Лінійна форма

Лінійна форма, лінійний функціонал, 1-форма, коваріантний вектор або ковектор (Шаблон:Lang-en) в лінійній алгебрі — лінійне відображення заданого векторного простору в поле скалярів, над яким визначено даний простір. Також поняття можна ввести для модулів над кільцями.

У ${ℝ}^n$, якщо вектори представлені у вигляді вектор-стовпців, то лінійні функціонали представляються у вигляді вектор-рядків, а їх дія над векторами задається добутком матриці на вектор-рядок зліва та на вектор-стовпець справа. У загальному випадку, якщо $V$ є векторним простором над полем $k$, то лінійний функціонал $f$ є функцією з простору $V$ в поле $k$, яка є лінійною:

$f(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=f(\overrightarrow{v})+f(\overrightarrow{w})$ для всіх $\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in V,$

$f(a\overrightarrow{v})=af(\overrightarrow{v})$ для всіх $\overrightarrow{v}\in V,$ $a\in k.$

Сукупність усіх лінійних функціоналів з простору $V$ в поле $k$ (позначається як ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_k(V,k)$) утворює векторний простір над полем $k$ з операціями додавання та скалярного множення, що визначені поточково. Цей простір називають спряженим простором простору $V$, або іноді алгебраїчним спряженим простором, щоб відрізнити його від неперервного спряженого простору. Часто його позначають як $V^{*}$, $V^{\prime }$ або $V^{\vee }$, якщо поле $k$ зафіксовано.

Формальне означення

Нехай $V$ — векторний простір над полем $k$. Відображення $\phi :V\to K$ називається лінійною формою або лінійним функціоналом якщо воно є

• однорідним,

$\mathrm{\forall }c\in k\mathrm{\forall }𝐱\in V\phi (c𝐱)=c\phi (𝐱),$

• адитивним,

$\mathrm{\forall }𝐱,𝐲\in V\phi (𝐱+𝐲)=\phi (𝐱)+\phi (𝐲).$

Еквівалентною умовою є виконання рівності

$\mathrm{\forall }c,d\in k\mathrm{\forall }𝐱,𝐲\in V\phi (c𝐱+d𝐲)=c\phi (𝐱)+d\phi (𝐲).$

Неперервні лінійні функціонали

Якщо $V$ — топологічний векторний простір, то простір неперервних лінійних функціоналів (неперервних спряжених) часто просто називають спряженим простором. Якщо $V$ — банахів простір, то таким є і його (неперервно) спряжений. Щоб відрізнити звичайний спряжений простір від неперервного спряженого простору, перший іноді називають алгебраїчним спряженим простором. Для скінченних розмірностей кожен лінійний функціонал є неперервним, тому неперервно спряжений збігається з алгебраїчно спряженим, але у нескінченних розмірностях неперервно спряжений є відповідним підпростором алгебраїчно спряженого.

Властивості лінійних форм

• Кожна лінійна форма є або тривіальною (рівною нулю для кожного вектора) або сюр'єктивною.
• Лінійна форма є неперервною тоді і тільки тоді, коли її ядро є замкнутою підмножиною. Абсолютне значення довільної лінійної форми над полем дійсних чи комплексних чисел є напівнормою на лінійному просторі, на якому вона визначена.

Приклади

• $f:{ℝ}^3\to ℝ$, що рівна $f(x,y,z)=x+2y+3z.$
• $I:C[a,b]\to ℝ$, що рівна $I(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x.$

Простір лінійних функціоналів

Множина ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_k(V,k)$ всіх лінійних форм $V\to K$ утворює векторний простір з операціями додавання лінійних форм $\phi +\psi$, і множення на скаляр $c\phi$, що визначені поточково, тобто

$(\phi +\psi )(𝐱)=\phi (𝐱)+\psi (𝐱)$

і

$(c\phi )(𝐱)=c\phi (𝐱).$

Даний простір називається спряженим (або двоїстим) до простору $V$ і позначається $V^{\star }.$

Приклади і застосування

Лінійні функціонали в ${ℝ}^n$

Нехай вектори дійсного простору ${ℝ}^n$ представлені у вигляді вектор-стовпців

$\overrightarrow{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right].$

Для будь-якого вектор-рядка $[a_1\dots a_n]$ існує лінійний функціонал $f$, визначений наступним чином:

$f(\overrightarrow{x})=a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n,$

і будь-який лінійний функціонал може бути представлений у такій формі.

Це можна проінтерпретувати або як матричний, або скалярний добуток, вектора-рядка $[a_1\dots a_n]$ і вектора-стовпця $\overrightarrow{x}$

$f(\overrightarrow{x})=[a_1\dots a_n]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right].$

Інтегрування

Лінійні функціонали вперше з'явилися у функціональному аналізі, при вивченні векторних просторів функцій. Типовим прикладом лінійного функціоналу є інтегрування: лінійне перетворення, визначене інтегралом Рімана,

$I(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

є лінійним функціоналом з векторного простору $C[a,b]$ неперервних на відрізку $[a,b]$ функцій у простір дійсних чисел. Лінійність $I$ випливає із стандартних властивостей інтегралу:

$\begin{array}{cc}I(f+g)& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f(x)+g(x)]\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x=I(f)+I(g),\\ I(\alpha f)& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}\alpha f(x)\mathrm{d}x=\alpha \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\alpha I(f).\end{array}$

Оцінка

Нехай $P_n$ — векторний простір дійснозначних поліноміальних функцій степеня $\le n$ визначених на відрізку $[a,b]$. Якщо $c\in [a,b]$, тоді відображення ${\mathrm{ev}}_c:P_n\to ℝ$ називається функціоналом оцінки

${\mathrm{ev}}_{c}f=f(c).$

Відображення $f\to f(c)$ лінійне, оскільки

$\begin{array}{cc}(f+g)(c)& =f(c)+g(c),\\ (\alpha f)(c)& =\alpha f(c).\end{array}$

Якщо $x_0,\dots ,x_n$ — $n+1$ різних точок відрізку $[a,b]$, то функціонали оцінки ${\mathrm{ev}}_{x_i},i=0,1,\dots ,n$, утворюють базис спряженого до $P_n$ простору (Шаблон:Harvtxt доводить це, використовуючи інтерполяцію Лагранжа).

Застосування в інтегруванні

Функціонал $I$ визначений вище визначає лінійний функціонал на підпросторі $P_n$ многочленів степеня $\le n$. Якщо $x_0,\dots ,x_n$ — це $n+1$ різних точок у $[a,b]$, тоді є коефіцієнти $a_0,\dots ,a_n$ для яких

$I(f)=a_{0}f(x_0)+a_{1}f(x_1)+\dots +a_{n}f(x_n),$

для всіх $f\in P_n$. Це складає основу теорії чисельного інтегрування.

Це випливає з того, що визначені вище лінійні функціонали ${\mathrm{ev}}_{x_i}:f\to f(x_i)$ утворюють базис спряженого до $P_n$ простору.

Лінійні функціонали в квантовій механіці

Лінійні функціонали особливо важливі в квантовій механіці. Квантові механічні системи представлені просторами Гільберта, які є антиізоморфними їх власним спряженим просторам. Стан квантової механічної системи можна ототожнити з лінійним функціоналом. Для отримання додаткової інформації див. бра-кет позначення.

Розподіли

У теорії узагальнених функцій деякі види узагальнених функцій, які називаються розподілами, можна представити у вигляді лінійних функціоналів на просторах тестових функцій.

Властивості лінійних функціоналів

• Будь-який лінійний функціонал $L$ є або тривіальним (всюди дорівнює 0) або сюр'єктивним над скалярним полем. Дійсно, це випливає з того, що образ векторного підпростору при лінійному перетворенні є підпростором, тому і образ $V$ при відображені $L$ теж буде підпростором.
• Лінійний функціонал є неперервним лише тоді, коли його ядро є замкненим.
• Лінійні функціонали з однаковими ядрами є пропорційними.
• Абсолютне значення будь-якого лінійного функціоналу є напівнормою на його векторному просторі.

Зображення лінійних функціоналів

Геометрична інтерпретація 1-форми $\alpha$ як стек гіперплощин постійного значення, кожна з яких відповідає тим векторам, які $\alpha$ відображає у задане скалярне значення, показане поруч із нею у порядку "збільшення" значень. Нульова площина Шаблон:Color box проходить через початок координат.

У скінчених розмірностях лінійний функціонал можна візуалізувати у термінах множин рівнів, множина векторів, які відображаються у задане значення. Для розмірності три множини рівнів лінійного функціоналу — це сімейство взаємно паралельних площин; для вищих розмірностей вони є паралельними гіперплощинами. Цей метод візуалізації лінійних функціоналів іноді використовується в текстах у загальній теорії відносності, наприклад, Гравітація by Шаблон:Harvtxt. Шаблон:Clear

Спряжені вектори та білінійні форми

Лінійні функціонали (1-форми) $\alpha$, $\beta$ та їх сума $\sigma$ та вектори $u$, $v$, $w$, в 3-вимірному евклідовому просторі. Кількість (1-форми) гіперплощин, що перетинаються вектором, дорівнює скалярному добутку.

Кожна невироджена білінійна форма у скінченно-вимірному векторному просторі $V$ породжує ізоморфізм $V\to V^{*}$ : $v\rightarrowtail v^{*}$ такий, що

$v^{*}(w):=⟨v,w⟩\mathrm{\forall }w\in V,$

де білінійна форма на $V$ позначається як $⟨,⟩$ (наприклад, в евклідовому просторі $⟨v,w⟩=v\cdot w$  — скалярний добуток $v$ і $w$).

Оберненим ізоморфізмом є $V^{*}\to V:v^{*}\rightarrowtail v$, де $v$ єдиний елемент $V$ такий, що

$⟨v,w⟩=v^{*}(w)\mathrm{\forall }w\in V.$

Базис у скінченних розмірностях

Базис спряженого простору в скінченних розмірностях

Нехай векторний простір $V$ має базис ${\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2,\dots ,{\overrightarrow{e}}_n$, необов'язково ортогональний. Тоді спряжений простір $V^{*}$ має базис ${\tilde{\omega }}^1,{\tilde{\omega }}^2,\dots ,{\tilde{\omega }}^n$, який називається спряженим базисом, визначеним спеціальною властивістю:

${\tilde{\omega }}^i({\overrightarrow{e}}_j)=\{\begin{array}{cc}1& \text{якщо}i=j,\\ 0& \text{якщо}i=j.\end{array}$

Або, більш коротко,

${\tilde{\omega }}^i({\overrightarrow{e}}_j)={\delta }_j^i,$

де $\delta$ — символ Кронекера. Тут верхні індекси базисних функціоналів не степені, а контраваріантні індекси.

Лінійний функціонал $\tilde{u}$, що належить спряженому простору $\tilde{V}$, можна представити у вигляді лінійної комбінації базисних функціоналів з коефіцієнтами (компонентами) $u_i$,

$\tilde{u}=\sum _{i=1}^n{u}_i{\tilde{\omega }}^i.$

Тоді, застосувавши функціонал $\tilde{u}$ до базисного вектора $e_j$, отримаємо

$\tilde{u}({\overrightarrow{e}}_j)=\sum _{i=1}^n\left(u_i{\tilde{\omega }}^i\right){\overrightarrow{e}}_j=\sum _i{u}_i\left[{\tilde{\omega }}^i\left({\overrightarrow{e}}_j\right)\right]$

завдяки лінійності скалярних множників функціоналів і точкової лінійності сум функціоналів. Тоді

$\tilde{u}({\overrightarrow{e}}_j)=\sum _i{u}_i\left[{\tilde{\omega }}^i\left({\overrightarrow{e}}_j\right)\right]=\sum _i{u}_i{{\delta }^i}_j=u_j.$

Отже, кожну компоненту лінійного функціоналу можна отримати, застосувавши функціонал до відповідного базисного вектора.

Спряжений базис та скалярний добуток

Якщо у просторі $V$ визначено Шаблон:Нп, то можна у явному вигляді написати формулу для спряженого базису через заданий базис. Нехай ${\overrightarrow{e}}_1,\dots ,{\overrightarrow{e}}_n$ — базис простору $V$ (необов'язково ортогональний). Для розмірності три $(n=3)$ спряжений базис можна записати у явному вигляді:

${\tilde{\omega }}^i(\overrightarrow{v})=\frac{1}{2}⟨\frac{\sum _{j=1}^3\sum _{k=1}^3{\epsilon }^{ijk}({\overrightarrow{e}}_j\times {\overrightarrow{e}}_k)}{{\overrightarrow{e}}_1\cdot {\overrightarrow{e}}_2\times {\overrightarrow{e}}_3},\overrightarrow{v}⟩,$

для $i=1,2,3$, де $\epsilon$ — символ Леві-Чівіта і $⟨,⟩$ — скалярний добуток у просторі $V$.

Для вищих розмірностей це узагальнюється наступним чином:

${\tilde{\omega }}^i(\overrightarrow{v})=⟨\frac{\sum _{{}^{1\le i_2<i_3<\dots <i_n\le n}}{\epsilon }^{i{i}_2\dots i_n}(\star {\overrightarrow{e}}_{i_2}\wedge \dots \wedge {\overrightarrow{e}}_{i_n})}{\star ({\overrightarrow{e}}_1\wedge \dots \wedge {\overrightarrow{e}}_n)},\overrightarrow{v}⟩,$

де $\star$ — оператор зірки Ходжа.

Див. також

• Лінійне відображення
• Спряжений простір
• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп

Література

• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра
• Шаблон:Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Rudin.Functional Analysis
• Шаблон:Citation