Показникова функція

Шаблон:Unibox Показнико́ва, або експоненці́йна фу́нкція (Шаблон:Lang-en) — функція виду $f(x)=a^x$, де $a$ — стале число (додатне, але відмінне від одиниці).

У дійсному випадку основа степеня — деяке додатне дійсне число, а аргументом функції є дійсний показник степеня.

Показникова функція узагальнюється в теорії комплексних функцій, де аргумент і показник степеня можуть бути довільними комплексними числами.

У найзагальнішому вигляді — $u^v$, введена Лейбніцем 1695 року.

Особливо виділяється випадок, коли як основа степеня виступає число e. Така функція називається експоне́нтою (дійсною або комплексною).

Визначення

Нехай $a$ — додатне дійсне число, $x$ — раціональне число: $x=\frac{m}{n}$. Тоді $a^x$ визначається за такими правилами.

• Якщо $x>0$, то $a^x=\sqrt[n]{a^m}$.
• Якщо $x=0$, то $a^x=1$.
• Якщо $x<0$, то $a^x=\frac{1}{a^{|x|}}$ (для $a>0$).

Показникову функцію $\exp :ℂ\to ℂ$ можливо визначити багатьма еквівалентними способами. Зазвичай її визначають за допомогою наступного степеневого ряду:

$\exp (z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k!}=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\frac{z^4}{24}+\cdots$

Оскільки радіус збіжності цього степеневого ряду є нескінченним, це визначення застосовується для всіх комплексних чисел $z$. Сталу e можна визначити як $e=\exp (1)={\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1/k!)$.

Для довільного дійсного показника $x$ значення $a^x$ можна визначити як границю послідовності $a^{r_n}$, де $r_n$ — раціональні числа, що сходяться до $x$. Для експоненти є й інші визначення через границю, наприклад:

$e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n.$

Основні властивості

Дійсну показникову функцію визначено на всій дійсній осі більше нуля. При $a>1$ вона всюди зростає; при $0<a<1$ функція спадає на всій області визначення.

Виконуються тотожності

• $a^0=1$;
• $a^{x+y}=a^x{a}^y$;
• $(a^x{)}^y=a^{xy}$.

Зворотна функція до показникової функції — логарифм.

Показникова функція росте на нескінченності швидше будь-якої степеневої:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{x^n}{a^x}=0$

Показникова функція нескінченно диференційована, її похідною є $\frac{d}{dx}{a}^x=(\ln a)a^x.$

Експонента

e — це таке унікальне число a, при якому похідна (іншими словами тангенс кута нахилу дотичної) показникової функції f (x) = a^x (синя крива) в точці x = 0 в точності дорівнює 1. Для порівняння показані функції 2^x (точкова крива) та 4^x (пунктирна крива); тангенс нахилу їхньої дотичної відмінний від 1 (ця дотична намальована червоним)

Експонента ($\exp$) — функція $\exp (x)=e^x$, де e — основа натурального логарифма ($e\approx 2,718281828459$ — число Ейлера). Шаблон:Main

Властивості

Експонента є визначеною на всій дійсній осі. Вона усюди зростає й є більшою за нуль. Зворотною функцією до неї є натуральний логарифм.

Експонента є нескінченно диференційованою. Її похідна в точці нуль дорівнює «1», тому дотична в цій точці проходить під кутом 45°.

Основна функціональна властивість експоненти: $\exp (a+b)=\exp (a)\exp (b)$. Неперервна функція з такою властивістю або тотожно дорівнює 0, або має вид $\exp (ct)$, де $c$ — деяка стала.

Формальне визначення

Експоненційна функція (синя лінія), і сума перших n + 1 членів степеневого ряду записаного зліва (червона лінія).

Експоненційну функцію може бути означено двома еквівалентними способами. Через ряд Тейлора:

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots .$

або через границю:

$e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+x/n{)}^n$

Тут x — довільне дійсне, комплексне, p-адичне число або обмежений лінійний оператор.

Комплексна експонента

Графік експоненти в комплексній площині.
Легенда

Комплексна експонента — математична функція, що означується співвідношенням $f(z)=e^z$, де $z$ є комплексним числом. Комплексна експонента означується як аналітичне продовження експоненти $f(x)=e^x$ дійсної змінної $x$:

Означмо формальний вираз

$e^z=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}$.

Означений таким чином вираз на дійсній осі буде збігатися з класичною дійсною експонентою. Для повної коректності побудови необхідно довести аналітичність функції $e^z$, тобто показати, що $e^z$ розкладається в деякий збіжний до даної функції ряд. Покажемо це:

$f(z)=e^z=e^x\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

Збіжність даного ряду легко доводиться:

$\left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}\right|\le \left|\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}\right|\le \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left|\frac{x^n}{n!}\right|=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{|x{|}^n}{n!}=e^{|x|}$.

Ряд усюди збігається абсолютно, тобто взагалі всюди збігається, таким чином, сума цього ряду в кожній конкретній точці буде визначати значення аналітичної функції $f(z)=e^z$. Відповідно до теореми єдиності, отримане продовження буде єдиним, отже, на комплексній площині функція $e^z$ є всюди визначеною й аналітичною.

Властивості

• Комплексна експонента — ціла голоморфна функція на всій комплексній площині. Вона в жодній точці не обертається на нуль.
• $e^z$ — періодична функція з основним періодом 2πi: $e^{i\phi }=e^{i(\phi +2\pi )}$. Через періодичність комплексна експонента має безліч листів. Як її однолисну область можна вибрати будь-яку горизонтальну смугу висотою $2\pi$.
• $e^z$ — єдина функція, похідна (а також, відповідно, й інтеграл) якої дорівнює їй самій.
• Алгебрично експоненту від комплексного аргументу $z=x+iy$ може бути визначено наступним чином:

  $e^z=e^{x+iy}=e^x{e}^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$ (формула Ейлера)

  • Зокрема, має місце (тотожність Ейлера)

    $e^{i\pi }+1=0$

Графіки функції

Показникова функція відображує будь-яку пряму в комплексній площині у логарифмічну спіраль на комплексній площині з центром в початку координат. Необхідно відмітити два особливі випадки: коли початкова пряма є паралельною до осі дійсних чисел, отримувана в результаті спіраль ніколи не замикається в собі; коли пряма є паралельною осі уявних чисел, отримувана в результаті спіраль є колом із деяким радіусом.

• Графіки показникової функції у комплексній площині
• 
  Шаблон:Math
• 
  Шаблон:Math
• 
  $z=|e^{x+iy}|$

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр

Посилання

• Шаблон:Клепко ВМ
• «Експонента і число е: просто і зрозуміло» Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-ru — переклад статті «An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained» Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-en
• Способи розв'язання показникових рівняньШаблон:Недоступне посилання