Теорема Вієта

Теоре́ма Віє́та — формули, названі на честь Франсуа Вієта, що виражають коефіцієнти многочлена через його корені.

Ці формули зручно використовувати для перевірки правильності знаходження коренів та для задання многочлена з визначеними властивостями.

Формули

Якщо $x_1,x_2,\dots ,x_n$ — корені многочлена $x^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+...+a_n$ (кожен корінь присутній відповідно до його кратності),
то коефіцієнти $a_1,\dots ,a_n$ є елементарними симетричними многочленами від коренів, а саме:

$\begin{array}{ccc}{a}_1& =& -(x_1+x_2+\dots +x_n)\\ a_2& =& x_1{x}_2+x_1{x}_3+\dots +x_1{x}_n+x_2{x}_3+\dots +x_{n-1}{x}_n\\ a_3& =& -(x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+\dots +x_{n-2}{x}_{n-1}{x}_n)\\ \cdots & & \cdots \\ a_{n-1}& =& (-1{)}^{n-1}(x_1{x}_2\dots x_{n-1}+x_1{x}_2\dots x_{n-2}{x}_n+\dots +x_2{x}_3...x_n)\\ a_n& =& (-1{)}^n{x}_1{x}_2\dots x_n\end{array}.$

Іншими словами $(-1{)}^k{a}_k$ дорівнює сумі всіх можливих $k$-добутків із коренів.

Якщо старший коефіцієнт многочлена $a_0\ne 1$, то для застосування формули Вієта необхідно розділити всі коефіцієнти на $a_0$.

Із останньої формули Вієта випливає, що якщо корені многочлена є цілими, то вони є дільниками його вільного члена, який також є цілим.

Доведення

Доведення використовує рівність

$x^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+\dots +a_n=(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_n)$.

Права частина представляє многочлен, розкладений на множники.

Після розкриття дужок, коефіцієнти при однакових степенях x повинні бути однаковими в обох частинах рівності, з чого слідують формули Вієта.

Приклади

• Якщо $x_1,x_2$ корені квадратного рівняння $a{x}^2+bx+c=0$ то

$x_1+x_2=\frac{-b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}$.

• В частковому випадку при $a=1$ (квадратне рівняння $x^2+px+q=0$), то

$x_1+x_2=-p,x_1{x}_2=q$.

---

• Якщо $x_1,x_2,x_3$ корені кубічного рівняння $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ то

$x_1+x_2+x_3=\frac{-b}{a},x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a},x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$.

• В частковому випадку (кубічне рівняння $x^3+px+q=0$), то

$x_1+x_2+x_3=0,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=p,x_1{x}_2{x}_3=-q$.

---

• Якщо $x_1,x_2,x_3,x_4$ корені рівняння четвертого степеня $a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$ то

$x_1+x_2+x_3+x_4=\frac{-b}{a},x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_3{x}_4=\frac{c}{a},$

$x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_3{x}_4+x_2{x}_3{x}_4=-\frac{d}{a},x_1{x}_2{x}_3{x}_4=\frac{e}{a}$.

• В частковому випадку (рівняння $x^4+p{x}^2+qx+r=0$), то

$x_1+x_2+x_3+x_4=0,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_3{x}_4=p,$

$x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_3{x}_4+x_2{x}_3{x}_4=-q,x_1{x}_2{x}_3{x}_4=r$.

Див. також

• Основна теорема алгебри

Джерела

• Шаблон:Книга