Квадратична формула

Коріння квадратичної функції Шаблон:Math — це місця, де граф перетинає вісь Шаблон:Mvar, значення Шаблон:Math та Шаблон:Math. Їх можна знайти за допомогою квадратичної формули.

В елементарній алгебрі, квадратична формула (англ. Quadratic formula) — це вираз замкненої форми, що описує розв'язки задачі квадратного рівняння. Інші способи розв'язання квадратних рівнянь, такі як виділення квадрату, дають однакові рішення.

Дано загальне квадратне рівняння виду Шаблон:Tmath, де Шаблон:Tmath представляє невідоме, а коефіцієнти Шаблон:Tmath, Шаблон:Tmath і Шаблон:Tmath представляють відомі дійсні або комплексні числа при Шаблон:Tmath. Значення Шаблон:Tmath, яке називається коренем або нулем, можна знайти використовуючи квадратичну формулу,

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},$

де символ плюс-мінус «Шаблон:Tmath» вказує на те, що рівняння має два корені. Ось вони, окремо написані:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Частина Шаблон:Tmath відома як дискримінант квадратного рівняння. Якщо коефіцієнти Шаблон:Tmath, Шаблон:Tmath та Шаблон:Tmath є дійсними числами тоді при Шаблон:Tmath, рівняння має два різні дійсні корені; при Шаблон:Tmath, рівняння має один дійсний повторюваний корінь; і при Шаблон:Tmath, рівняння не має дійсних коренів, але має два різні комплексні корені, які є комплексно спряженими один одному.

Геометрично, корені представляють собою значення Шаблон:Tmath, при яких графік квадратичної функції Шаблон:Tmath, парабола, перетинає вісь Шаблон:Tmath: х-перетинів графіку. Квадратична формула також може бути використана для визначення вісь симетрії параболи.

Виведення шляхом виділення квадрату

Щоб виділити квадрат, сформуйте квадратний двочлен у лівій частині квадратного рівняння, з якого можна знайти розв'язок, взявши квадратний корінь з обох сторін.

Стандартний спосіб виведення квадратичної формули полягає в застосуванні методу виділення квадрату до загального квадратного рівняння Шаблон:Tmath. Ідея полягає в тому, щоб перетворити рівняння до вигляду Шаблон:Tmath для деяких виразів Шаблон:Tmath та Шаблон:Tmath, записаних через коефіцієнти, взяти квадратний корінь з обох сторін, а потім виділити Шаблон:Tmath.

Почнемо з ділення рівняння на квадратичний коефіцієнт Шаблон:Tmath, що дозволено, оскільки Шаблон:Tmath не є нулем. Потім ми віднімаємо постійний член Шаблон:Tmath, щоб виділити його в правій частині:

$\begin{array}{cc}a{x}^{2\phantom{|}}+bx+c& =0\\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}& =0\\ x^2+\frac{b}{a}x& =-\frac{c}{a}.\end{array}$

Ліва частина тепер має вигляд Шаблон:Tmath, і ми можемо «виділити квадрат», додавши константу Шаблон:Tmath для отримання двочлена в квадраті Шаблон:Tmath​Шаблон:Tmath. У цьому прикладі ми додаємо Шаблон:Tmath в обидві сторони, щоб можна було факторизувати ліву частину (див. зображення):

$\begin{array}{cc}{x}^2+2\left(\frac{b}{2a}\right)x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2& =-\frac{c}{a}+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2\\ {(x+\frac{b}{2a})}^2& =\frac{b^2-4ac}{4a^2}.\end{array}$

Оскільки ліва частина тепер є ідеальним квадратом, ми можемо легко взяти квадратний корінь з обох сторін:

$x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Нарешті, віднімання Шаблон:Tmath з обох сторін для виділення Шаблон:Tmath дає квадратичну формулу:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Еквівалентні формулювання

Квадратична формула може бути еквівалентно записана за допомогою різних альтернативних виразів, наприклад

$x=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{c}{a}},$

який можна отримати, спочатку розділивши квадратне рівняння на Шаблон:Tmath, в результаті чого отримаємо Шаблон:Tmath, а потім підставляємо нові коефіцієнти у стандартну квадратичну формулу. Оскільки цей варіант дозволяє повторно використовувати проміжно розраховану кількість Шаблон:Tmath, це може дещо зменшити кількість арифметики.

Квадратний корінь у знаменнику

Менш відома квадратична формула, вперше згадана Джуліо Фаньяно, описує ті ж самі корені за допомогою рівняння з квадратним коренем у знаменнику (припускаючи, що Шаблон:Tmath):

$x=\frac{2c}{-b\mp \sqrt{b^2-4ac}}.$

Тут знак мінус-плюс «Шаблон:Tmath» вказує на те, що двома коренями квадратного рівняння, в тому ж порядку, що і у стандартної квадратичної формули, є

$x_1=\frac{2c}{-b-\sqrt{b^2-4ac}},x_2=\frac{2c}{-b+\sqrt{b^2-4ac}}.$

Див. також

• Основна теорема алгебри
• Теорема Вієта

Примітки

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation