Кон'юнкція

Шаблон:Infobox Кон'юнкція (Шаблон:Lang-la — об'єднувати) (операція AND) — двомісна операція, що має значення «істина», якщо всі операнди мають значення «істина». Операція передбачає вживання сполучника «і» в логічних висловлюваннях.

Позначення

And зазвичай виражається з префіксним оператором $K$, або інфіксним оператором. У математичній логіці інфіксний оператор зазвичай $\wedge$, в електроніці $\cdot$, а в мовах програмування & або and.

Правила усунення

$A$,

$B$.

Отже, $A$ і $B$.

Або в позначенні логічного оператора:

$A$,

$B$

$⊢A\wedge B$

Приклад:

Петро любить яблука.

Петро любить сало.

Отже, Петро любить яблука і сало.

Кон'юктивне усунення є іншим класичним дійсним, простим аргументом форми. Інтуїтивно це дає змогу зробити висновок з будь-якої кон'юнкції або елемента цієї кон'юнкції.

$A$ і $B$.

Отже, $A$.

...або навпаки,

$A$ і $B$.

Отже, $B$.

У позначенні логічного оператора:

$A\wedge B$

$⊢A$

...або навпаки,

$A\wedge B$

$⊢B$

Визначення

Таблиця істинності виглядає так: Шаблон:2-ary truth table

Відповідною операцією в теорії множин є перетин множин.

Властивості

• асоціативність

$a\wedge (b\wedge c)\equiv (a\wedge b)\wedge c$

• комутативність

$a\wedge b\equiv b\wedge a$

• дистрибутивність

$a\wedge (b\vee c)\equiv (a\wedge b)\vee (a\wedge c)$

$a\wedge (b\wedge c)\equiv (a\wedge b)\wedge (a\wedge c)$

$a\wedge (b\oplus c)\equiv (a\wedge b)\oplus (a\wedge c)$

• ідемпотентність

$a\wedge a\equiv a$

• монотонність

$(a\to b)\to ((c\wedge a)\to (c\wedge b))$

$(a\to b)\to ((a\wedge c)\to (b\wedge c))$

Функціональна повнота

Множина операцій $\{\wedge ,\mathrm{\neg }\}$ є функціонально повною:

$a\vee b\equiv \mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }a\wedge \mathrm{\neg }b)$

$a\to b\equiv \mathrm{\neg }(a\wedge \mathrm{\neg }b)$

$a|b\equiv \mathrm{\neg }(a\wedge b)$

$a\downarrow b\equiv \mathrm{\neg }a\wedge \mathrm{\neg }b$

Кон'юнкція в програмуванні

умовне позначення логічного вентиля І (AND)

У комп'ютерному програмуванні і цифровій електроніці високого рівня логічне множення широко представлене інфіксним оператором зазвичай ключовими словами або символами, такими як: AND, алгебраїчне множення, або символ &. Логічні зв'язки часто використовуються для бітових операцій, де 0 відповідає хибі та 1 відповідає істині:

• 0 AND 0  =  0,
• 0 AND 1  =  0,
• 1 AND 0  =  0,
• 1 AND 1  =  1.

Операція може бути застосована і до двох бінарних виразів рівної довжини, приймаючи побітове AND кожної пари бітів на відповідних позиціях. Наприклад:

• 11000110 AND 10100011  =  10000010.

Див. також

• Булева множина
• Правила де Моргана

Література

• Кон'юнкція // Шаблон:ФЕС