Радикал Брінга

Графік функції радикала Брінга для дійсного аргумента

Радикал Брінга чи ультрарадикал від дійсного числа $a$ це єдиний дійсний корінь многочлена

$x^5+x+a.$

Позначається $\mathrm{BR}(a).$ Для дійсного аргумента, це спадна необмежена непарна функція, з асимптотою для великих значень $\mathrm{B}\mathrm{R}(a)\sim -a^{1/5}$.

Джордж Жерард показав, що рівняння п'ятого степеня можуть бути розв'язані у закритій формі використовуючи радикали та Брінгові радикали, які були введені Ерландом Брінгом.

Нормальні форми рівняння п'ятого степеня

Загальна форма рівняння п'ятого степеня:

$x^5+a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0=0.$

Існують різні методи спрощення, що використовують перетворення Чірнхауса скорочення ненульових коефіцієнтів:

Первинна форма

Форма без 4-го степеня та куба:

$y^5+c_2{y}^2+c_{1}y+c_0=0$

називається первинною і може бути отримана квадратичним перетворенням Чірнхауса, що пов'язує корені загальної і первинної форм

$y_k=x_k^2+\alpha x_k+\beta ,$

коефіцієнти α та β можуть бути отримані з результанта чи тотожностей Ньютона.

Форма Брінга—Жерарда

Можливо також занулити коефіцієнт при квадраті, це форма Брінга—Жерарда:

$v^5+d_{1}v+d_0=0.$

Кубічне перетворення Чірнхауса не допомагає, бо приводить до рівняння 6-го степеня.

Але в 1786 році Брінг знайшов перетворення Чірнхауса 4-го степеня:

$v_k=y_k^4+\alpha y_k^3+\beta y_k^2+\gamma y_k+\delta .$

що приводить до системи 5 рівнянь з 6 невідомими, де потрібно розв'язувати кубічні і квадратні рівняння. Цей метод також був відкритий Джорджем Жерардом в 1832.

Таку систему краще розв'язувати в одній із систем комп'ютерної алгебри, оскільки запис розв'язку є незрівнянно довшим за розв'язок рівняння четвертого степеня.

Далі лінійною заміною змінної можна звести до форми від одного коефіцієнта:

$u^5-u+a=0,$

яка використовується в методах розв'язку Ерміта—Кронекера—Брілші, Глассера, Коклі—Харлі з різними резольвентами.

Загальний розв'язок рівняння 5-го ступеня

Корені многочлена

$x^5+px+q$

Можуть бути отримані використовуючи радикал Брінга:

$\sqrt[4]{-\frac{p}{5}}\mathrm{BR}(-\frac{1}{4}{(-\frac{5}{p})}^{\frac{5}{4}}q)$

Джерела

• Шаблон:SpringerEOM
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld