0$, що еквівалентно знаходженню кореня функції $f$ (де $f$ — зображена на графіку функція). Метод Ньютона-Рафсона є процедурою, що дозволяє знайти числовий розв'язок.

Іноді рівняння, що виникають при вирішенні практичних задач, не мають точного аналітичного розв'язку. Або корені рівняння мають надто складні аналітичні вирази, що мало придатні для знаходження їх числових значень. Також при розв'язку складних рівнянь дійсних або комплексних змінних, прості методи розв'язку рівняння можуть зазнати невдачі.

В таких випадках застосовують ітеративні методи пошуку наближеного рішення. Можуть бути використані такі методи як метод простої ітерації, метод Ньютона-Рафсона, або інші чисельні методи для пошуку наближеного числового розв'язку рівняння, якого для практичних цілей може бути цілком достатньо.

Матричні рівняння

Рівняння, що містять матриці і вектори дійсних чисел часто можуть бути розв'язані за допомогою методів лінійної алгебри.

Диференціальні рівняння

Існує величезна кількість методів розв'язування різних видів диференціальних рівнянь, як чисельним, так і аналітичним способами. Конкретний клас задач, які розглядаються в цьому напрямку належить до інтегрування, і аналітичні розв'язки такого роду задач тепер називають символьним інтегруванням. Розв'язки диференціальних рівнянь можуть бути неявними або явними.

Див. також

• Сторонні і відсутні розв'язки
• Система рівнянь
• Прирівнювання коефіцієнтів
• Шаблон:Нп
• Уніфікація (інформатика) — розв'язування рівнянь між символьними виразами